Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
37 
4.39. Решить уравнения. 
1) |–sinx| = 2cosx; 
 
2) |1 + 2sinx + cosx| + cosx = 0; 
3) |sinx – cosx| = 1 – sin2x; 
4)
1
cos
5
5
2
2
cos
2



x
x
; 
5) 1 + 2|cosx|sinx = 0; 
 
6) |cosx + cos3x| = –cos2x; 
7) 
;
2
2
1
cos
4
cos
4
sin

















x
x
x
 
8)
;
6
sin
3
sin
sin
cos
sin
3
2
sin
2
3
2







x
x
x
x
 
9)
);
sin(
8
cos
2
3
cos
1
2














x
x
x
 
10) 
);
cos(
4
sin
)
cos
1
(
2
cos
2
2
x
x
x
x




 
11)
.
cos
5
)
sin(
)
cos
1
(
2
sin
2
2
x
x
x
x





 
 
4.40. Найти наибольшее решение х  [; 2] уравнений. 
1) 
;
0
|
cos
|
cos
sin
2


x
x
x
 
2) 
;
0
|
sin
|
sin
cos
2


x
x
x
 
3) 
;
0
|
2
sin
|
sin
3
cos
2


x
x
x
 
4) 
;
3
|
ctg
|
tg
cos
4
2


x
x
x
 
5) 
.
0
|
2
sin
|
2
sin
tg


x
x
x
 
 
4.41. Найти  отрицательное  число  х,  наименее   удаленное  от 
х = 0, удовлетворяющее уравнению: 
1)
;
1
6
|
|
2
sin









x
 
2) 
;
1
3
|
|
cos
2










x
 
3) tg(|x – 1|) = 
3

; 
4) ctg
;
3
1
3
|
1
|










x
 

 
 
38
5) 
.
5
,
0
4
|
|
cos
2









x
 
4.42. Найти решения системы уравнений с одним неизвестным. 
1) 


























;
1
6
2
cos
,
1
4
3
sin
x
x
 
2) 















;
1
cos
4
,
0
3
2
sin
2
x
x
 
3) 















;
1
tg
,
1
4
3
cos
2
x
x
 
4) 


























;
5
,
0
6
cos
,
75
,
0
3
2
sin
2
x
x
 
5) 

























.
cos
3
cos
,
25
,
0
2
6
5
sin
2
x
x
x
 
 
Решить уравнения. 
 
4.43. 1) sinx cos2x = –1; 
 
2) 3cos
2
x + 5cos
2
7x = 8; 
   3) sin
7
x + cos
6
x = 1; 
 
4)
.
1
2
cos
2
sin


x
x
 
4.44. 
.
2
sin
3
1
cos
4
9
cos
cos
2
3
4
x
x
x
x




 
4.45. 
2
3
sin
9
13
sin









x
. 
4.46. 2cosx = |x| – |x – |. 
4.47. arcsin
x
x
2
1


. 
 
4.48. Пусть х
1
 и х
2
 – два решения уравнения 2cos
2
x + cosx – 1 = 0, 
причем х
1
  х
2
 + 2k, k  ℤ. Найти значение выражения 4сos(х
1
 + х
2
). 

 
39 
4.49.  Сколько  решений  уравнения 





 






 
2
sin
cos
2
cos
sin
x
x
 
принадлежат отрезку [0; 100]? 
 
4.50. Решить систему 













.
8
cos
)
3
cos(
;
12
sin
)
2
sin(
x
x
     В ответе указать ко-
личество решений в интервале (0; 10). 
 
4.51. Решить  уравнение  sinx  +  sin5x  =  –2.  В  ответе  указать  от-
ношение  наименьшего  решения  на  отрезке  [–15;  –1]  к  наибольше-
му. 
 
4.52. При каких значениях а уравнения имеют решения? 
1) asinx = a
 
+ 1; 
2) (a + 1)cosx = 2a – 3; 
3) sinx + a = a
2
 + 1; 
4) 2asinx = a
2
 + 1; 
5) (a
2
 + 1)cosx = 2a. 
 
4.53. При каких значениях а уравнения не имеют решений? 
1) asin
2
(3x) = a + 1; 
2) a – cos(3x + 1) = a
2
 – 1; 
3) a
2
sin(2x – 1) = a – 2; 
4) 
2
3
2
cos










a
x
; 
5) 
.
2
1
2
)
2
(
cos
3



a
a
x
 
 
4.54. При каких значениях а уравнение asinx +  (a
2
  – 4)cosx = 1 
имеет решение 
3
5

x
? В ответе указать произведение таких а. 
 
4.55.  Найти  наименьшее  положительное  значение  а,  при  кото-
ром число х = 
3

 является решением уравнения: 
1) 
;
1
)
2
cos(
3
sin
2
2










a
x
ax
 

 
 
40
2) 
 
;
1
2
3
sin
cos
2
2










a
x
ax
 
3) sin(a +2x) cos(x + 2a) = 1; 
4)  sin(ax + 2a) + cos
0
3
)
2
(










х
а
; 
5) 2cos(2ax) – 8sin(ax) + 3 = 0. 
 
4.56.  Определить,  при  каких  значениях  а  уравнение  f(x;a)  =  0 
имеет решения на отрезке [; ]. 
1) f(x, a) = (x + 1)sina + cosa,   = 0,  =1; 
2) f(x, a) = (a + 1)sinx + cosx,   = 0,  =
4

; 
3) f(x, a) = x
2
sina + xcosa,   =
3
1
,  = 3 ; 
4) f(x, a) = a
2
sinx + acosx,   =
4

,  =
3

. 
 
4.57. Найти все значения а, при которых  любое решение урав-
нения f(x) = 0 является решением уравнения g(x, a) = 0. 
1)
x
x
x
x
f
tg2
sin
2
cos
1
)
(



;  g(x, a) = asinx + (a
2
 – 7)cos
2
x; 
2) 
3
4sin
2
cos
cos
)
(
2



x
x
x
x
f
;  g(x, a) = a
2
cosx + asin2x + 2a – 3; 
3)
x
x
x
x
x
x
f
2cos2
1
1
cos
sin
2
cos
2
sin
)
(






;    g(x,  a)  =  acos
2
2x  + 
+a
2
sin2x + 3a + 2; 
4)
1
2cos2
sin
cos
sin
2
2
sin
)
(
2





x
x
x
x
x
x
f
; g(x,a) = a
2
cos
2
x +asin2x – 4; 
5)
x
x
x
x
x
x
f
cos2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
1
)
(




;    g(x, a) = asinx + (a
2
 + 
+1)cos2x + 2a – 4. 
 
Решите уравнения при всех значениях параметров. 
 
4.58. 1) 4sin2x + acosx = cos3x; 

 
41 
2) sin
4
x + (a – 5)sin
2
x – 2(a – 3) = 0; 
3) cos
2
x + asinx = 1. 
 
4.59. 1)
;
5
5
sin
5
2


x
b
b
   
2) 
x
a
x
x
a
2
cos
2
sin
tg
1
2
2
2
2




; 
    3) |3sinx – a + 1| = 2sinx – 4a + 7; 
    4) |2cosx – a | – 2a = 3cosx + 1;     5) 
.
cos
cos
x
x
a
a



 
4.60. 
При 
каких 
значениях 
параметра 
а 
уравнение 
1
4
cos



a
a
x
  имеет  на  отрезке 








3
13
;
12
43
два  различных  реше-
ния? 
4.61. 
При 
каких 
значениях 
параметра 
а 
уравнение 
)
3
2
cos
](
2
cos
)
50
2
(
cos
10
[
2





a
x
a
x
x
=  0  имеет  на  отрезке 







3
;
0
 ровно два различных решения? 
4.62.  Найдите  все  значения  параметра  а,  при  которых  уравне-
ние 
0
1
3
cos
2
tg
)
1
(
2





a
x
x
a
  имеет  на  интервале 







2
;
0
  более 
одного решения. 
4.63. 
При 
каких 
значениях 
параметра 
а 
уравнение 
)
2
cos
3
(
sin
cos
2



x
a
x
x
 имеет на интервале 







2
;
3
2
arccos
 един-
ственное решение? 
4.64. 
При 
каких 
значениях 
параметра 
а 
уравнение 
10
2
sin
2
cos
2
)
sin
7
8
(
tg
2
2




x
a
x
x
x
  имеет  на  интервале 







2
;
0
 
ровно три различных решения? 
4.65. 
При 
каких 
значениях 
параметра 
а 
уравнение 
3
1
2
1
2
sin
cos
2
2
2











x
a
a
x
x
a
 имеет единственное решение? 

 
 
42
4.66. 
При 
каких 
значениях 
параметра 
а 
уравнение 
a
x
x
x
2
)
cos(arccos
)
sin(arccos
2
)
cos(arcsin
4



  имеет  единствен-
ное решение? 
4.67. Решите систему уравнений 







.
2
cos
sin
2
,
1
cos
sin
y
x
a
y
a
x
 
 
4.68. При каких значениях р неравенство  
0
1
2
)
cos
)(sin
1
(
2
sin






p
x
x
p
x
 
выполняется при всех  действительных значениях х? 
 
4.69. При каких значениях с неравенство  
2
3
sin
)
1
(
cos
2




c
x
c
x
 
выполняется при всех  действительных значениях х?  
 
4.70. Найдите все а  R, при которых все корни уравнения  
0
4
5
5
]
1
)
cos
)(sin
2
(
2
2
sin
2
2
)[
1
4
(
2
2









a
x
a
x
x
a
x
x
 
неотрицательные. 
 
4.71. При каждом значении параметра а найти наименьшее зна-
чение функции у = (arccosx)
2
 – 2·a·arccosx – 1 + a
2
. 
 
4.72.  При  каждом  действительном  значении  а  найти  наимень-
шее значение функции 
.
1
3
3
)
3
4
2
1
(
cos
4
3
)
3
4
2
1
(
cos
)
(
2
2
2












a
x
x
a
x
x
x
f
 
 
– С –  
 
4.73. При каких целых значениях параметра а уравнения имеют 
на отрезке 








2
3
;
2
 ровно пять решений? 
1) sin(a + 1)x = 0; 
2) cos(2ax) = 1; 
3) tg
;
1
2






 ax
 

 
43 
4) ctg
3
3
















x
a
; 
5) sinax + cosax = 
2 . 
 
4.74. При каких значениях параметра а уравнение 
1
)
)
1
)(
2
3
sin((




x
a
 
не имеет решений на отрезке [1; 2]? 
 
4.75.  При  каких  значениях  параметра  а  расстояние  между  лю-
быми различными решениями уравнения  



















ax
ax
4
cos
3
2
sin
 
на числовой прямой будет не менее 1? 
 
4.76. При каких значениях параметра а на любом  отрезке  дли-
ны 
3

 числовой оси содержатся решения уравнения 
)
cos(
3
2
sin
ax
x
a















? 
 
4.77.  Найти  наименьшее  положительное  целое  число  а,  при  ко-
тором уравнения не имеют решений. 
1) 
;
sin
cos
x
x
a



 
2) 
;
cos
sin
2
x
x
a



 
3) 
;
cos
3
sin
9
2
x
x
a
a


 
4) 
.
sin
8
sin
x
a
x
a


 
 
4.78. При каких значениях параметра а (а >0) уравнение 
1
3
1
sin














 x
a
 
имеет на отрезке [0; 1] ровно два решения? 
 

жүктеу/скачать 1,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: