Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет78/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   74   75   76   77   78   79   80   81   ...   184

Литература

  1. Ляшенко И.И. , Павлюк И. И. О нормальных множествах группы// Материалы международной научной конференции «Первые Ержановские чтения». Т.2. Павлодар. ПГУ 2004 г. С. 262-265.

  2. Павлюк Инесса И. Группы с отношениями сравнимости для подгрупп и элементов (диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук)// Астана. 2010 г. С. 93. (Д. 14. 61. 50 ЕНУ им. Л. Н. Гумилева)

  3. Павлюк И. И. Сравнения и проблема Черникова в теории групп (Монография)// ISBN 9965-568-78-1. Павлодар. ПГУ. 2002 г. С. 222..

УДК 517.91


О ХАРАКТЕРЕ ЗАВИСИМОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ
Нурданова С.Н.

Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент
Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.


  1. Рассмотрим в пространстве  оператор Штурма-Лиувилля

(1.1)

, (1.2)

где - вещественное число и λ- спектральный параметр.



Легко установить, что оператор (1.1)-(1.2) симметричен и если , то нормированные собственные векторы оператора Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) образуют ортонормированный базис пространства  [1].

Собственные значения оператора (1.1)-(1.2) зависят от  и меняются при изменении . Возникает вопрос, какова эта зависимость, в частности, не происходит ли столкновение или уплотнение собственных значений оператора Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2).

Отметим, что такие задачи возникают при разделении переменных краевых задач для уравнений с частными производными.


  1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Общее решение дифференциального уравнения

(2.1)

имеет вид



 (2.2)

где - произвольные постоянные зависящие, вообще говоря, от спектрального параметра λ. Подставив (2.2) в граничное условие (1.2), получим систему уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных .



.

Следовательно, собственные значения оператора Штурма-Лиувилл (1.1)-(1.2) являются корнями характеристического определителя



. (2.3)

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Предположим, что , тогда



.

Если , то , поэтому величина не является собственным значением.



Если , то

, ,

.

, .

Следовательно, уравнение на числовой оси имеет единственный корень , тогда из имеем . Поэтому в этом случае отрицательные собственные значения отсутствуют, и все собственные значения (если есть) положительны .

Если , то



. (3.1)

Если , то из уравнения имеем , тогда , что невозможно. Таким образом, если , то , поэтому . Обратно, если и , то . Множество нулей функции совпадает с множеством, отличных от нуля, корней уравнения , поэтому детально изучим свойства функции . Поскольку , то ограничимся изучением лишь неотрицательных корней уравнения . Функция положительна в тех интервалах, где , т.е. при , , поэтому в этих интервалах корни уравнения отсутствует. Пусть , , тогда

, ,

.

Следовательно, функция монотонно возрастает в интервале , от до , и обращаясь в нуль лишь в одной точке . Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество положительных корней расположенных в интервалах , , т.е. имеет место неравенство

 (3.2)

Теперь изучим поведение корней ,  при изменении параметра  от 0 до . Из уравнения имеем ,

, . (3.3)

Тогда: 1) , , 2) , .

При изменении параметра в пределах от 0 до  корни не слипаются, что видно из неравенства





.

Следовательно,



, . (3.4)

По теореме о неявной функции корни непрерывно дифференцируемо зависит от параметра [2.стр.95]. Продифференцировав уравнение по параметру , получим дифференциальное уравнение движения нулей , при изменении параметра . , , где - знак дифференцирования по параметру . Преобразуем полученное дифференциальное уравнение, принимая во внимания исходное уравнение .

; , , , , , , . (3.5)

Следовательно, при изменении параметра в сегменте  функция принимает все значения из сегмента монотонно возрастая от до , /см. Рис.1/.


///// ///// /////…

Рис 1.


Оценим скорость стремления к своим граничным значениям корней , при применении параметра . По теореме Лагранжа [2.стр.16] имеем

,

, ,

, , , .

Нами доказана следующая теорема 3.1.





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   74   75   76   77   78   79   80   81   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет