Идз 0. – Вариант 0
жүктеу/скачать 33,32 Kb.
|
idz-10.2
| ИДЗ 10.2 – Вариант 0. 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0(x0, y0, z0) 1.0 S: z = 1/2x2 – 1/2y2, M0(3, 1, 4) Находим частные производные: Вычисляем значения частных производных в точке M0(3, 1): Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности А уравнение нормали через точку Тогда, подставляя найденные значения, найдем уравнение касательной: уравнение нормали 2. Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том, что z”xy= z”yx 2.0 z = Вначале находим первые частные производные данной функции: Дифференцируя каждую из полученных производных по x и по y, находим вторые частные производные данной функции: Найдем: и Следовательно 3. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u. 3.0 , Находим частные производные первого и второго порядка: Подставляем полученные значения производных в левую часть и правую часть исходного уравнения: Следовательно, функция u удовлетворяет исходному уравнению 4. Исследовать на экстремум следующие функции. 4.0 z = x2 + xy + y2 – 2x – y Находим первые частные производные данной функции Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений Стационарная точка данной функции: Для того, чтобы сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных, введем следующие обозначения: , , Достаточные условия экстремума. Если , то является точкой экстремума для данной функции, причем будет точкой максимума при и точкой минимума при Если , то в точке экстремума нет; Если , то экстремум может быть, а может и не быть; Найдем вторые частные производные данной функции: Подставляя в полученные выражения для производных координаты стационарных точек, и используя достаточные условия экстремума Для точки ; ; экстремум есть в точке Так как , то в точке M будет минимум Ответ: 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=z(x, y) в области D, ограниченной заданными линиями. 5.0 z = x2 – 2y2 + 4xy – 6x + 5, D: x = 0, y = 0, x + y = 3 Выясним, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри данной области D, т.е. внутри треугольника ABC Решая полученную систему уравнений, находим стационарную точку . Она лежит в области D, рассмотрим ее. Исследуем значения функции на границе области D, состоящей из линий x = 0, y = 0, x + y = 3 , отсюда , , Точка совпадает с точкой А , отсюда , , Точка совпадает с точкой С , , отсюда , Точка не лежит в области D Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область D. Выберем наибольшее и наименьшее значения , жүктеу/скачать 33,32 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|