Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады



бет3/8
Дата08.06.2018
өлшемі0,75 Mb.
#41999
1   2   3   4   5   6   7   8
§9 Қайталамалы орналастырулар
Осы уақытқа дейін элементтер жиынынан орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтін еді, ондай орналастырулар болады. Біз енді қайталамалы орналастыруларда, яғни жиыннан алынған элемент сол жиынға қайыра енетінін қарастырамыз, мысалдар келтірейік.

1-мысал. 1,2,3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?

Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады.

Бірінші тәсіл: цифрлары қайталанбайтын әр түрлі екі таңбалы сандарды тәсілмен жасаймыз, олар:

1 2 2 1 3 1

13 2 3 3 2

Екінші тәсіл: цифрлары қайталанып отыратын әр түрлі екі таңбалы сандарды біртіндеп жазсақ, мыналар шығады:

1 1 2 1 3 1

1 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3

Яғни олардың барлық саны 3*3=9 болады. Басқаша аитқанда цифрлардың әрқайсысы да 3 тәсілмен алынады, сонда бірінші алынған цифр әр жолы екінші цифрмен комбинацияланады, сөйтіп, екі цифр комбинациясын


тәсілмен аламыз. Бұл мысалды әрі қарай да кеңете беруге болады.

2-мысал. Осы 1, 2, 3 цифрларын қайталамалы орналастырулар тәсілімен үш таңбалы, төрт таңбалы, k таңбалы неше сан құруға болады?

Шешуі. Үш таңбалы санның бірінші цифрын 3 тәсілмен, екіншісін де 3 тәсілмен алуға болады. Сонда алдыңғы екі цифрлы санды тәсілмен аламыз. Бұлардың әрқайсысы үшінші цифрмен комбинацияланады. Сонда үш цифрлы санды тәсілмен құруға болады. Осылайша талқыласақ, осы үш цифрдан 4 цифрлы сандарды тәсілмен, ал k цифрлы сандарды 3 тәсілмен құруға болатынын байқау қиын емес.

Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1, 2, 3, цифр орнына 1, 2, 3,…., N цифрды алайық. Сонда N цифрдан әр түрлі екі цифрлы сандарды тәсілмен, әр түрлі үш цифрлы сандарды тәсілмен, ал k цифрлы әр түрлі сандарды тәсілмен құруға болады. Сонымен, мынадай қорытындыға келеміз:

Элементтері қайталанып келетін N элементтен k дан алынған орналастырулар
(1)

Формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастыру немесе қайталамалы іріктеме формуласы деп айтады.

Қайталанбайтын орналастырулар мен алмастыруларды айтқанда іріктеме көлемі k≤N болатын. Ал, элементтері қайталанатын орналастырулар мен алмастырулар үшін k˂N, k=N және k˃N болуы мүмкін. Бұл факт жоғарыда келтірілген мысалдан айқын көрініп тұр.

§10 Терулер
N элементтен әрқайсысы k дан алынған орналастыруларды бір-бірінен айырмашылығы не элементінде, не элементтің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін алмастырулар дедік. Енді элементтерінің орналасу ретіне көңіл аудармай (яғни мұндай орналастыруларды бірдей деп), айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды қарастырайық. Мұны сысалдан бастайық.

1- мысал. а,b,c әріптерінен элементтерінің орналасу ретін ескермей, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын:

а) екі-екі элементтен неше комбинация жасауға болады;

ә) үш-үш элементтен неше комбинация жасауға болады?

Шешуі. а) a,b,c элементтерден екі-екіден жасалған орналастырулар саны Оларды түгел жазайық:

аb, ba, ca



ас, bc, сb

Бұлардан мынадай үш топқа бөлеміз: ab мен ba, ас мен са, bc мен сb. Әр топқа енетін орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің тұрған орнында. Мысалы, бірінші топта ab мен ba, екіншісінде ас мен са, үшіншісінде bc мен cb. Әр топтағы орналастырулар саны екі элементтен жасалған алмастыру саны тең. Сонда орналастыруды есе кемітсек , айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны шығады, олар

аb, ac, bc

б) Үш элементтен үш-үштен жасалған орналастырулар саны

,

олар:
abc, bac, cab,



acb, bca, cba.

Бұлардың барлығы бір ғана топ құрайды, өйткені мұндағы орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана. Осы бір топтың ішіндегі орналастырулар саны үш-үштен жасалған алмастыру саны ! ға тең, сонда орналастыруды есе кемітсек, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны болып шығады. Ол- abc тіркесі.

2-мысал. а, b, c, d төрт элементтен орналасу ретін ескермей-ақ, үш элементтен алынған неше комбинация жасауға болады?

Шешуі. 4 элементтен 3 тен алынған орналастырулар саны

Бұлар әр түрлі 4топқа бөлінген, олар мыналар:



1-топ

2-топ

3-топ

4-топ

abc

acb


bac

bca


cab

cba




abd

adb


bad

bda


dab

dba


acd

adc


cad

cda


dac

dca


bcd

bdc


cbd

cdb


dbc

dcb



Мұндай жеке бір топ ішіндегі орналастырулар тек элементінің орналасу ретімен ғана айрылады. Ал осы 4 топтың бір-бірінен айырмашылығы кемінде бір элементінде, олар:

abc, abd, acd, bcd.

Әр топтың ішіндегі орналастырулардың саны 3 элементтен жасалған алмастырулар саны ! ға тең. Сонда орналастыруларды есе кемітсе, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны

болып шығады.

Бұл мысалдардағы 3,4 элемент орнына N элемент алынса, онда орналасу ретін ескермей-ақ, одан k дан алынған

орналастырулар жасаймыз.

Сонымен, N элементтен k дан алынған теру деп, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды айтамыз. Оны символымен белгілейміз. Сонда

(1)

болады.


Қорыта келгенде, айырмашылығы элементтерінің тек орналасу ретінде болатын орналастыруларды алмастырулар деп, ал айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды терулер дейміз. Орналастыруларда алмастырулар мен терулерде болатын қасиеттер қамтылғандықтан,

(2)

, мәндерін (1) формулаға қойсақ, шығатыны:

(3)

Бұл өрнектің оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де 1*2*3....(N-k) санына көбейтсек,



Яғни


(4)

Формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамы, (4) формула N=0 және k=0 мәндерінде де дұрыс болуы үшін 0!=1 деу керектігі естеріңізде болсын. N мен k мәндері үлкен болғанда мәнін (4) формуламен есептеу аса қиынға соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін паидалану қолайлы. Осы себепті кітаптың соңында 100 факториалға дейінгі сандар логарифмдерінің таблицасын келтірдік(кітап соңындағы 1-таблицаны қара).

3-мысал: N=100, k=50 болғанда мәні неге тең?

Шешуі: енді мұның екі жағын да логарифмдейміз, сонда


lg
1-таблицадан:

lg100! = 157,9700,

lg50! = 64,4831.

Демек,

Бұдан өте үлкен сан шығады. Ал ықтималдықтарды есептегенде көп жағдайда N мен k үлкен болып келгенімен, факториалдар логарифмдерін пайдаланып есептеу жеңілге соғады(20-параграфтағы 4- мысалды қара).

Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік.

1- қасиеті. (5)

Мұны дәлелдеу үшін (4) формуладағы k орнына N – k қоямыз.

Сонда

(6)

Шығады. (4) және (6) өрнектердің оң жақ бөліктері тең болғандықтан, бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни



(7)
2- қасиеті.

(8)
Мұны дәлелдеу үшін орындарында бұлардың (4) формуладағы мәндерін қойып жазсақ, шығатыны:

Терулердің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль үшбұрышы деп аталатын төмендегі схеманы келтіру қолайлы.

Паскаль үшбұрышы

N

k



n=0

k=0

1

n=1

k=1

1 1

n=2

k=2

1 2 1

n=3

k=3

1 3 3 1

n=4

k=4

1 4 6 4 1

n=5

k=5

1 5 10 10 5 1

n=6

k=6

1 6 15 20 15 6 1

Бұл үшбұрыштың құрылысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын емес: төменгі қатардағы әрбір сан (екі шеткісін қоспағанда) оның үштіңгі қатарындағы (сол цифрдың үстіндегі) оң жақ және сол жақ екі санның қосындысына тең, яғни мәні N- қатар үстіндегі N—1 қатарындағы теру мәндеріне сәйкес (7)-ші формула негізінде табылған. Сонымен, мәні N қатары мен k диагональдың қиылысуындағы санға тең. Мысалы, N=8, k=3 болғанда, мәні 8- қатар мен k=3-ке сәйкес диагональдағы 56 санына тең.

Әрбір қатардағы сандар қосындысы санына тең. Мысалы, N=3 болғанда

1+3+3+1=8=,

N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128=т.с.с

Ескерту. Жоғарыда келтірілген алмастыру, орналастыру және теру формулаларын математикалық индукция тәсілімен дәлелдеуді И. С. Соминский кітапшасынан қараңыздар.



Каталог: ebook -> umkd
umkd -> Мамандығына арналған Сұлтанмахмұттану ПӘнінің ОҚУ-Әдістемелік кешені
umkd -> Қазақстан Республикасының
umkd -> Қазақстан Республикасының
umkd -> Студенттерге арналған оқу әдістемелік кешені
umkd -> ПӘннің ОҚУ Әдістемелік кешені 5В011700 «Қазақ тілі мен әдебиеті» мамандығына арналған «Ұлы отан соғысы және соғыстан кейінгі жылдардағы қазақ әдебиетінің тарихы (1941-1960)» пәнінен ОҚытушыға арналған пән бағдарламасы
umkd -> «Балалар әдебиеті» пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар 2013 жылғы №3 басылым 5 в 050117 «Қазақ тілі мен әдебиеті»
umkd -> ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешенінің
umkd -> 5 в 011700- Қазақ тілі мен әдебиеті
umkd -> 5 в 011700- Қазақ тілі мен әдебиеті
umkd -> «Филология: қазақ тілі» мамандығына арналған


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет