Изучая поведение функции



бет1/3
Дата23.05.2023
өлшемі274,76 Kb.
#177532
  1   2   3
Байланысты:
Тема 6.1.Понятие производной


Тема 6.1. Понятие производной. Геометрический и кинематический смысл.

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.


Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1.
Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)−f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.
Итак, x1−x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.
f(x1)−f(x0)=Δy, значит, Δy=f(x0+Δx)−f(x0).

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.


Определение: Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции. 

(Часто вместо f(x+Δx)−f(x) пишется Δy.)





Иногда используются обозначения f '(x) или 
Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференцированием. 
Вычисление производной функции у=f(х) проводится по общему правилу дифференцирования. Запишем алгоритм:

  1. Придавая аргументу х приращение Δx, найдем у+Δy= f(x+Δx)

  2. Найдем приращение функции Δy=f(x+Δx)−f(x).

  3. Составим отношение:

  4. Найдем предел этого отношения при Δx→0:


Этот предел и есть производная от функции у=f(х).




Пример 1: Найти производную функции у = 2х2-3х по общему правилу.

  1. у+Δy=2(x+Δx)2- 3(x+Δx)=2х2+4х∙Δx+2(Δx)2-3х-3(Δx)

  2. Δy=( у+Δy)-у = 2х2+4х∙Δx+2(Δx)2-3х-3(Δx)- (2х2-3х) =4х∙Δx+2(Δx)2-3Δх





Следовательно, у'=4х-3

Чтобы найти значение производной в заданной точке, например, в точке х=3, необходимо подставить это значение в производную:


у'(3)=4∙3-3=9


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет