§15. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Бұл теорема тәуелді немесе тәуелсіз бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді.

р(АВ)=р(А)р_А(В) (1)

немесе

р(АВ)=р(B)р_B(A) (1’)

р(А)= (2)

Сондай-ақ В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны k болсын, онда оның ықтималдығы мынаған тең:

р(B)= (3)

AB (А және В) оқиғасына қолайлы жағдайлар саны r болсын, онда мұның ықтималдығы мынау:

р(АВ)= (4)

Әрине

r ≤ m, r ≤ k.

Р_в(А)= (5)

Өйткені В оқиғасына қолайлы k жағдайлардың ( бұл жерде оқиғалар тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалар деп түсінеміз) тек r жағдайы ғана А оқиғасына тиісті. Осы сияқты,

Р_А(В)= (6)

орындалатынын көрсетуге болады. Енді (4) бөлшектің алымын да, бөлімін де m санына көбейтеміз, сонда

Р(АВ)=

Р(АВ)=

(7)

Мұны басқаша түрде былай жазуға болады:

Жоғардағы үш оқиғаның орнына n тәуелді А₁,A₂,…,A_n оқиғаларын алғанда

p(А₁,A₂,…,A_n)= p (A₁)p(A₂)…

теңдігі орындалады.

1-мысал Жәшіктегі біркелкі М қызыл, N-M ақ шардан кез келген екі шар алынады. Оның екеуі де қызыл болу ықтималдығын анықтау керек (11.1-мысалмен салыстыр).

Шешуі. Шарды бір брлеп алайық, алынған шар жәшікке қайта салынбайды.Бірінші алынған шардың қызыл түсті болуы В оқиғасы,екінші алынған шардың қызыл түсті болуы А оқиғасы болсын. Сонда

р(В)=

p_B(A)=

өйткені шар саны қызыл түсті шардың алынуына байланысты1- ге кеміген. Олай болса, бірінші және екінші алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығы (АВ оқиғасы) мынадай:

р(АВ)=p(B)p_B(A)=

Бұл нәтижені (ықтималдықтарды ) тікелей есептей аламыз. Шынында да, екішарды тең мүмкіндікті тәсілмен аламыз. Ал екі қызыл түсті шарды ылғи қызыл ылғи қызыл шардың ішінен тәсілмен аламыз, сонда іздеген ықтималдығымыз мынадай

p(A)=

М

О

С

К

В

А

2-мысал.

К

В

А

С

Сөзін кұрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда сөзінің шығу ықтималдығын анықтау

керек (6.2-мысалмен салыстыр).

теоремасы бойынша

Енді тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын анықтау мәселесін қарастырайық.

р(АВ) =p(A)p(B) (10)

болады.

Дәлелдеу. А және В тәелсіз болғанда р_В(А)=p(A) және p_A(B)=p(B). Бұл р_А(В) мәнін (1) формулаға қойсақ

шығады.

Егер А₁,A₂,…,A_n оқиғаларының кез келген ықтималдығы қалған оқиғалардың қалаған көбейтіндісінің пайда болуына байланысты болмаса, ондай оқиғаларды жиынтығы бойынша тәуелсіз деп атайды. Бұл анықтамадан

Қатынасы шығады бірнеше тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы төмендегідей:

Теорема. Егер А₁,A₂,…,A_n оқиғалары жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда олардың көбейтіндісінің ықтималдығы ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең, яғни

p(А₁,A₂,…,A_n)=p (А₁)(A₂)…(A_n). (12)

Мұның дәлелдемесі (9) және (11) теңдіктерден шығады.

Ескету. А₁,A₂,…,A_n оқиғалары қос- қостан тәуелсәз болғанымен, жиынтығы бойынша тәуелсіз болмауы мүмкін. Мұны байқау үшін С.Н.Бернштрейн мысалын келтірейік.

Жәшіте 110,101,011,және 000 деп нөмірленген төрт билет бар дейік. Жәшіктегі билеттің кез келген біреуін алғанда, оның бірінші цифры 1 болуы А₁ оқиғасы, екінші цифры 1 болуы А₂ оқиғасы, үшінші цифры 1 болуы А₃ оқиғасы болсын. Сонда

p (А₁)=p(A₂)=p(A₃)=

Енді оқиғалардың қос- қостан болатынын көрсетеміз. Ол үшін, алдымен, А₂ оқиғасының ықтималдығы А₁ оқиғасының пайда болу- болмауына байланысты болмайтынын көрсетейік. Шынында, А₁ оқиғасы пайда болса, мұнымыз-101 не 101нөмірілі билеттердің бірі шықты деген сөз. Бұлардың біріншісіне А₂ оқиғасы оқиғасы сәйкес келсе, екіншісіне А₃ оқиғасы сәйкес келеді. Сонымен, бұл жағдайда р(А₂)=. Ал А₁ оқиғасы пайда болмаса, онда 011және 000 билеттің бірі шыққаны. Бұл жағдайда да р(А₂)= тең. Сонымен, А₂ оқиғасының ықтималдығы А₁ оқиғасының пайда болу болмауына тәуелді болып отырған жоқ. Дәл осылайша, А₃ оқиғасының А₂-ге, А₃ оқиғасының А₁-ге тәуелсіз екенін тексеру қиын емес. Сайыа келгенде, p (А₁),(A₂),(A₃) оқиғалары қос қостан тәуелсіз және

р(А₁A₂)=p(A₁A₃)=p(A₂A₃)=

екенін байқау қиын емес.Алайда

p (А₁A₂A₃)

өйткені барлық үш орында да 1цифры тұратын нөмірлі билет жәшікте жоқ, сондықтан

p (А₁A₂A₃)

Сонымен, оқиғалардың қос –қостан тәуелсіздігін жиынтығына таратуға болмайтынын көрдік.

Бұл аталған теоремалардың мынадай салдарлар шығады.

Шынында А-ның В-ге тәуелсіздік анықтамасы бойынша р_А(B)=p(A). Мұны (1) теңдіктегі р_А(В) орнына қойып, екі жақ бөлігін де р(А)-ға қысқартсақ р(В)=p_A(B) шығады. Демек, бұдан В-ның A-ға тәуелсіздігі шығады. Олай болса, А және В оқиғалары өз ара тәуелсіз.

Шынында, ұйғару бойынша р_А(В)=p(B), мұның үс- тіне,р_А(В)+p_A()=1. Бұдан р_А()=1-p_A()=1-p(B)=p().

Салдар сонымен дәлелденді. Қалғандарының тәуелсіздігі де осылайша дәлелденеді.

3-мысал. Нысанаға дәл тию ықтималдығы 0.3-ке тең. 2% жарылғыш жарылмай қалса, оқтың нысанадағыны жою ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Нысанаға дәл тиюі А оқиғасы, жарылғыштың от алуы В оқиғасы болсын. Сонда нысанаға тиюі мен жарылғыштың от алуы АВ оқиғасы болады. Бұларды тәуелсіз деп ұйғарамыз. Демек, іздеген ықтималдық мынадай

р(АВ)=p(A)p(B)=0.3(1-0.02)=0.294.

4-мысал. Үш оқушы біреуі монетті, екіншісі кубты лақтырды, ал үшіншісі колодадағы 36 картаның кез келген біреуін суырды. Осы жүргізген тәжірибелер нәтижесінде монеттің герб жағымен түсу (А оқиғасы), кубтың 4 ұпаймен түсу (В оқиғасы ), және суырған картаның тұз болып шығу (С оқиғасы ) ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Өткен мысалдарды еске түсірсек,

р(А)=1/2

р(B)=1/6

Сонда іздеген ықтималдығымыз

р(АВС)=p(A)*p(B)*p(C)= 1/2*1/6*1/9=1/108=0,092%

§16.Оқиғаның кемінде бір рет пайда

болуының ықтималдығын есептеу

Теорема.Бірнеше үйлесімді А₁,A_2,…,A_n оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы барлық қарама- қарсы оқиғаладың бірден пайда болу ықтималдығын бір санынан шегергенге тең:

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(). (1)

Дәлелдеу. А₁,A_2,…,A_n оқиғаларын кемінде біреуінің пайда болуын В-мен белгілейік. Оқиғалар үйлесімді болғандықтан, олардың В оқиғасына тиісті. А₁,A_2,…,A_n оқиғалардың бірде біреуі пайда болмайтын В-ге қарама қарсы оқиға ықтималдығы мынаған тең

р()= p(). (2)

(13.6) формуланы еске түсірсек, сонда

р(В)=1- p(), (3)

немесе

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(). (4)

1-салдар. А₁,A_2,…,A_n оқиғалар жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(). (5)

2-салдар. Егер р(А₁) = p(A₂) = … = p(A_n) = p болса ,

онда

р(А₁ +A₂+…+A_n)= 1- p(1-p)ⁿ. (6)

Шешуі. Есеп шарты бойынша кеменің бірінші,екінші, үшінші қатарларда жарылмау ықтималдығы сәйкес түрде

сандарына тең. Сонда кеменің үш қатар мина қамалынан аман өту ықтималдығы 0,4∙0,3∙0,5 көбейтіндісіне тең. Кемінде бір қатарда жарылу ықтималдығын P десек, ол мынадай болады:

2-мысал. Бір нысананы көздеп үш рет оқ атылды. Бірінші рет атылған оқтың нысанаға дәл тию ықтималдығы – 0,2, екінші ретте дәл тию ықтималдығы – 0,3, үшінші - 0,4. Осы атылған үш оқтың кемінде біреуінің тию ықтималдығын анықтау керек.

Көбейту және қосу теоремаларының және А, А, А тің жиынтығы бойынша тәуелсіздігін ескерсек, онда В оқиғасының ықтималдығы мынаған тең болады:

+

Сонымен, іздеген ықтималдық 0,664-ке тең. Бірақ бұл жол аса көп есептеуді керек ететінін көрдік. Ал екіншісі, бұған қарағанда, қысқа. Енді сол екінші жолды келтірейік.

Бұдан екінші тәсілмен жоғарыдағыдай есептерді шешудің тиімді болатынын байқаймыз.

1. Пачкадағы 100 лотерея билетінің 20-сы ұтыс билеті. Жеке-жеке сатып алынған екі билеттің екеуі де ұтыс билеті болу ықтималдығын анықтаңыз.

2. Оқушы программа бойынша құрастырылған 30 сұраудың 25-ін біледі. Мұғалімнің берген үш сұрауына да оқушының дұрыс жауап беру ықтималдығын анықтаңыз.

3. Жәшікте 6 қызыл түсті, 4 ақ түсті шар бар. Жәшіктен кез келген үш шар алынды. Үшеуінің де қызыл түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.

4. 42 қазақ әріптерінен кез келген 7әріпті алып, қатарынан тіркестіре қойғанда «Шымкент» сөзінің шығу ықтималдығы неге тең?

5. Колодадағы 36 картадан бірден төрт карта алынды. Бұл карталардың әр түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.

6. Бір кластағы 24 оқушының 4-уі үздік оқиды, екінші кластағы 22 оқушының 5-уі үздік оқиды. Әр кластан кез келген бір -бір оқушы шақырылды. a) Бұлардың екеуі де үздік оқушы, ә) біреуі үздік оқушы болу ықтималдығын анықтаңыз.

7. Біреуді туған күнімен құттықтауға N жолдастары келеді. Келген қонақтардың аяқ киімдерінің өлшемі бірдей және бәрінің де галоштары бар. Олардың әрқайсысы өзінің оң аяғының галошын сол аяғының галошынан ажырата алады, бірақ бірінің галошын екіншісі ажырата алмайды. Мына ықтималдықтарды анықтаңыз:

a) әр қонақ өз галошын киеді;

ә) әр қонақ бір кісіге тиісті пар галошты (ол пар галош өзінікі болмауы да мүмкін) киеді.

8. Еркін мамасымен магазинге бірге барғанды жақсы көреді, өйткені бірге жүргенде мамасы ойыншық алып беруі мүмкін. Бүгін мамасы оны өзімен бірге магазинге ерту ықтималдығы 0,3. Егер мамасы Еркінді өзімен ертіп шықса, онда оған ойыншық алып беру ықтималдығы 0,7. Мамасы Еркінді бүгін магазинге ертіп барып, ойыншық әперу ықтималдығын анықтаңыз.

9. Күні бойы үзіліссіз жұмыс істейтін станок 3 бөлшектен тұрады. Бұлардың әрқайсысы бір- біріне байланыссыз-ақ істен шығып қалуы мүмкін. Біреуі- ақ істен шықса, станок жұмыс істемейді. Бірінші станоктың күні бойы үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығы - 0,90, екіншісінікі - 0,95, үшіншісінікі – 0,97. Күні бойы станоктың үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.

10. Үш мерген нысананы дәл көздеп бір-біріне байланыссыз, оқ атады. Біріншінің нысанаға дәл тигізу ықтималдығы – 0,7, екіншісінікі – 0,75, үшіншісінікі – 0,80. Егер әр мерген бір реттен ғана оқ атса, онда нысанаға кемінде біреуінің тигізу ықтималдығы неге тең?

11. Аяқ киім фабрикасында бәтеңкенің ұлтанын, өкшесін және үстін жеке цехтарда дайындайды. Шығарылған ұлтандардың 5%-ті, өкшенің 1%-ті, үстінің 5%-ті жарамсыз болуы мүмкін. Бәтеңке тігетін цехта бұл үшеуі кездейсоқ алынып, біріктіріледі, сөйтіп, олардан бәтеңке дайындалады. Дайындалған пар бәтеңкелердің неше процентінде жарамсыз бөлшектер кездеседі?

12. Белгілі бір жағдайда 60 жастағы адамның 61жасында дүние салу ықтималдығы – 0,09. 60 жастағы үш адамның: а) бір жылдан соң үшеуі де тірі жүру ықтималдығы неге тең? ә) кемінде біреуінің тірі жүру ықтималдығы неге тең?

§17. Ықтималдықтарды қосудың жалпы теоремасы

Өткен 13-параграфта екі (не бірнеше) оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосу теоремасын, яғни оның

(1)

болатынын дәлелдедік. Ал бұл оқиғалар үйлесімді болса, онда теорема орындалмайды. Сондықтан кез келген оқиғалар үшін де орындалатын төмендегі жалпы теореманы дәлелдейік.

Дәлелдеу. Бұрынғыша, барлық тең мүмкіндікті жағдайлар санын n дейік. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлысы m₁ , B үшін қолайлысы m₂, AB үшін қолайлысы m₃, A+B үшін қолайлысы m₄ болсын. Сонда (1) өрнегін құрайтын қосылғыштар мына түрде жазылады:

Бұл белгілеулерден m₁+m₂ қосындысынан А және В оқиғаларына бірдей қолайлы жағдайлар саны m₃-ті шегерсек, А+В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m₄ шығатынын байқаймыз. Сонымен ол m₄₌ m₁₊ m_{2 –}m₃ болып шығады. Бұл теңдіктің екі жағын да n-ге бөліп, (2)теңдіктерді ескерсек, (1) өрнегі шығады. Сөйтіп, теорема дәлелденді. А және В үйлесімсіз болса,

болады.

Бұл жерде айтылып отырған А және В оқиғалары тәуелді не тәуелсіз оқиғалар болуы мүмкін. Егер А мен В тәуелді оқиғалар болса, онда (15.1) теңдікті ескеріп, (1) өрнегін

түрінде жазуға болады.

1-мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның көзір немесе тұз болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Шыққан картаның көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы А∙В оқиғасы болады, мұның ықтималдығы

А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да мүмкін. Олай болса,