Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады

1-мысал. 1,2,3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?

Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады.

Бірінші тәсіл: цифрлары қайталанбайтын әр түрлі екі таңбалы сандарды тәсілмен жасаймыз, олар:

1 2 2 1 3 1

13 2 3 3 2

Екінші тәсіл: цифрлары қайталанып отыратын әр түрлі екі таңбалы сандарды біртіндеп жазсақ, мыналар шығады:

1 1 2 1 3 1

1 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3

Яғни олардың барлық саны 3*3=9 болады. Басқаша аитқанда цифрлардың әрқайсысы да 3 тәсілмен алынады, сонда бірінші алынған цифр әр жолы екінші цифрмен комбинацияланады, сөйтіп, екі цифр комбинациясын


тәсілмен аламыз. Бұл мысалды әрі қарай да кеңете беруге болады.

2-мысал. Осы 1, 2, 3 цифрларын қайталамалы орналастырулар тәсілімен үш таңбалы, төрт таңбалы, k таңбалы неше сан құруға болады?

Шешуі. Үш таңбалы санның бірінші цифрын 3 тәсілмен, екіншісін де 3 тәсілмен алуға болады. Сонда алдыңғы екі цифрлы санды тәсілмен аламыз. Бұлардың әрқайсысы үшінші цифрмен комбинацияланады. Сонда үш цифрлы санды тәсілмен құруға болады. Осылайша талқыласақ, осы үш цифрдан 4 цифрлы сандарды тәсілмен, ал k цифрлы сандарды 3 тәсілмен құруға болатынын байқау қиын емес.

Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1, 2, 3, цифр орнына 1, 2, 3,…., N цифрды алайық. Сонда N цифрдан әр түрлі екі цифрлы сандарды тәсілмен, әр түрлі үш цифрлы сандарды тәсілмен, ал k цифрлы әр түрлі сандарды тәсілмен құруға болады. Сонымен, мынадай қорытындыға келеміз:

Элементтері қайталанып келетін N элементтен k дан алынған орналастырулар
(1)

Формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастыру немесе қайталамалы іріктеме формуласы деп айтады.

Қайталанбайтын орналастырулар мен алмастыруларды айтқанда іріктеме көлемі k≤N болатын. Ал, элементтері қайталанатын орналастырулар мен алмастырулар үшін k˂N, k=N және k˃N болуы мүмкін. Бұл факт жоғарыда келтірілген мысалдан айқын көрініп тұр.

§10 Терулер
N элементтен әрқайсысы k дан алынған орналастыруларды бір-бірінен айырмашылығы не элементінде, не элементтің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін алмастырулар дедік. Енді элементтерінің орналасу ретіне көңіл аудармай (яғни мұндай орналастыруларды бірдей деп), айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды қарастырайық. Мұны сысалдан бастайық.

1- мысал. а,b,c әріптерінен элементтерінің орналасу ретін ескермей, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын:

а) екі-екі элементтен неше комбинация жасауға болады;

ә) үш-үш элементтен неше комбинация жасауға болады?

Шешуі. а) a,b,c элементтерден екі-екіден жасалған орналастырулар саны Оларды түгел жазайық:

аb, ba, ca

аb, ac, bc

б) Үш элементтен үш-үштен жасалған орналастырулар саны

,

олар:
abc, bac, cab,

2-мысал. а, b, c, d төрт элементтен орналасу ретін ескермей-ақ, үш элементтен алынған неше комбинация жасауға болады?

Шешуі. 4 элементтен 3 тен алынған орналастырулар саны

Бұлар әр түрлі 4топқа бөлінген, олар мыналар:

abc, abd, acd, bcd.

Әр топтың ішіндегі орналастырулардың саны 3 элементтен жасалған алмастырулар саны ! ға тең. Сонда орналастыруларды есе кемітсе, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны

болып шығады.

Бұл мысалдардағы 3,4 элемент орнына N элемент алынса, онда орналасу ретін ескермей-ақ, одан k дан алынған

орналастырулар жасаймыз.

Сонымен, N элементтен k дан алынған теру деп, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды айтамыз. Оны символымен белгілейміз. Сонда

(1)

болады.

Бұл өрнектің оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де 1*2*3....(N-k) санына көбейтсек,

Яғни

Формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамы, (4) формула N=0 және k=0 мәндерінде де дұрыс болуы үшін 0!=1 деу керектігі естеріңізде болсын. N мен k мәндері үлкен болғанда мәнін (4) формуламен есептеу аса қиынға соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін паидалану қолайлы. Осы себепті кітаптың соңында 100 факториалға дейінгі сандар логарифмдерінің таблицасын келтірдік(кітап соңындағы 1-таблицаны қара).

3-мысал: N=100, k=50 болғанда мәні неге тең?

Шешуі: енді мұның екі жағын да логарифмдейміз, сонда

lg100! = 157,9700,

lg50! = 64,4831.

Демек,

Бұдан өте үлкен сан шығады. Ал ықтималдықтарды есептегенде көп жағдайда N мен k үлкен болып келгенімен, факториалдар логарифмдерін пайдаланып есептеу жеңілге соғады(20-параграфтағы 4- мысалды қара).

Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік.

1- қасиеті. (5)

Мұны дәлелдеу үшін (4) формуладағы k орнына N – k қоямыз.

Сонда

(6)

Шығады. (4) және (6) өрнектердің оң жақ бөліктері тең болғандықтан, бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни

Терулердің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль үшбұрышы деп аталатын төмендегі схеманы келтіру қолайлы.

Паскаль үшбұрышы

N	k
n=0	k=0	1
n=1	k=1	1 1
n=2	k=2	1 2 1
n=3	k=3	1 3 3 1
n=4	k=4	1 4 6 4 1
n=5	k=5	1 5 10 10 5 1
n=6	k=6	1 6 15 20 15 6 1

Бұл үшбұрыштың құрылысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын емес: төменгі қатардағы әрбір сан (екі шеткісін қоспағанда) оның үштіңгі қатарындағы (сол цифрдың үстіндегі) оң жақ және сол жақ екі санның қосындысына тең, яғни мәні N- қатар үстіндегі N—1 қатарындағы теру мәндеріне сәйкес (7)-ші формула негізінде табылған. Сонымен, мәні N қатары мен k диагональдың қиылысуындағы санға тең. Мысалы, N=8, k=3 болғанда, мәні 8- қатар мен k=3-ке сәйкес диагональдағы 56 санына тең.

Әрбір қатардағы сандар қосындысы санына тең. Мысалы, N=3 болғанда

1+3+3+1=8=,

N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128=т.с.с

Ескерту. Жоғарыда келтірілген алмастыру, орналастыру және теру формулаларын математикалық индукция тәсілімен дәлелдеуді И. С. Соминский кітапшасынан қараңыздар.