«Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәнінен Әдістемелік жинақ


дәріс.Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың кейбір заңдары



жүктеу/скачать 1,2 Mb.
бет12/27
Дата22.04.2023
өлшемі1,2 Mb.
#175169
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   27
Байланысты:
«Û?òèìàëäû?òàð òåîðèÿñû æ?íå ìàòåìàòèêàëû? ñòàòèñòèêà» ï?í³íåí ?

10 дәріс.Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың кейбір заңдары
Кездейсоқ шама функциясы,
кездейсоқ шамаларға қолданылатын операциялар
1. Кездейсоқ шама Х пен тұрақты К-ның көбейтіндісінен шыққан жаңа кездейсоқ шама мәндері сол кездейсоқ шама Х мәндерін к еселегенге тең де ықтималдықтары Х-тің ықтималдығындай болады.

Х

х1

х2

х3



р1

р2

р3





кх1

кх2

кх3



р1

р2

р3

2. Егер


Х

х1

х2

х3



р1

р2

р3

болса, онда

Х









р1

р2

р3

болады.
1-мысал.

Х

0

5

10

15



0,06

0,29

0,43

0,22

онда



0

10

20

30



0,06

0,29

0,43

0,22





0

1

2

3



0,06

0,29

0,43

0,22



0

25

100

225



0,06

0,29

0,43

0,22

3. Алдымен екі Х және У дискретті тәуелсіз кездейсоқ шамаларын қарастырайық. Бұлардың үлестіру заңдары және болсын. Олай болса, Х және У-тің тәуелсіздігінен екі өлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру заңы толық анықталады, өйткені



Демек, Х және У шамалары қосындысының, айырмасының, көбейтіндісінің әртүрлі функциялары да анықталған деуімізге болады. болсын. Әрине -те дискретті кездейсоқ шама болады.
3-мысал.

Х

2

3



0,3

0,7


У

1

2

3



0,2

0,5

0,3

Кестелерінде келтірілген Х және У үлестіруі бойынша үлестіру функцияларын құру керек.












1

2

3

4

5

6

7

1

2

1

3

1

2



2

2

2

4

0

4



3

2

3

5

-1

6



4

3

1

4

2

3



5

3

2

5

1

6



6

3

3

6

0

9







3

4

5

6



0,06

0,29

0,44

0,21





-1

0

1

2



0,09

0,36

0,41

0,14





2

3

4

6

9



0,06

0,14

0,15

0,44

0,21

11 дәріс .Үлкен сандар заңдылығы

  1. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

  2. Математикалық күтім (орта). Математикалық күтімнің қасиеттері

  3. Дисперсия. Дисперсияның қасиеттері


Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
Үлестіру заңы кездейсоқ шаманы сипаттайтынын көрдік. Көптеген практикалық мәселелерді шешкенде кездейсоқ шаманың үлестіру заңын іздестірмей-ақ, сол үлестірудің маңызды ерекшелігін қамтитын кейбір сандық сипаттамаларымен қанағаттануға болады.
Ықтималдықтар теориясында бұл сандық сипаттамалар мен оларға қолданылатын амалдардың ролі өте-мөте зор. Осы сандық сипаттамаларды білу нәтижесінде көптеген ықтималдықтар есептерін шешу жеңілденеді. Әрине, мұндай сандық сипаттамалар көп-ақ. Біз солардың ішінен математикалық күтім, дисперсия, орташа квадраттық ауытқу және реттік моменттерді қарастырамыз.
Математикалық күтім (орта)
Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз, оны деп белгілейміз, сонда
(1)
Ал Х үздіксіз кездейсоқ шама болса
(2)
болады.
1-мысал.

Х

1

2

3



0,5

0,2

0,3


;
2-мысал. аралығында бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық күтімін анықтау керек.
;
Бернулли схемасы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама үшін . Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама үшін болады.

Математикалық күтімнің қасиеттері
10-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық күтімі сол тұрақтыға тең, яғни .
20-қасиет. Тұрақтыны математикалық күтім таңбасының сыртына шығаруға болады, яғни .
30-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең, яғни .
1-салдар. .
2-салдар. Екі кездейсоқ шама айырымының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің айырымына тең, яғни .
3-салдар. Кездейсоқ шама мен тұрақтыны шама қосындысының (айырмасының) математикалық күтімі сол кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен сол тұрақтының қосындысына (айырымына) тең, яғни .
4-салдар. сызықтық функциясының математикалық күтімі аргументтен алынған математикалық күтімнің сызықтық функциясына тең, яғни .
40-қасиет. Тәуелсіз екі кездейсоқ шама көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең, яғни
Дисперсия
Қандай да тәжірибе болмасын көптеп қайталаудан шыққан нәтиже туралы мәлімет қажет болғанда, математикалық күтім мәнінің ролі зор екенін көрдік.
Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия дейді және деп белгілейді.
Сонда, анықтама бойынша
(1)
Егер Х дискретті кездейсоқ шама болса,
(2)
формуласымен өрнектеледі.
Егер Х үздіксіз болса, онда дисперсия
(3)
формуласымен есептеледі.
Квадраттық түбірден алынған дисперсияны орташа квадраттық ауытқу дейміз және деп белгілейміз.
(4)

Дисперсияның қасиеттері
10-қасиет. Тұрақтының дисперсиясы нөльге тең, яғни .
Д/уі:
20-қасиет. Тұрақтыны дисперсия таңбасының сыртына квадрат дәрежелеп шығаруға болады, яғни .
30-қасиет. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының (айырмасының) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни .
1-салдар. Кездейсоқ шама мәніне тұрақты С-ны қосқаннан (азайтқаннан) дисперсия мәні өзгермейді, яғни .
2-салдар. .
40-қасиет. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы сол кездейсоқ шама квадратының математикалық күтімі мен оның математикалық күтімі квадраттарының айырмасына тең, яғни .
50-қасиет. Тәуелсіз екі пен кездейсоқ шамалары көбейтіндісінің дисперсиясы мына формуламен анықталады.
.
1-мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама дисперсиясын анықтау керек.
Шешуі: Пуассон үлестіруінің

формуласымен өрнектелетінін білеміз. болатынын тапқанбыз.
болады.
, яғни немесе .
Қорыта келгенде, Пуассон заңындағы параметрлері әрі математикалық орташа, әрі дисперсияға тең екенін білеміз.
2-мысал. аралығында бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шама Х-тің дисперсиясын анықтау керек.
Шешуі: екені мәлім. Дисперсияны есептейміз.


яғни
12 дәріс .Математикалық статистиканың элементтері
Математикалық статистика

  1. Статистикалық жиынтық. Жиынтық бірліктері

  2. Вариациалық қатар

  3. Эмпирикалық үлестіру функциясы

  4. Вариациялық қатарларды графиктік кескіндеу

  5. Үлестіру сипаттамалары

  6. Арифметикалық орта

  7. Құрылымдық орталар

  8. Медиана

  9. Квартильдер

  10. Мода

Әрқашанда статистикалық бақылау объектілер жиынтығын қарастырудан басталады. Бұл объектілер әрқайсысы бір объектіден екінші объектіге өткенде өзгеріп отыратын көптеген белгілерімен сипатталады. Ал барлық белгілерді бірден қарастыру мүмкін емес. Сондықтан зерттеуші олардың ішіндегі біреуіне көңіл аударады да қалған белгілер үшін жиындағы объектілерді тең праволы деп ұйғарады, сөйтіп мұндай объектілер жиынын біртекті дейтін болады. Осындай тәсілмен жасалған біртекті жиынды статистикалық жиынтық деп атаймыз, ал оны объектілердің жиынтық бірліктері дейміз.


Статистикалық жиынтық сандық немесе сапалық белгіге ие болатын барлық біртекті объектілерді біріктірсе, ондай жиынтықты бас жиынтық деп атаймыз. Бас жиынтықтың бірліктер саны шекті де, шексіз де болуы мүмкін. Егерде бас жиын шексіз немесе өте көп болса, оны зерттеу үшін алынған оның бөлігін таңдама жиынтық деп атайды.


жүктеу/скачать 1,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   27



©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет