Есептеңіз: arctg2+arctg3+arctg1=?
Анықтама:arctg а(арктангенс а) — бұл тангенстің интервалында анықталатын а ға тең болатын ерекше түрі.
Шешуі:Осы анықтаманы негізге ала отырып, arctg х= π/4 ескереміз.
Сонымен arctg2дегеніміз не? Ол үшін бізге arctg хфункциясының артықшылықтарын, яғни оның мәндер жиынын білуіміз керек. Осы арқылы біз ункция графигін еш қиындықсыз сыза аламыз.
y
0 x
3-cурет. arctg хфунциясы
Бұл тангенстің (-π/2:π/2) интервалында 2 - ге тең болатын мәні болып саналады. Аналогиялық тұрғыда сонымен біргe arctg3-те солай.
Графикалық интерпретацияны қолданайық (4-сурет). Суретте көрсетілгендей, arctg2 = x1,arctg3= x2болады. Бұл жерден ұққанымыз,х1 және х2иррационал сандар, бұнымен қоса оларды тек қана жуықталған мәнде ғана ала аламыз. 6 суретте көрініп тұрғандай, arctg2= α, а аrctg3= β. Бірауыздан айтарымыз бұл жерден есептің нақты мәнін анықтау мүмкін емес.
Геометриялық түрлендірулерді есеп шығаруға қолдану берілген есептің шешу жолын анағұрлым жеңілдетеді.
Мынадай бұрыштарды тұрғызайық: arctg3= arctg2 =(5-сурет).
С
B
M A N
5- cурет. Үшбұрыш
Онда arctg1=<ВАС,мұнда <ВАС– теңбүйірлі тікбұрышты ABC үшбұрышының тік бұрышы.
Мұнда (ВС = АС=√5,АВ = √lO ,ал Пифагор теоремасына қарама қарсы теоремасы бойынша, АВ2= АС2+ВС2,сәйкесінше <ВСА =90°, а <ВАС= 45°).
Олай болса, arctg2 + arctg3 + arctg1 =<ВАМ + <ВАС + = = π. Жауабы : π