Рис. 126 60° 6 1 А B С D O T Рис. 127

Задача 2
(рис. 128). Дано осевое сечение
усеченного конуса — равнобедренная тра
пеция с основаниями а и b и площадью Q.
Найдите объем усеченного конуса.
Решение.
1) Воспользуемся формулой площади
трапеции:
Q
=
1
2
2
(
)
a b H
H
Q
a b
+
Þ
=
+
;
2) тогда
V
H R
R R
R
Q
a b
a
ab
b
=
+
+
=
×
+
×
+
+
æ
èç
ö
ø÷ =
1
3
1
3
2
4
4
4
1
2
1
2
2
2
2
2
p
p
p
(
)
Q a
ab b
a b
(
)
(
)
.
2
2
6
+
+
+
Ответ:
V
= p
Q a
ab b
a b
(
)
(
)
2
2
6
+
+
+
.
Задача 3
(рис. 129). V — объем конуса, вы
сота конуса разделена на три равные час
ти, через точки деления проведены плос
кости, параллельные основанию конуса,
в результате конус разбит на три части.
Найдите объем средней части.
Решение.
1) Введем обозначения:
V
1
— объем конуса, основанием которого
является первое от вершины сечение,
V
2
— объем конуса, основанием которого
является второе от вершины сечение,
V
3
— объем искомой средней части.
Имеем: V
3
=
V
2
– V
1
;
2) воспользуемся подобием конусов:
V
V
k
1
1
3
3
1
3
1
27
=
= æèç
ö
ø÷ =
Þ
V
V
1
27
=
;
3) аналогично
V
V
k
2
2
3
3
2
3
8
27
=
= æèç
ö
ø÷ =
Þ
V
V
2
8
27
=
;
4) тогда V
3
=
V
2
– V
1
=
8
27
V
–
V
27
=
7
27
V
.
Ответ:
V
3
=
7
27
V
.
—
110
—
А
B
С
D
а
b
H
Рис. 128
V
V
V
1
2
Рис. 129
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

§ 8. ОБЪЕМ ШАРA И ЕГО ЧАСТЕЙ
8.1. Теория
Выведем формулы объема шара и его частей.
Теоремы 15
Пусть R — радиус шара (рис. 130, а).
1. Объем шарового пояса (слоя), заключенного между плоско
стями х
=
а и х
=
b, V
= p
R
2
(b – a) –
p
3
3
3
(
)
b
a
-
.
2. Объем шара V
=
4
3
3
p
R .
3. Объем шарового сегмента V
H
R
H
=
-
æ
èç
ö
ø÷
p
2
3
, где Н — высота сег
мента.
4. Объем шарового сектора V
=
2
3
2
p
R H.
Доказательства.
1. 1) В данном случае S(x)
= p
(R
2
– x
2
)
= p
R
2
–
p
x
2
;
2) тогда V
¢
(х)
=
S(x)
=
p
R
2
–
p
x
2
;
3) находим, что V (х)
= p
R
2
x –
p
x
3
3
æ
èç
ö
ø÷
;
4) получаем искомый объем: V
=
V (b) – V (a)
= p
p
R b
b
2
3
3
-
æ
èç
ö
ø÷
–
–
p
p
R a
a
2
3
3
-
æ
èç
ö
ø÷ = p
R
2
(b – a) –
p
3
(b
3
– a
3
).
—
111
—
Рис. 130
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2. Для нахождения объема всего шара надо взять а
=
–R, b
=
R. Тогда
объем шара
V
=
p
R
2
(R – (–R)) –
p
3
(R
3
+
R
3
)
= p
R
2
×
2R –
p
3
×
2R
3
=
=
2
p
R
3
-
=
2
3
4
3
3
3
p
p
R
R .
3. Для вычисления объема шарового сегмента с высотой Н надо
взять a
=
R – H, b
=
R. Тогда
(
)
(
)
(
)
V
R R R H
R
R H
R H
R
=
- +
-
-
-
=
-
+
p
p
p
p
2
3
3
2
3
3
3
+
- ×
+ ×
-
=
-
=
-
æ
èç
ö
ø÷
p
p
p
p
p
p
p
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
2
3
2
R
R H
RH
H
RH
H
H
R
H
.
4. Рассмотрим шаровой сектор ОАРВ (рис. 130, б), который состав
ляет часть полушара. В нем ОА
=
R, PO
1
=
H. Он является объединением
шарового сегмента высотой Н и конуса, образующая и высота которого
соответственно равны R и R – H. Поэтому объем шарового сектора ра
вен сумме объемов шарового сегмента и конуса. Имеем:
V
сегм
=
-
æ
èç
ö
ø÷
p
RH
H
2
3
3
.
Учитывая, что OO
1
=
R – H, запишем:
(
)
AO
AO
OO
R
R H
RH
H
1
2
2
1
2
2
2
2
2
=
-
=
-
-
=
-
.
Тогда имеем:
(
)
(
)
V
AO OO
RH
H
R H
кон
=
=
-
-
=
1
3
1
3
2
1
2
1
2
p
p
(
)
(
)
=
-
-
+
=
-
+
=
1
3
2
2
1
3
2
3
2
2
2
3
2
2
3
p
p
R H
RH
H R H
R H
RH
H
=
-
+
æ
èç
ö
ø÷
p
2
3
3
2
2
3
R H RH
H
.
Поэтому
V
V
V
RH
H
R H RH
H
R
сект
сегм
кон
=
+
=
-
+
-
+
æ
èç
ö
ø÷ =
p
p
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
2
H.
Примечание. Если взять шаровой сектор, содержащий в себе полу
шар, то рассуждения проводятся аналогично (надо рассмотреть раз
ность объема шара и объема дополнительного шарового сектора ОАРВ)
и приводят к той же формуле.
—
112
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

8.2. Примеры решения задач
Задача 1
(96, з, рис. 131, а).
Решение.
1) Для уточнения расположения шара относительно куба построим
сечение данной комбинации тел диагональной плоскостью куба (рис.
131, б). Эта плоскость проходит через центр О шара. Часть шара, распо
ложенная вне куба, представляет собой шаровой сегмент. Требуется
найти объем этого шарового сегмента. Необходимо найти радиус шара
и высоту сегмента. Сразу можно найти радиус шара:
R
=
OK
=
1
2
2
2
AC
a
=
;
2) находим высоту шарового сегмента: Н
=
2R – AA
1
=
2R – a;
1
3
1
2
1
AO
PO
×
;
3) искомый объем шарового сегмента:
V
=
2
p
RН
=
2
p ×
a
R a
2
2
2
×
-
(
)
=
p
2 2
a R a
(
)
-
.
Ответ:
V
= p
2 2
a R a
(
)
-
.
Задача 2
(96, к, рис. 132).
Решение.
1) Центр О вписанного шара находится на высоте РО
1
конуса, АО —
биссектриса угла РАО
1
. По условию
Ð
АРВ
=
a
.
—
113
—
А
В
С
D
А
1
В
1
С
1
D
1
О
1
O
K
А
А
1
K
O
О
1
С
С
1
H
а
)
б
)
Рис. 131
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Тогда
Ð
АРО
1
= a
2
,
Ð
РАО
1
=
90
°
–
a
2
,
Ð
ОАО
1
=
45
°
–
a
4
;
2) выразим РО
1
через АО
1
. Из прямо
угольного
D
АРО
1
:
AO
PO
PO
AO
1
1
1
1
2
2
=
Þ
=
tg
ctg
a
a
;
3) воспользуемся формулой объема
конуса и найдем радиус АО
1
основания
конуса:
V
AO
PO
V
=
×
Þ
=
1
3
3
1
2
1
=
×
Þ
=
Þ
=
AO
AO
V
AO
AO
V
1
2
1
1
3
1
3
2
3
2
3
2
ctg
a
a
a
ctg
tg ;
4) из прямоугольного
D
АОО
1
находим радиус R шара:
OO
AO
R
V
1
1
3
45
4
3
2
45
4
=
°-
æ
èç
ö
ø÷
Þ
=
°-
æ
èç
ö
ø÷
Þ
tg
tg
a
a
a
tg
Þ =
×
°-
æ
èç
ö
ø÷
R
V
3
2
45
4
3
tg
a
a
tg
;
5) искомый объем шара
V
ш
=
4
3
3
p
R
=
4
3
3
2
45
4
3
p
a
a
×
×
°-
æ
èç
ö
ø÷
=
V tg
tg
4
2
45
4
3
p
a
a
V tg
tg
°-
æ
èç
ö
ø÷
.
Ответ:
V
ш
=
°-
æ
èç
ö
ø÷
4
2
45
4
3
p
a
a
V tg
tg
.
Задача 3.
Одно основание правильной шестиугольной призмы, все
ребра которой равны 1, принадлежит основанию правильной шес
тиугольной пирамиды, а вершины другого основания лежат на бо
ковых ребрах пирамиды (рис. 133). При какой высоте пирамиды
объем вписанного в нее шара будет наибольшим?
Замысел решения. Объем шара будет наибольшим, если наиболь
шим окажется радиус шара.
Воспользуемся формулой объема шара, вписанного в правильную
пирамиду:
R
=
Hr
r
H
r
+
+
2
2
,
—
114
—
P
O
O
А
В
α
R
α/2
1
Рис. 132
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

где Н — высота пирамиды, r — радиус ок
ружности, вписанной в основание пирами
ды. Радиус шара необходимо представить
как функцию от Н. Для этого потребуется
выразить r через Н.
Решение.
1) Введем обозначение: АО
=
х. Тогда на
основании подобия треугольников АРО
и АА
1
А
2
:
PO
A A
AO
AA
H
x
x
H
H
1
2
2
1
1
1
1
=
Þ
=
-
Þ =
-
;
2) зная радиус окружности, описанной
около основания пирамиды, найдем ради
ус вписанной окружности: r
=
AO
H
H
3
2
3
2
1
=
-
(
)
;
3) приходим к искомой функции, выражающей радиус шара через
высоту пирамиды:
R(H)
=
Hr
r
H
r
+
+
2
2
=
H
H
H
H
H
H
H
H
×
-
-
+
+
-
æ
èç
ö
ø÷
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
2
(
)
(
)
(
)
=
…
=
=
+
-
+
H
H
H
3
3
4
8
7
2
;
4) найдем значения производной, при которых R
¢
(H)
=
0:
R
¢
(H)
=
H
H
H
H
H
H
H
H
3
3
4
8
7
3 4
8
7
4
7
4
8
7
0
2
2
2
+
-
+
æ
èç
ö
ø÷
¢
= =
-
+
-
+
-
+
=
...
(
)
,
3 4
8
7
4
7
2
(
)
H
H
H
-
+
=
-
, H
2
– 8H
+
7
=
0, H
1
=
7, H
2
=
1
(второе значение не подходит по смыслу задачи: высота пирамиды не
может быть равной высоте данной призмы);
5) нетрудно убедиться в том, что при Н
>
7
4
знак производной совпа
дает со знаком функции –4Н
2
– 8Н – 7, которая при H
1
=
7 изменяет
свой знак с «
+
» на «–»;
6) значит, при H
1
=
7 радиус шара и его объем оказываются наиболь
шими.
Ответ:
H
=
7.
—
115
—
А
B
С
D
E
F
P
O
K
А
А
2
1
Рис. 133
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: