§ 3. ДИФФЕРЕНЦ И АЛ. Д ИФФЕРЕНЦ И РУЕМ О СТЬ ФУНКЦИИ

66
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ
v\ 891. Найти приближенное значение приращения функции у =  sin# 
при изменении # от 30° до 30° Г- Чему равен sin 30° Г ?
892. Найти приближенное значение приращения функции у =  tg# 
при изменении # от 45° до 45° 10'.
893. Найти приближенное значение приращения функции у =
1 4- cos х 
я 
"  . 
1
= -r J ----- при изменении # от 
до -тг + тт^.
1— cos А' 
г __________________
6 3 100
894. p = k У  cos 2ср; найти dp.
J . 1
895. у  — 3-v “г"2-А‘ -{- 6^*. Вычислить dy при # = 1 и г/# — 0,2.
896. Вычислить приближенно sin 60° 3', sin 60° 18'. Сопоставить полу­
ченные результаты с табличными значениями.
1 -4- In к
897. Проверить, что функция у =  v _ / v; ^ у удовлетворяет соотно­
шению 2х°- dy = (х~у- -j- 1) dx.
898. Проверить, что функция у , определенная уравнением arctg -^ =
= In У  #~ -[-у 1, удовлетворяет соотношению # (dy — dx) — у (dy -f- dx). 
^ 899. / (# ) = . Подсчитать приближенно /(1,05).
900. Вычислить arctg 1,02; arctg 0,97.
901. Вычислить приближенно 
_|_ 5*
902. Вычислить приближенно arcsin 0,4983.
903. Если длина тяжелой нити (провода, цепи) (рис. 25) равна 2s, 
полупролет — 
а стрелка провеса — /, то имеет место приближенное 
равенство
а) Подсчитать, какое изменение произойдет в длине нити при изме­
нении ее стрелки провеса / на величину df.
б) Если учесть изменение длины провода ds (например, от измене­
ния температуры или нагрузки), то как изменится при этом стрелка
провеса?
904. 
Сравнить погрешности при нахождении угла по его тангенсу 
и по его синусу с номощыо логарифмических таблиц, т. е. сопоставить
точность нахождения угла # по фор­
мулам lg sin # = _у 
И 
lg tg X  = z,
если у  и z даны с одинаковыми по 
грешностями.
905. При технических расчетах 
часто сокращают % и у g (g — уско- 
Рис. 25. 
рение силы тяжести), когда одно
пз этих чисел стоит в числителе, 
а другое — в знаменателе. Какую относительную погрешность делают 
при этом?

'4 906. Выразить дифференциал сложной функции через независимую 
переменную и ее дифференциал:
\) у = Ү X * Ь х \ х = Р  —
J- 2 t-j- 1; 2) s = c o s '2r, z = -—
3) г = arctgv, v = - ^ ;  4) v = 3 x, at = In tg s;
5) s = es, z = ~  hi t, t = 2ir — 3// -[■ U
6) у = In tg 
, и =  arcsin v, v = cos2s.
Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь ф у и к ц ий
907. Функция у = | х  | непрерывна при любом х. Убедиться, что при 
х = 0 она недифференцируема.
908. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции 
у = \хл | при # = 0.
909. Функция /(х) определена следующим образом: / (х )= 1 - |- х
для х ^ 0; / (х) = х  для 0 <[ х 
1; /(х) = 2 — х для 1 
х ^ 2 
и / (х) = Зх — х “ для х ^ > 2. Исследовать непрерывность /(х) и выяс­
нить существование и непрерывность /' (х).
910. Функция у =  |sin х\ непрерывна при любом х. Убедиться, что 
при х =  0 она недифференцируема. Имеются ли другие значения неза­
висимой переменной, при которых функция недифферепцируема?
911. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции 
у = е ~ \ х[ при х = 0.
912. / (х) = х~ sin ■
— нри х ф  0, /(0) = 0. Будет ли функция f ix ) 
дифференцируемой при х = 0?
913. / ( х ) = ^ 
при х ^ 0 , /(0) = 0. Будет ли функция/(х)
V 
х
при х = 0 непрерывной и дифференцируемой?
914. Дана функция / ( х ) = 1 -j-Ү ( х — I) 3. Показать, что при х = 1
из приращения функции нельзя выделить линейную главную часть, 
и поэтому f ix )  при х = 1 не имеет производной. Истолковать резуль­
тат геометрически.
915./(х ) = х arctg 
при х ^ О , / (0) = 0. Будет ли функция /(х)
при х = 0 непрерывной? дифференцируемой? Истолковать результат 
геометрически.
916. 
/ (х) = -^Ц- при х ф  0 и / (0) = 0. Будет ли функция f ix )
\ + е х
при х = 0 непрерывной? дифференцируемой?
3*

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: