Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
 
44
3) f(x, a) = |sinx| sin(x + a); 
;
2
5
;
2










a
 
4) f(x, a) = cosxsin(2x + a);   a  (–5; 3); 
5) f(x, a) = sinx cosx +
1
2
1


а
. 
 
4.80. При каких значениях а уравнение f(x, a) = 0 имеет хотя бы 
одно решение? 
1) f(x, a) = asin
2
x – (a – a
2
 – 1) sinx – a(a – 1); 
2) f(x, a) = 
а
x 
2
sin
3
+ 3 – a. 
 
4.81.  При  каких  значениях  а  уравнение  f(x, a) =  0 имеет  реше-
ние? В ответе указать наибольшее целое а  100. 
1) f(x, a) = 
4
2

а
sinx + 2сosx + a
2
 – 2; 
2) f(x, a) = cos
2
x + a
2
sinx. 
 
4.83.  При  каких  значениях  а  уравнение  sinax  =  sinx  не  имеет 
решений на интервале 







2
;
0
? 
 
5. 
Тригонометрические системы уравнений 
 
– В –  
 
Решить системы уравнений. 
 
5.1. 









.
540
sin
sin
2
cos
2
;
30
cos
2
sin
2
cos
2
y
x
y
x
 
5.2. 









.
3
cos
2
2
cos
;
4
3
cos
sin
2
2
y
x
y
x
 

 
45 
5.3. 







1
)
cos(
;
0
)
2
sin(
y
x
y
x
  (–   х ;  –2у ). 
5.4.  










.
2
tg
tg
;
4
3
y
x
y
x
 
 
 
5.5. 














.
2
1
)
cos(
)
cos(
;
3
2
y
x
y
x
y
x
   
5.6. 









.
4
3
cos
cos
;
4
1
sin
sin
y
x
y
x
 
5.7. 











.
7
cos
10
4
;
2
11
cos
2
2
3
y
x
y
х
 
5.8.  







.
1
2
cos
2
cos
;
0
cos
sin
y
x
y
x
 
5.9. 









.
4
1
2
cos
sin
;
4
3
2
sin
cos
y
x
y
x
 
5.10. 









.
sin
cos
2
)
sin(
;
1
cos
sin
3
)
sin(
y
x
y
x
y
x
y
x
 
5.11. 






.
2
|
1
|
;
cos
3
sin
2
2
x
x
x
 

 
 
46
5.12. 







.
3
tg
tg
;
4
3
sin
sin
y
x
y
x
 
5.13. 








.
2
tg
tg
;
2
1
cos
cos
y
x
y
x
 
5.14. 



























.
4
sin
2
ctgy
tg
;
4
3
sin
2
ctg
tg
x
y
y
x
x
 
5.15. 














.
1
sin
)
4
4
(
);
1
(
)
(
16
2
2
2
2
2
y
x
x
y
x
xy
    
5.16. 









.
2
81
9
;
3
9
tg
cos
cos
tg
2
x
y
y
x
 
5.17. 









.
sin
cos
cos
;
cos
cos
sin
2
x
y
x
x
y
x
 
5.18. 











,
2
cos
arc
arctg
;
)
(arccos
)
(arctg
2
2
2
y
x
k
y
x
        k  ℤ. 
5.19. 












,
16
arccos
)
(arcsin
;
4
)
(arcsin
arccos
4
2
2
2
x
y
k
y
x
         k  ℤ. 
 
 

 
47 
6. Тригонометрические неравенства 
 
– А – 
 
6.1.  Изобразить  на  единичном  круге  решения  простейших  не-
равенств. 
1) 
2
1
sin 
x
; 
2) cоsx < 1; 
 
3) 1 < tgx < 3 ; 
4) –1 < ctg x <
;
3
1
 
5) sinx > cosx. 
 
6.2. Записать на числовой прямой решения неравенств. 
1) sinx <
;
2
3
 
2)
;
2
1
cos 
x
 
3) 1 < tgx < 3 ; 
4) 

3
1
ctgx < 3 ; 
5) sinx + cosx < 1. 
 
6.3. Определить, сколько целых решений имеет неравенство на 
интервале (0; 2). 
1)
;
2
1
3
2
sin









x
 
2)
3
2
4
cos
2









x
; 
 
3) 
;
1
3
3
tg
3









x
 
4) 
;
1
3
ctg
3










x
 
5) 
.
4
1
4
2
cos
2









x
 
 
6.4.  На  единичном  круге  отметить  множество  решений  нера-
венств (применить метод интервалов). 
1)
;
0
)
3
cos
2
)(
1
sin
2
(



x
x
  2) 
;
0
)
3
sin
2
)(
1
cos
2
(



x
x
 
3) 
;
0
)
sin
2
1
)(
2
cos
2
(



x
x
  4) (tgx + 1)( 3 – ctgx)  0; 
5) (2sinx + 1)(tgx – 1)  0. 
 
6.5. Записать решения неравенств на числовой оси. 
1) 
;
0
)
3
cos
2
)(
1
sin
2
(



x
x
  2) 
;
0
)
3
sin
2
)(
1
cos
2
(



x
x
 

 
 
48
3) 
;
0
)
sin
2
1
)(
2
cos
2
(



x
x
  4) (tgx + 1)( 3 – ctgx) > 0; 
5) (2sinx + 1)(tgx – 1) < 0. 
 
6.6.  Решить  «квадратные»  тригонометрические  неравенства  на 
отрезке 









;
2
. 
1) 2sin
2
x – 3sinx + 1 <0; 
2) 4cos
2
x + 2( 3 – 1)cosx – 3  0; 
3) tg
2
x + (1 – 3 )tgx –  3 < 0;  4)  3 ctg
2
x + ( 3 + 1)ctgx + 1  0; 
5) tgx ctgx – cos
2
x > 0. 
 
– В – 
 
6.7. Определить, при каких значениях параметра а неравенство 
справедливо для всех значений х. 
1) 
;
0
1
)
1
(
cos









a
x
a
 
2) 
;
0
)
)
2
3
sin((
2



x
a
a
 
3) tg(x sina)  0; 
4) ctg
;
0
3
2
cos









a
x
 
5) sinax + cosax  0. 
 
6.8. Решить неравенства. 
1) 
;
0
)
1
2
(cos
1
sin
2



x
x
   
2)
;
0
)
1
2
(sin
3
cos
cos




x
x
 
3) 
;
0
)
cos
(sin
6
sin
2
sin
2




x
x
x
 
4) 
;
0
2
sin
3
tg
2


x
x
 
5) 
.
0
|
cos
sin
|
ctg
3
1



x
x
x
 
 
6.9.  Найти  значения  параметра  р,  при  которых  неравенство  не 
имеет решений. 

 
49 
1) 2sin3x  p(p + 1); 
2) psin2x < p – 3; 
3) psinx + (p + 1)cosx > 1; 
4) (p
2
 – 1)sin4x < p – 5; 
 
5) sin
2
x + psinx + 2 < 0. 
 
6.10. Найти х на отрезке [a; b], удовлетворяющий системе нера-
венств 





.
0
)
(
;
0
)
(
x
g
x
f
 
1) f(x) = (1 – sinx)(2cosx + 1),   g(x) = tg2x – 1,  a = 0, b = ; 
2) f(x) = (cosx –1)(2sinx – 1),   g(x) = cosx – sinx,  a =
2


, b =
2

; 
3) f(x) = cosx –cos2x – 1,   g(x) = 2sin2x – 1,  a =
2
3
, b =
2
5
; 
4) f(x) =
1
sin
|
cos
|

x
x
,   g(x) = sinx – cosx,  a =
2

, b =2; 
5) f(x) = sinx – |cosx|,   g(x) = 2sin|x| – 1,  a =
2

, b =
2
3
. 
 
– С – 
 
6.11. Найти х, для которых неравенство 
4xsina – cos
2
a(1 + x
2
) + 2x
2
 + 0,2  0 
выполняется при всех а. 
 
6.12. Найти х , удовлетворяющие неравенству 
2
cos
12
sin
4





x
a
x
a
, 
для  всех допустимых значений а. 
 
 
7. Тригонометрические функции 
 
– B – 
 
7.1. Построить графики функций на указанных отрезках. В  от-
вете  указать  наибольшие  и  наименьшие  значения  функции  на  от-
резке. 

 
 
50
1) 
,
3
2
sin
2









x
y
  
;
2
;
2









x
 
2) 
,
3
2
cos
2
1









x
y
  


;
2
;
0 

x
 
3) 
,
3
3
tg









x
y
  
;
2
;
2











x
 
4) 
,
4
ctg










x
y
  
;
4
1
;
2
1








x
 
5) y = sinx – cosx, 
.
2
;
0








x
 
 
7.2. Определить, при каких х справедливы тождества. 
1) sin|x| = |sinx|; 
2) cosx = cos|x|;       3) tg|x –| = tgx; 
4) |ctgx| = ctg|x|; 
5)
.
cos
2
sin
x
x 


 
 
7.3. Найти х, при которых верны равенства. 
1) 
);
sin
(cos
4
sin
2
2
cos
x
x
x
x










 
2) 
;
1
cos
4
cos
2
3
sin
2
sin
2


x
x
x
x
 
3) 
;
1
sin
2
cos
2
sin
3
cos




x
x
x
x
 
4) 
;
2
2
cos
2
1
3
cos
cos
)
4
sin
2
(sin
sin
x
x
x
x
x
x




 
5) 
).
2
cos
2
1
(
ctg
3
sin
sin
5
cos
cos
x
x
x
x
x
x




 
 
7.4. Найти наименьший положительный период функции. 
1) y = sin15x + cos21x; 
2) 
;
3
1
2
cos
2








x
y
 

 
51 
3) 
;
3
3
sin
2









x
y
 
4) y = sinx cos2x;  
5) y = sin
2
x – cos
2
2x. 
 
7.5.  Пусть  f(x)  =  cos2x.  Найти  наибольшее  значение  величины 
|f(x
1
) – f(x
2
)|, если х
1
, х
2
 









3
2
;
6
. 
 
7.6.  Пусть  f(x)  =  sin2x.  Найти  наибольшее  значение  величины 
f(x
1
) –| f(x
2
)|, если х
1
, х
2
 










6
;
12
. 
 
7.7. Найти наибольшее значение функции f(x) = 2cosx + 3cos5x 
на отрезке 







2
;
0
. 
 
7.8.  Найти  наибольшее  возможное  значение  функции  f(x)  = 
=(sinx + sin3x)
2
. 
 
7.9. Определить, сколько найдется на отрезке [5; 10] чисел, яв-
ляющихся периодами функции у = sin(4x + 1)? 
 
7.10. Построить графики функций на указанных отрезках. В от-
вете указать множество значений этих функций. 
1) y = sin
2
x, 









4
3
;
4
x
; 
 
2) y = sinxcosx, 









8
27
;
4
13
x
; 
3) y = sinx|cosx|, 









4
3
;
4
x
; 
4) y = |sinx|cosx, 









4
5
;
4
3
x
; 

 
 
52
5) 
,
|
cos
|
sin
x
x
y 
 









2
3
;
4
3
x
. 
 
7.11. Функция у = f(x) в точке  х
1
 принимает значение А. Найти 
значение функции в точке х
2
. 
1) y  = sin2x, 
,
5
3

A
 
4
1
2


 x
x
,  
;
4
;
4
1










x
 
2) y  =
2
cos
x
, 
,
13
5


A
 
2
3
1
2


 x
x
,  


;
3
 
;
2
1



x
 
3) y  = tg3x, 
,
2
1

A
 
9
7
1
2


 x
x
; 
4) y  = ctg
3
x
,  A = 2,  
4
3
1
2


 x
x
; 
5) y  = sin2x + cos2x, 
,
3
1

A
 
4
3
1
2


 x
x
,  
.
8
5
;
8
3
1









x
  
 
– С – 
 
7.12.  Найти  значения  а, при  которых  неравенства  не  выполня-
ются ни при каких х. 
1) asin2x – a  3; 
2) acosx  a – 2; 
3) a |sinx|  a – 2; 
4) (3 – 2a)|cosx|  a – 1; 
5) |tgx| + |ctgx| < a. 
 
7.13. Указать наименьшее положительное целое число х из об-
ласти определения функций. 
1) 
;
2
cos
sin
)
(
x
x
x
f



 
2) 
;
4
3
cos
)
2
cos
(cos
cos
)
(
x
x
x
x
x
f





 
3) 
;
30
23
cos
30
13
cos
5
)
(
x
x
x
x
f





          4) 
;
21
10
8
tg
)
(
2




x
x
x
x
f
 
5) 
.
)
2
cos(
)
(


x
x
f
 

 
53 

жүктеу/скачать 1,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: