Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
 
28
   5) cos2x + 3cosx + 2 = 0; 
6)  3 + 5sin2x = cos4x; 
   7) tg
2
2x – 7tg2x + 10 = 0; 
8) tgx + 3ctgx = –4; 
   9) 6cos
2
x = 9cosx –  4sin
2
x; 
10) cos2x + 3 cosx + 1 = 0; 
   11) 2cos
2
x – 11sinx – 7 = 0; 
12) 7cos
2
x – 3sinx = 5; 
   13) 5tgx +
x
cos
1
= 5; 
14) 2sin
2
x + 7cosx + 2 = 0; 
   15) 2sin
2
x – 5cosx + 1 = 0; 
16) 3sinx + cos
2
x = 2; 
   17) 5sin
2
5x + 20cos5x = 20; 
 
   18) 
;
0
5
4
3
sin
3
4
3
cos
7
2















x
x
 
   19) 2cos
2
x = 12 – 21sinx; 
   20) 5 + 2cos2x – 4 3 sin








2
x
= 0; 
   21) 3cos2x – (2 + 3 3 )cosx + 3 + 3  = 0; 
   22) 4cos2x – 2(1 + 2
2 )cosx + 4 + 2 = 0. 
 
4.8. 1) sin
2
x – 10sinx

cosx + 21cos
2
x = 0; 
2) sin
2
x + 3sinx

cosx + 2cos
2
x = 0; 
3) cos
2
x + 4sin
2
x + 2sin2x = 0; 
4) 4cos
2
x + 2sin
2
x = 3sin2x; 
5) 5sin
2
x + 4sinx

cosx – 5cos
2
x = 2; 
6) 3sin
2
x – 4sinx

cosx + cos
2
x = 3; 
7) 3sin
2
x + 5cos
2
x – 2cos2x + 4sin2x = 0; 
8) 2sin
2
x – sinx cosx + 5cos
2
x = 2; 
9) sin
2
x – 30sinx cosx + 25cos
2
x = 25; 
10) (sinx + 2cosx)(3sinx + cosx)  = sin2x; 
11) 5 – 4sin
2
x = 5cos
2
x; 
12) 3sin
2
x + sin2x = 2; 
13)  3 sin
2
x – sin2x =  3 cos
2
x; 
14) 4sin
2
x + 3sinxcosx – 7cos
2
x = 0. 
 

 
29 
– В – 
 
4.9. Найти сумму корней уравнения на данном отрезке. 
1) 
,
5
,
0
4
2
cos
2









x
 










;
2
x
; 
2) 
,
5
,
1
3
sin
2
2









x
 










4
5
;
4
x
; 
3) 
,
1
4
tg
2









x
 










2
;
3
x
; 
4) 
,
3
2
3
сtg
2









x
 










6
5
;
6
x
; 
5) 
,
1
4
cos
4
2









x
 










2
3
;
3
x
. 
 
4.10.  Найти  х,  удовлетворяющий  уравнению:  1)  sin2x  =  0,5; 
2)cos(1  –  x)  =  –1;    3)  tg(3x)  = 3 ;      4)  ctg(2x  +  3)  =
;
3
1
    5)  sinx  = 
=sin2x,  для которого функция у = х
2
 – 2х + 3 принимает наимень-
шее значение. 
 
Решить уравнения. 
 
4.11. 1) 
2
1
cos
sin


x
x
; 
2) sinx – cosx = 1; 
3) 
;
2
cos
sin
3


x
x
 
4) 
;
1
cos
3
sin


x
x
 
5) 
.
3
cos
sin
3


x
x
 
 
4.12. 1) 
;
2
6
cos
5
)
2
cos
3
2
(sin
2











x
x
x
 
      2) 
.
0
6
sin
3
5
cos
5
2
sin
3
2
cos





x
x
x
x
 
 
4.13. 1) sinx + 3cosx = 2; 
2) 3sin2x – 2cos2x = 3; 

 
 
30
      3) 3cosx – 4sinx = 
.
2
5
 
 
4.14. 1) sin5x = sin3x;  
2) cos6x + cos4x = 0; 
     3) sin7x + sinx = 0; 
4) cos10x – cos4x = 0; 
 
     5) sin3x – cos5x = 0; 
6) sin2x + cos6x = 0; 
     7) cos3x + sin(9x + 2) = 0. 
 
4.15. Найти наименьший положительный корень уравнения. 
1) sin2x = sin
;
3








x
 
2) 
;
5
cos
6
cos





 









x
 
3) tg








4
2x
= tg
;
3








x
 
4) ctg








4
x
= ctg
;
4








x
 
5) cos2x = sin
.
3








x
 
 
Решить уравнения. 
 
4.16.  1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0; 
       2) cosx + cos4x + cos7x = 0. 
 
4.17. 1) sin2x sin6x = cosx cos3x;  2) sinx sin3x + sin4x sin8x = 0; 
      3) cos3x sin7x = cos2x sin8x;  4) sin5x cos3x = sin2xcos6x. 
 
4.18. 1) 
x
x
x
3
cos
2
sin
5
2
cos










; 
2) sin9x +
x
x
x
9
cos
3
7
sin
7
cos
3


; 
3) 2cos3x sinx + 2cos
2








х
4
= 1; 
4) 
16
9
2
sin
4
sin
2
2


x
x
; 
5) 
2
10
cos
3
5
sin
2
cos
2
2
x
x
x



; 
6) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 
2
3
; 

 
31 
7) cos
2
2x + cos
2
3x = cos
2
x + cos
2
4x; 
8) sin
4
x + cos
4
x = 
8
5
;   
   9) cos
4
x – sin
4
x = cosx; 
10) 
2
6
cos
2
3
cos
6
sin
4
4




























x
x
x
; 
11)  sin
6
x + cos
6
x =
16
7
;  
   12) sin
4
x + cos
4
x = sin2x – 
2
1
; 
13) tg
2
x = 12cos
2
x. 
 
4.19.  1) 1 – sin2x = cosx – sinx; 
2) 2(cosx – sinx)
2
 – 5(cosx – sinx) + 2 = 0; 
3) sinx +








x
2
sin
= 1 + 2sin2x; 
4) 
.
4
sin
3
)
2
cos
2
(sin
2
x
x
x



 
5) 2cos4x + 7(sinx + cosx)
2
 + 2 = 0; 
6) 1 + 5sinx = 3sin2x + 5cosx; 
7) 7sin2x + 15sinx = 9 + 15cosx. 
 
4.20. 1) 
;
0
1
sin
6
5
cos
4










x
x
 
2)
;
0
4
1
3
3
sin
cos











x
x
 
3)
.
3
3
cos
sin
4









x
x
 
 
4.21. 1) 
;
cos
3
2
sin
2
5
cos
sin
2
2
x
x
x
x


 
2) sin2x = tgx(4 – 7cosx); 
3) 4sinx sin2x sin3x = –sin12x; 
4) 4cosx cos2x cos3x = 1 – cos8x; 
5) sin2x sinx – 0,5sinx – sin2x = 
2
1

; 
6) 
3 tgx + 2cos2x = 2; 

 
 
32
7) 
3 cos3x = 4(sin3x – sin
3
3x); 
8) sinx = 
)
cos
(cos
2
2
3
x
x 
; 
9) 4ctgx + 8cosx – 2sinx – 1 = 0; 
10) 5tgx –15sinx – 3cosx 
 
+ 1 = 0; 
11) cos
3
2x – sin
3
2x = cos2x – sin2x; 
12) 8cos
3
x + 1 = 2cosx + 1; 
13) 3sinx + 
3
3
cosx – tgx – 
3 = 0; 
14) cos7x(3cos3x + sin3x)
2
 = 10cos
3
7x; 
15) sin
3
x – cos
3
x = – 17 (sin
4
x – cos
4
x); 
16) cosx(6sin
2
x – 4) = –5sin2x; 
17) cosx – 1 = cos2x – cos3x; 
18) 
.
cos
2
)
3
cos
5
(cos
x
x
x
x
x


 
 
4.22. 1) 
;
2
6
cos
6
sin
3
sin
2
2

























x
x
x
 
      2) 2
.
0
1
4
cos
3
4
sin
sin
2
2


























x
x
x
 
 
4.23. 1) cos6x – 12cos
3
x = 4 – 9cosx; 
2) 48sinx – 6cos6x = 5 + 64sin
3
x; 
3) 27sin3x + 81sin
 








3
x
= 4. 
 
4.24. 1)
;
6
cos
2
6
3
sin
2


















x
x
 
      2) 
.
3
6
cos
2
3
2
sin
2



















x
x
 
 
4.25. 1) 2cosx + cos2x + 1 = 







2
3
cos
2
cos
2
2
2
x
x
; 
    2) cosx + cos
1
3
2
cos
3


x
x
;        3) sin2x – 
.
1
3
4
cos
3
2
sin


x
x
 
 

 
33 
4.26.  Найти  возможное  значение  tg4х,  если  х  удовлетворяет 
уравнению: 
1) cоs4x – 3sin2x + 1 = 0; 
 
2) 2sin
2
2x + (
3 – 2)cos2x + 3  – 2 = 0; 
3)  3 tg
2
8x – 2tg8x – 
3  = 0; 
4) 4sin
2
8x – 2(1 +
2 )sin8x + 2 = 0; 
5) 2cos
2
4x + (
3 – 2)cos4x – 3 = 0. 
 
4.27.     на указанном   .  
1) sin2x + 2sinx = 1 + cosx,    [–4; –3]; 
2) 
,
x
4
3
2
sin
2

  x  (0, 45); 
3) 
, 
3
1
 
12
 
ctg
2









x
  
;
2
9
2
5
< x <
 
4) sin7x = cos3x,  [0,1; 0,9]. 
 
Решить .  
4.28. 1) 
0
3
)
cos
(sin
2
2



 
x
x
x
x
;  2)  
0
4
2
sin
2
1
2
2



x
x
; 
3) 
;
0
3
2
sin
2











x
x
 
4) 
;
0
4
cos
2











x
x
 
5) 
;
0
2
4
3
tg










x
x
 
6) 
.
0
)
2
)(
(
4
3
2
ctg













x
x
x
 
 
4.29. 1)
0
5
6
)
1
3
(cos
2




x
x
x
; 
2) (sin
2
x + 2 –  3 sin2x – cos
2
x)
)
4
(
х
х

= 0; 
3)
;
0
)
2
cos
6
(cos
20
30
2






x
x
x
x
 
4) (sinx – cosx)
;
0
34
19
2



x
x
 

 
 
34
5) 
;
0
)
2
cos
3
sin
4
(cos
1
3





x
x
x
x
x
 
6) 
.
0
3
4
cos
3
2
sin
2
2





x
x
x
 
4.30. 1)
;
0
3
sin
cos









x
x
 
 
     2)
;
0
3
2
sin
tg










x
x
 
3)
;
0
)
cos
3
(sin
sin



x
x
x
 
4) 
;
0
4
1
sin
ctg
2








x
x
 
5) 
.
0
)
3
ctg
(
cos
sin



x
x
x
 
 
4.31. Найти число х, удовлетворяющее уравнению: 
1) 2sin2x + 2(sinx – cosx) – 1 = 0; 
2) 2sin
2
x + sinx – sin2x – cosx = 0; 
3) 2(sinx +cosx) + tgx + 1 = 0; 
4) 2sin2x – sinx – cosx + 1 = 0; 
5) tgx ctgx + tgx –ctgx = 1. 
для которого функция у = 3 – |x – 2| принимает наибольшее значение. 
 
4.32. Найти целые решения уравнений. 
1) sin2x = sin(x
2
 + 1); 
2) cos3x = cos(2x – 3); 
3) tg5x = tg(3x + 4); 
4) ctg(3x + 2) = ctg(5x – 4); 
5) 
6
3
2
cos
2
sin



x
x
. 
 
4.33. Пусть х
1
 и х
2
 (х
1
  х
2
) – два решения уравнения, принадле-
жащие интервалу (0; ). Найти tg(x
1
 + x
2
) для уравнений: 
1) sin
2
x + sinxcosx – 2cos
2
x = 0; 
2) 2sin
2
x + sinxcosx – 3cos
2
x = 0; 
3) 2sin
2
x + 3sinxcosx – 5cos
2
x = 1; 
4) (sinx + cosx)
2
 – 3sinx cosx – cos
2
x = 0,5; 
5) cos2x – 3sinxcosx = 0. 
 

 
35 
4.34. Найти х – решения уравнения f(x) = 0, для которых g(x)  0. 
1) f(x) =
3
3
2
sin
4
2









x
;  
1
6
3
cos
2
)
(










x
x
g
; 
2) f(x) =
1
4
3
cos
2
2









x
;  


















3
2
sin
3
sin
)
(
x
x
x
g
; 
3) f(x) =
3
6
2
tg
2









x
;  
x
x
x
g
2
cos
sin
)
(

; 
4) f(x) =
1
3
2
ctg
2









x
;  
x
x
x
g
2
sin
cos
)
(


; 
5) f(x) = cos
2
2x – cos
2
x;  g(x) = 4cos
2
x – 1. 
 
Решить уравнения. 
 
4.35. 1) 
;
1
sin
2
sin

x
x
 
2) 
2
cos
sin
2
cos


x
x
x
; 
3) 
;
0
cos
3
cos

x
x
 
4) 
;
2
3
2
sin
3
sin

x
x
 
5) 
;
2
3
2
sin
3
cos


x
x
 
6) 
0
6
2
cos
sin
3
2
2
2







x
x
x
x
. 
7) 
0
3
cos
2
1
sin
2



x
x
. 
8) 
1
1
cos
sin
2
2
sin
sin
2
3
sin
2
1
2





x
x
x
x
x
. 
9) 
0
cos
3
sin
7
3
cos
4
2
cos
2
sin
6
2





x
x
x
x
x
. 
10) 
.
0
3
sin
2
1
cos
3
cos
10
2




x
x
x
 
11) 
.
0
1
cos
10
cos
8
cos
2
cos



x
x
x
x
 
12) 
.
0
1
sin
8
cos
5
sin
3
sin



x
x
x
x
 

 
 
36
13) 
.
sin
cos
cos
sin
2
cos
4
sin
2
2
sin
2
x
x
x
x
x
x
x





 
 

жүктеу/скачать 1,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: