Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет29/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   184

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Задача Коши (1.1)-(1.2) называется сильно разрешимой, если для любого  существует единственное сильное решение.

Задача Коши (1.1)-(1.2) сильно разрешима и решение дается той же формулой (1.3), но для практической цели это формула мало пригодна, поскольку зачастую интеграл окажется не вычисляемой в квадратуре, поэтому применяются приближенные методы вычисления определенных интегралов. Но эти методы также наталкиваются на препятствия, дело в том, что в нашей ситуации верхняя граница интеграла является переменной величиной и это обстоятельство создает дополнительные трудности. Классический метод Фурье- разложение решения по собственным функциям также не применим из-за отсутствия последних, ибо хорошо известно вольтерровость задачи Коши.



ПРОБЛЕМА. Возможно ли разложение решения задачи Коши (1.1)-(1.2) в ряд Фурье по некоторой ортонормированной системе так, чтобы частичные суммы этого ряда наилучшим образом приближали этого решения среди всех конечномерных приближений.

2. Вспомогательные предложения

Пусть  пространство Гильберта, - линейный вполне непрерывный оператор, определенный на этом пространстве, а - инволюция, определенный формулой:



 (2.1)

Нетрудно установить, что оператор  является унитарным и самосопряженным, поэтому имеет место равенство

 (2.2)

ЛЕММА 2.1. Если вполне непрерывный оператор  удовлетворяет условию

 (2.3)



то оператор  является вполне непрерывным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Во-первых, имеет место равенство . Во-вторых, произведение ограниченного и компактного оператора компактен.

ЛЕММА 2.2. Если  оператор интегрирования, определенный формулой

 (2.4)

в гильбертовом пространстве , то имеет место формула



где - оператор, определенный формулой (2.1).




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет