Әрбір мемлекеттің болашағы мектепте шыңдалады. Ертең осы елге ие болып, тізгінін ұстар азаматтар-бүгінгі мектеп оқушысы

2. 
   Математикалық кеш туралы жалпы түсінік
   

Тəуелсіздік алған Қазақстан Республикасы үшін елдің ертеңі жарқын, болашағымыз кемелді, ұрпағымыз сауатты болуы үшін, əрине, еліміздің дамуының басқа бағыттарымен қатар, білім саласы да ерекше маңыздылыққа ие болуы қажет. Білім берудің бүгінгі күнгі талабы — оқушының жан- жақты іс-əрекеттік қабілетінің дамуы. Оқушыны дамытуда ежелгі замандардан бері математиканың алар орны ерекше. Математика ғылымының өзге ғылымдар мен техниканың қарқынды дамуына қосар үлесі аз болған жоқ. Математика — барлық ғылымдардың логикалық негізі болғандықтан да, математика оқушының дұрыс ойлау мəдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі, оған қоса өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек береді[8].

Бүгінге оқушылар арасында математика ғылымына деген қызығушылықтың төмендегені ешкімге де жасырын емес. Мүмкін, оның салдарынан əріден іздеу қажет шығар. Қалай дегенмен де өзге салалардың қарқынмен дамуына негіз болатын математиканың ешқашан өлмесі анық тұжырым. Бұл кемшіліктің орнын толтыру үшін, яғни, мектеп оқушыларының пəнге деген көзқарасын əр түрлі факторлармен: жеке басының жəне пəннің ерекшеліктерімен қатар оқыту əдісімен өзрету қажет секілді. Оқушылардың жас ерекшеліктерін есепке ала отыра, пəнге деген ынтасын арттыру мақсатында үйірме жұмысын ұйымдастырудың маңызы зор. Мектеп бағдарламасынан ауытқи алмайтын пəн мұғалімі үшін 40 мин ішінде балаларға жаңа тақырыпты түсіндіру, бекіту, үй тапсырмасын қарау секілді шараларды қамтумен бірге, баланың бойындағы жеке қабілетті ескере жұмыс жасау, қиындық туғызады.[9] Сондықтан да бұл мүмкіндікті пəннен өткізілетін сыныптан тыс арқылы қолдануға болады. Оқушылардың басым бөлігінің математика пəніне қызығушылығының артуы ең алдымен үйірме жұмысының қаншалықты дұрыс ұйымдастырылғанына байланысты болмақ.

Үйірме жұмысында оқушылардың математика тарихынан алынған мағлұматтармен жəне көрнекті математиктердің өмірбаянымен, ғылыми еңбектерімен таныстыру мұғалімнің сыныптан тыс жұмыстарын жандандырады. Баланың ой-өрісін дамытатын логикалық есептер шығаруға, қалжың есептерді талдауға, викториналық сұрақтарға, оқушылардың шығармашылық қабілетін дамытатын математикалық сандық ребустарға, қиынырақ есептерге уақыттың бөлінгені де дұрыс. Мектептегі математика пəнінен сыныптан тыс жұмыстардың негізгі түріне — үйірме жұмыстары жатады. Математикалық үйірме оқушылардың пəнге деген қызығушылығын арттырумен қатар, математикалық oй-өрісін, шығармашылық қабілеттерін дамытуға, өзіндік жұмыс жасау дағдыларын қалыптастыруға математикалық білімінің сапасын жоғары деңгейге көтеруге септігін тигізеді. Негізінен, барлық сыныптардағы математикалық үйірмелер екі денгейде болуы мүмкін: біреуі — үлгерімі жоғары деңгейдегі оқушылар үшін, екіншісі — үлгерімі орта деңгейдегі оқушылар үшін. Тапсырмалар шарттары оқылғаннан кейін, оқушылар орындарында отырып өз шешімдерін ұсынады. Осылайша 2-3 тапсырма беруге болады.

Математикалық кештерді шартты түрде келесі топтарға бөлуге болады:

1. тарихи мазмұндағы кештер (математиканың даму тарихының кейбір сәттері қарастырылады) );

2. атақты математикке арналған кештер;

3. математиканың қолданылуын көрсететін кештер.

Кештерді өткізу формасы бойынша бөлу мүмкін:

1. саяхат-кеш;

2. кеш-турнир;

3. сахналау кеші;

4. КТК кеші;

5. кеш-жарыс;

6. аралас кеш.

Математикалық кештер арасында сайыс-кештер ерекше орын алады,олардың бірі математикалық олимпиада ойындары болып табылады

1. 
   Қызықты мазмұнды есептерді сахналау. Қатысушылардың біреуі автор атынан тапсырма тексін оқиды, ал бірнеше басқа оқушылар тапсырма тексіндегі атқарушы тұлғалардың іс- әрекетін орындайды. Соңында оқушы нені табу керектігін түсіндіреді.
   
2. 
   Тапсырмаларды шешу кезеңін сахналау. Сахнаға екі қатысушы шығады, біріншісі екіншісіне қолайлы шартты тапсырма ұсынады. Екіншісі тапсырманы шешу әрекетін жасайды және қателер жібереді. Біртіндеп ол дұрыс шешімге жетеді. Кейде мұндай әңгімелерге көрермендерді де қатыстыруға болады.
   
3. 
   Математикалық викторина. Кешке ұзақтығы 25-30 минут көлеміндегі математикалық викториналарды ғана ұсынған жөн. Себебі көбінесе қатысушылар ұзақ викториналардан шаршап, қызығушылығы азаяды.
   
4. 
   Плакаттардағы тапсырмалар. Плакаттарға әдемі безендірілген тапсырмаларды ілуге болады[9]
   

Математикалық кештер көркем, қызықты, танымдық іс-шаралар болып табылады.Кештің негізгі мақсаты: математикаға деген қызығушылықты арттыру.Басқа мақсаттар:

• 
  қандай да бір тақырыпқа жақын танысуға ниет ояту;
  
• 
  оқушыларды математикадан дербес жұмысқа тарту[10].
  

Математикалық кештерді әр түрлі формаларда жүргізуге болатынын, мысалы: креактивті, яғни шығармашылық, ерекшеленген типтегі кештер: есептер құрастыру және шешу кештері; диалог кештер(дискуссиялар, диспут, эвристикалық әңгіме, дөңгелек үстел, дебаттар т.б.); парадокс-кештер(мысалы, «іш-сырты жоқ көйлек» - Мебиус парағы, Эвклит геометриясының проблемасы т.б.); фантазия кештері («іш-сырты жоқ құмыра»-Клейн бөтелкесі) т.б.түсінуге болады[11].

Коммуникативті типтегі кештер: көрме-кештер, аукцион-кештер, конференция-кештер, көңілді тапқырлар клубы, спектакль-кештер, «дөңгелек үстел» кештері, шығармашылық есеп шешу кештері т.б; ғалымдармен кездесу көрмелер, колекциялар ұйымдастыру, ойындар, қызықты математикадан жарыстар, конкурстар, математикалық тақырыптық кештер, ғалымдардың өмірі мен қызметіне арналған кештер, белгілі бір проблемаларға арналған кештер, жас ерекшеліктеріне байланысты төменгі сынып оқушыларына арналған, жоғарғы сынып оқушыларына арналған кештер т.б.[12].

Оқушылардың математикалық кешке қатысу дәрежесі көбінесе негізгі пәндермен тікелей байланысты емес қызмет түрімен шектеледі: кештің безендірілуін дайындау, газет шығару, сахналардағы рөлдерді орындау, билеттер мен сыйлықтарды дайындау, өлеңдерді безендіру, ойындар үшін материалдар тарату және т. б. Кіші жастағы оқушылар үшін математикалық кештерді ұйымдастыру мақсаты:1) затқа қызығушылық білдіру;2) күрделі математикалық идеяларды қызықты түрде ұсыну;3) таң қаларлық, 4) тапсырманы өзі тұжырымдауға және шешуге ұмтылыс туғызу.Әрине, математиканың қызықты қырымен шамадан тыс қызығушылығы ояту нәтиже бермейтінін есте сақтау керек. Тек әзіл мен сыртқы әсерде оқушыға математикаға деген шынайы және тұрақты қызығушылықты тудырма алмайтыныңызды ескеру қажет. Кешке арнайы математикалық қабырға газеті шығарылады. Кештің тақырыбымен байланысты мақала және кітаптар көрмесін дайындау керек. Кейбір кітаптар немесе мақалалардың қызықты ойлар, қызықты фактілер, тартымды есептер бар беттерін ашып қойған жөн. Көрмеге міндетті түрде жабық стендіні қолдану керек емес[13]. Мысалы, Смоленскіде қалалық математикалық кештерде пединституттарда көрмеге алынған кітаптар столдарда да тұра береді. Оқушы кезекшілерден 10-20 минутқа кітаптарды қарап шығуға ала алады.

Кеш болатын залға (немесе сыныпқа) математиктердің суреттерін, олардың даналық сөздерін, олар туралы қысқаша мәліметтер; қызықты есептер; софизмдер; есептер (мысалы, олимпиадаға дайындық есептері, логикалық есептер, математикалық есептер және т.б.) ілінеді.

Плакаттардың басым бөлігін оқушыларды қызықтыратындай етіп жасау қажет. Мұндай суреттерді қажет болса ксерокөшірмемен кейбір математикалық кітаптардан (мысалы, Перельманның кітаптарынан, «Ойлануға бес минут» кітабына және т.б.), «Білім - күш», «Жастар техникасы» журналдарынан және т.б. алуға болады. Үлкейтілген суреттер мен көшірмелерді алу үшін эпидиаскоп қолайлы құрал болып табылады. Түпнұсқаны эпидиаскопқа орналастырып, экран ретінде таза қағаз алынады. Осы парақта біз түпнұсқаның үлкейтілген бейнесін көреміз. Осы бейненің контурларын қарындашпен басып, оны бояу ғана қалады.

Кештің бағдарламасына әдетте әңгімелер, отырыстар, хабарламалар, математикалық және математика тарихынан баяндамалар, математикалық софизмдер, фокустар, ойындар, тапсырмалар (математикалық викториналар), көріністер, өлеңдер, математикалық газеттер жатады.

Математикалық кештердің құндылығы осы кештерде іс-әрекет сипатында емес, олардың математикалық мазмұнында. Бұл балалар қиялдайтын, ойлауға, дұрыс ойлауға және сөйлеуге үйренетін кеш. Осылайша, математикалық кеште өткізілген уақыт оқушылар үшін тек бір ғана математикаға емес, жалпы мәдени құндылыққа және тәрбиелік мәнге ие.Математикалық кештердің түрлері әртүрлі. Олар викториналар, КВНдер, бір топ оқушылардың екінші топтан жарыстар, ертеңгіліктер түрінде өтуі мүмкін.Викторина қызықты түрде қойылған сұрақтар сериясынан тұратын математикалық жарыстардың оңай ұйымдастырылатын формаларының бірі. Шебер құрастырылған викторина оқуға деген қызығушылықты оятады. Сұрақ-жауап сайысы оқушыларға ғылым мен техника әлемінде қалай бағдарланатынын, олардың білімдерінің қаншалықты тиімді екенін тексеруге мүмкіндік береді[14].

Кеш өткізу әдістемесінде әр сынып оқушыларының жас ерекшеліктерін ескеру қажет, атап айтқанда, балаларға үнемі белсенді қызмет қажет. Сондықтан оқушылардың көп бөлігі ұзақ уақытты талап етпейтін, үлкен есептермен және ұқсас түрлендірулермен байланысты емес, шағын жаттығуларды орындаумен айналысуы тиіс. Шешімнің қысқаша мазмұны, нәтиженің күтпеген болуы, қызықтылығы, басқа пәндермен байланысы нақты математикалық кештің мазмұнын әзірлеудегі негізгі бағыттар[15]

Кеш ұйымдастыру кезінде оқушылардың жұмысқа белсенді қатысуына қол жеткізу, пікірталастар, даулар, көпшілік алдында пікір алмасулар,пікір алмасулар, тұжырымдар және мәселенің дұрыс шешілуіне кеңінен талдау жасау, және шындықты табуға ықпал еткен оқушылардың тегін жариялау қажет. Кеш мазмұны мектептегі математика курсын ұштастыра отырып, бір жағынан үйірме сабақтарының мазмұнын көрсете отырып, жеткілікті мөлшерде математика сабақтарына үлкен назар аудармаған, жаңадан келген оқушыларға қолжетімді болуы тиіс.Сонымен қатар, параллельдік барлық сыныптары үшін кештер ұйымдастыруға болады. Бұл жағдайда кешті әр сыныптан командалар жарысы ретінде өткізуге болады[16]. Командада орын алмаған оқушылар қолдау тобын ұйымдастыруы тиіс, команда атын және команда ұрандарын ойлап табуға болады.

Кешті өткізудің барлық тәртібі толық жоспарлануы және жазылуы тиіс: оқушылардың материалдары мен тапсырмалары алдын ала болуы тиіс. Тапсырмалардың орындалуын бақылаудың нақты тәртібі де қажет. Бұл жерде кешке бірге дайындалатын ересек оқушыларды, аралас сынып мұғалімдерін көмекке тарту керек. Тапсырмаларда мыналарды ескеру қажет: залды безендіру, қонақтарды шақыру, кештің жеке фрагменттерін өткізу, оқушылар жұмыстарының көрмесі (сынып дәптерлері, үздік бақылау жұмыстары, тапсырмаларды ерекше шешу); оқушылар жасаған ең жақсы тапсырмалар, үздік газеттер).Кешке дайындық өте қиын. Сондықтан мұғалімге бір жыл бойы осындай бір кешке бағдарлану қажет. Кешке дайындық барысында оқушылардың өз дербестігін және бастамаларын көрсету үшін мүмкіндік беру керек.Кештің негізгі мақсатын ескере отырып, математикаға деген қызығушылықты арттыру, оны ұйымдастыруға неғұрлым көп оқушыларды тарту қажет. Егер оқушыға бағдарлама нөмірін дайындау тапсырылатын болса, оның кешке деген қызығушылығы айтарлықтай артады[17].

Кешке дейін бірнеше күн бұрын кеш өткізу орны мен уақыты және оның бағдарламасы туралы көркем хабарландыру ілінеді. Басқа сынып оқушыларын шақыруға болады. Шақыру билеттері әдемі және талғамды болуы керек. Бағдарлама әр түрлі және мазмұнды болуы тиіс. Егер кештерде есептерді тез қабылдау көрсетілсе, онда осы қабылдауды шығарған кезде алгебра курсының мектептік формуласы және т. б. қолданылатыны көрсетілуі тиіс.

Кейбір мектептерде кешті мұғалім жүргізеді (немесе студент-практикант). Ол болатын келесі орындауды хабарлап, оған қысқаша кіріспесін келтіреді. Мысалы: «Сіз қазір есептеудің екілік жүйесі жайлы әңгіме естідіңіз. Қызықты фокустар осы жүйе негізінде құрылған, бір оқушы көрсетеді».

Кейде оқушы-жүргізушілердің жүргізгені жөн. себебі олар тек қатысушыны хабарлап қоймай, кейбір жерлерде қалжың айтып жүргізеді. Бұған материалдарды В.Литцман, М.Б.Балк кітаптарынан алуға болады.

Әдетте кеш екі бөлімнен тұрады. Екі бөлім арасын 10-20 минуттық үзіліс жалғайды. Үзіліс кезінде оқушылар плакаттармен танысып, ойын-есептерін шешіп, қабырға газетін оқи алады.

Оқушылардың математикалық ой-өрісін кеңейтіп, математикалық сауаттарын ашуда математикадан жүргізілетін кештердің маңызы зор. Тақырыбы, мазмұны және ұйымдастыру жолы әр түрлі болып келген кештер сыныптан тыс жұмыстардың балаларды қызықтыратын көп тараған түрі[18].

Матемктикалық кештердің мақсаты оқушылардың алған білімдерін тереңдете түсу, олардың практикалық, өмірде кең түрде қолданылуын көрсету, балалардың жаңа ғылыми және техникалық идеялар әлеміне енуіне көмектесу, еркін ойлау және математикалық сөйлеу мәдениетіне үйрету[19].

Кеш ұйымдастыруда бірнеше адамнан тұратын кеш комиссиясы құрылады. Оның құрамында мектеп дирекциясынан, екі-үш мұғалім, мектепті қамқорлыққа алған өндіріс орындарынан, математика үйірмесінің өкілдері және ұйымдастырушылық кешті әдетте үйірме жетекшілері, пән бірлестігінің тапсыруы бойынша екі-үш мұғалім ұйымдастырады.

Кешке арналған газеттер, ребустар, викториналар, сөз жұмбақтар күні бұрын даярланып ілінеді. Оны оқушылар алдын ала оқып біліп талдауы қажет. Кешке арналған залды көркемдеу үшін оқушылардың эстетикалық талғамына сай газеттер конкурсын ұйымдастыру керек, сондай-ақ оқушылардың үлгілі дәптерлері мен өздері жасаған фигуралардан, қызықты математикалық кітаптардан көрмелер ұйымдастырылады[20].

Мектеп оқушылардың математикалық мазмұнды өлең-жырларын, құрастырған есептерін, сөзжұмбақтарын, викториналарын т.б. , яғни кешке деген тартуларын қабырға газеттеріне және басқа жерлерде пайдалану арқылы олардың беделін жолдастарының арасында көтеруге болады.

Кеш өткізер алдында математикалық апталығы ұйымдастырылады. Біз педагогикалық практика кезінде өз тәжірибемізде апталықты кештің тақырыбына қарай әр түрлі формада өткіземіз[21].

Кештерді көбінесе эстафеталық формада өткізген жөн.

Параллель сыныптардың не жарысқа қатысушы жақтардың өз программасы, өзіндік ерекшеліктері, құпиясы болуы керек. Кештің бүкіл мазмұны таңдап алынған тақырыбына сай болғаны жөн.

2. 
   Математикалық кеш тақырыптары мен тапсырмалары
   

«Математиканың қорғанын тек күштілер мен батылдар ғана бұза алады» деген А.П.Конфоровичтің нақыл сөзін толық жүзеге асыру үшін бала математикадан тек мықты ғана емес, аса мықты болуы керек. Ол үшін, əрине, математикадан қосымша тапсырмалар орындалып, көптеген жұмыстар жүзеге асырылуы тиісті екені түсінікті. Бұл шаралар оқушының математикалық сауаттылығын арттырады, математикалық ойлау қабілеттері мен есептеу дағдыларын дамытады, дұрыс шешімдер табу үшін зерттеушілік əрекетпен айналысуға үйретеді, оқушылардың шығармашылық-эвристикалық қабілеттерін жетілдіреді жəне де есептердің шешімін табуда табандылыққа, шапшаңдыққа, өздігінен жұмыс жасауға жəне белсенділікке тəрбиелейді. Сондай-ақ математикалық кештер арқылы өз бойындағы жеке жара қабілеттерін көре бастайды. Математикаға деген қызығушылықтарын арттыра отырып, бір-бірлеріне деген сенім, мйірімділік қасиеттері оятады. Батылдыққ, жауапкершілікке үйретеді[22].

Баладан күтілетін нəтиже əдетте жоғары болатындығы сөзсіз. Баланы сол деңгейге жеткізуге тырысатын мұғалімнің əдістемесі де назардан тыс қала алмайды. Себебі оқу үрдісінде мұғалімнің əдістемесі ең басты көрсеткіштердің бірі болып келеді жəне солай бола береді де. Олай дейтін себебіміз оқушылардың шығармашылық қызметінің дамуы көбінесе сыныптан тыс жұмыстар барысында жүзеге асады. Оқыту барысындағы оқушылардың танымдық белсенділігі мен ізденімпаздық шығармашылығы, оны арнайы басқарудың маңыздылығын кезінде Сократ та атап көрсеткен. Сабақтан тыс жұмыс оқу жұмысын толықтырып, материалды оқушыға терең түсіндіруге, шығармашылық қабілеттерін дамыту барысында ұйымдастырылады. «Сыныптан тыс жұмыс» ұғымы өте кең. Ол мазмұны, бағыты, əдісі, тағайындалуы, формасы мен жолдары жағынан білімділікті қажет етедi[23]. Мысалы, үйірмелер отырысы, қосымша сабақтар, мерекелік шаралар мен кештер өткізу осы сыныптан тыс жұмыстарға жатады.

Математикалық кештер пəнаралық байланысты да нығайта түседі. Математикалық кеш бұл мұғалімдер мен оқушылардың сыныптан тыс уақыттағы əр түрлі «іс-əрекеттері мен іс-шараларын» ұйымдастыру болып табылады. Түрлі формадағы математикалық кештер оқушының күнделікті сабақта байқала бермейтін жеке қабілеттері мен мүмкіндіктерін ашады. математикалық кештердің əр түрлі формада ұйымдастырылуы оқушының өзіне сенімділігін, өзін дұрыс бақылауын қалыптастырады, сонымен қатар əр түрлі жұмыстар оқушының іс-тəжірибесі мен дағдысын, адам қызметінің əр түрлілігі туралы білімі мен біліктілігін арттырады. Мұғалім математикалық кештерді ұйымдастыру барысындағы жеке қабілеттерін көре бастайды. Және ол балалармен тығыз байланыста болған сайын, балалардың да сабаққа деген қызығушылығын арттырады[24]. Кештің бағдарламасына әдетте әңгімелер, отырыстар, хабарламалар, математикалық және математика тарихынан баяндамалар, математикалық софизмдер, фокустар, ойындар, тапсырмалар (математикалық викториналар), көріністер, өлеңдер, математикалық газеттер жатады.

Әдетте математикалық кеш математикалық немесе математика тарихына байланысты баяндамадан басталады. Баяндама тақырыптары әрбір оқушыға түсінікті әрі көңілге қонымды болу керек. Үлкен баяндаманы ұзақтығы 7-10 минут болатындай мақсатына қарай бірнеше бөліктерге бөліп, әр бөлікке жеке-жеке баяндаушы тағайындауға болады. Математикалық кеш өткізу барысында басты көңіл аударылатын жайт – математикалық кеш тақырыбы болып табылады. Математикалық кештің өткізілу сыныбына қарай тақырып таңдалады. Алайда математикалық кеш тақырыбын мұқият таңдау қажет, өйткені математикалық кеш өткізу барысы тікелей тақырыбына байланысты болады. Математикалық кеш тақырыбын таңдау кезінде:

• 
  Оқушылар сыныбының деңгейіне;
  
• 
  Оқушылардың білім деңгейлеріне;
  
• 
  Тақырыптың өзектілігі мен қызықтылығын;
  
• 
  Тақырыптың сабақ барысында оқушылардың қабылдауын ескеру қажет.
  

1. 99999 санына кез келген бес таңбалы санды көбейту. «Кез келген бес таңбалы сан айт. Мен ол санды 99999 санына жылдам көбейтіп, жауабын айтамын». (Мысалы, оқушы 64728 санын айтады. Жауабы: 64728*99999=6472735272).

Түсіндіру. Оқушы ойлаған санды (64728) 1-ге азайтамыз (64727) және шыққан айырма соңынан әр цифрдың 9-ға дейінгі толықтауышы жазылады (6472735272). Бұл әдіс 99999-ға көбейтілген сан 100000-ға көбейтілген санмен тепе-тең (яғни оған бес нөл қосылып жазылады), сол 100000-ға көбейткенде шыққан шешімнен сол санның өзін азайтудан шығады.

2. «9-ға еселік болатын кез келген екі таңбалы санды ата. Мен оны жылдам 12345679 санына көбейтемін». (Мысалы, оқушы 54 санын атады. Жауабы 12345679 *54=666666666).

Түсіндіру. Оқушы атаған санды 9-ға бөлеміз, бір таңбалы сан аламыз және оны 9 рет қатарынан жазып шығамыз.

3. «Кез келген екі таңбалы санды кубта. Шатасып қалма! Мен ойша шыққан шешімнен кубтық түбір аламын.» (Оқушы 328509 санын атады. Жауабы .

Түсіндіру. Мен алғашқы 9 натурал санның кубтарын білемін: 1³= 1, 2³= 8, 3³=27, 4³=64, 5³=125, 6³=216, 7³=343, 8³=512, 9³=729. Осы тоғыз санның шеткілерінің (1 және 9) және ортаңғы үшеуінің (4,5,6) кубтары осы санның өзіне аяқталады, ал қалған төрт санның кубтары осы санның 10-ға толықтауышымен аяқталады. 328 509 саны 9 цифрымен аяқталады. Онда оның кубтық түбірі тоғыздықпен аяқталады. Сонымен қатар, 6³=216<328,7³=343>328. Онда бірінші цифры 6.

Математикалық софизмдер. Кеш барысында көрермендерге сахнадан софизмдер ұсынуға болады. Мысал келтірелік.

Сіріңке шиі телефон бағанынан екі есе ұзынырақ! «Әрбір қатысушы, әрине, телефон бағанының сіріңкеден ұзындығын айтады. Ал мен болсам әрбір сіріңкенің телефон бағанынан ұзындығын, тіпті тура 2 есеге ұзындығын дәлелдеуге кірісемін.

Шынында, – сіріңке шиінің ұзындығы (дециметрмен), – бағана ұзындығы (дециметрмен). деп белгілейік, сонда . Осы теңдіктерді мүшелері бойынша көбейтейік. Сонда: . екі жағынан да –ны алып тастайық.

Мынаны аламыз: