«Информатиканың теориялық негіздері»

Қазіргі уақытта сандарды көрсету үшін позииялық санау жүйелері қолданылады.

Позициялық деп әрбір ифрдың санды бейнеленуіндегі мәні оның басқа ифрлар қатарында орналасуына (позииясына) байланысты санау жүйесін атайды.

Ең кең тараған және үйреншікті санау жүйесі сандарды жазу үшін 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 және 9 пайдаланылатын жүйе болып табылады. Сан құрамына қандай-да бір санның дәрежелері енетін көпмүшенің қысқартылған жазбасы болып табылады, мұндағы сан – санау жүйесінің негізі деп аталады. Мысалы,

Осы санда 2 цифры үш рет кездеседі, бірақ бұл цифрлардың мәні әртүрлі және олардың сандағы орнымен (позииясымен) анықталады. Ондық санау жүйесінің кең таралуының себебі түсінікті - ол унарлық жүйеде «таяқшалар» ретінде қол саусақтарын қолданудан шыққан.

Унарлық жүйе мен римдік санау жүйелерінің ортақ қасиеті ондағы сандардың мәні сан құралған базистік цифрлардың қосындысы немесе айырмасы арқылы, олардың позициясына тәуелсіз алынғандығы. Мұндай жүйелер аддитивті деген атауға ие. Олардан қарағанда позициялы көрсетуді аддитивті-мультипликативті деп есептеуге болады, себебі сандардың мәні көбейту және қосу арқылы анықталады. Позициялық көрсетудің басты ерекшелігі шектеулі таңбалар жинағы (цифрлар, ондық разрядтарды бөлуші және сан таңбасын бейнелеуі) арқылы әртүрлі сандардың шектеусіз санын жазуға болатындығында. Сол сияқты позициялық жүйелерде көбейту және бөлу амалдары әлдеқайда оңай орындалады. Нақ осы жағдай сандарды адамның да, компьютердің де өңдеуінде позициялық жүйелердің қолайлылығын қамтамасыз етеді.

Ондық санау жүйесінің негізіне қойылған принцип бойынша басқа негізді де санау жүйелерін құруға болады. Айталық, p – санау жүйесінің негізі болсын. Сонда Z < p^k (k 0, бүтін) шартын қанағаттандыратын кез-келген Z саны (әзірше бүтін сандарды қарастырамыз) p-ның дәрежелері бар көпмүше түрінде көрсетіле алады (мұнда дәреженің максималды көрсеткіші k – 1-ге тең болады):

Негіз дәрежелерінің a_j коэффициенттерінен санның қысқаша жазылуы шығады:

Мына сұрақты қойған орынды: p-ның минималды мәні қандай? p =1 мүмкін емес, себебі онда барлық a_j = 0 және (4.1) формасы мағынасын жоғалтады. Бірінші мүмкін мән p=2 – бұл позициялық санау жүйелері үшін минималды мән болады. 2 негізді санау жүйесі екілік санау жүйесі деп аталады. Екілік санау жүйесінің цифрлары 0 және 1, ал (4.1) формасы 2-нің дәрежелері болып табылады. Дәл осы санау жүйесіне деген қызығушылық жоғарыда көрсетілгендей компьютердегі кез-келген ақпарат техникалық оңай жүзеге асатын 0 және 1 – екі қалпы арқылы көрсетілетіндігінде. Екілік жүйемен қатар компьютерлерде 8-дік және 16-лық санау жүйелері де қолданылады.

Бүтін санның мәні, яғни оған кіретін бірліктердің жалпы саны оны көрсету тәсіліне тәуелді емес және барлық санау жүйелерінде бірдей болып қала береді; тек қана санның сандық мазмұнын көрсету формалары ғана ерекшеленеді. Мысалы, IIIII₁ = 5₁₀ = 101₂ = 10₅ = 5₆ = 5₁₆. Басқаша сөздермен айтқанда, стипендияның немесе еңбекақының көлемі оны есептегенде ондық санау жүйесінің орнына екілік санау жүйесінің қолданғандығына байланысты болмайды.
4.2 Сандарды әртүрлі санау жүйелерінде көрсету
4.2.1 Бүтін сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне аудару

Бір сан әртүрлі санау жүйелерінде жазылуы мүмкін болғандықтан санадрды көрсетуді бір (p) жүйесінен басқа (q) жүйесіне ауыстыру деген сұрақ туындайды

– мұндай түрлендіруді Z_p Z_q деп бейнелейік. Теориялық тұрғыдан алғанда кез-келген q және p-да орындауға болады. Бірақ мұндай тура аудару барлық арифметикалық амалдарды ондық емес жүйелерде орныдауға тура келетіндігімен қиындайды. Сол себептен практикалық тұрғыдан қарағанда арифметикалық амалдарды орындау оңай болатын негізі r болатын аралық түрлендірулері бар түрлендіру қолданған қолайлы: Z_p Z_r Z_q . Мұндай қолайлы жүйелер негізі r = 1 и r = 10 болтын жүйелер, яғни унарлық және ондық санау жүйелері арқылы ауыстыру орындалады.

Мысал 4.1