Комбинаторика элементтерін геометриялық мазмұндағы есептерді шешуде қолдану

Жазықтықтағы нүктелер мен түзулердің өзара орналасуы жөніндегі геометрияның алғашқы аксиомаларының бірі – жазықтықтың кез келген екі нүктесі арқылы бір ғана түзу жүргізуге болатындығы жөніндегі аксиома. Оқушыларға күрделілігі артып отыратын төмендегідей есептерді беруге болады.

2.2.1 Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?

1 сурет
Шешуі:

Жауабы: 3.

2.2.2 Ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын төрт нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?

2 сурет
Шешуі:
Жауабы: 6.

2.2.3 Ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын бес нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?

Шешуі:

Жауабы: 10.

Шешімі. A₁, …, A_n – n нүктенің ешқандай үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды дейік. Осындай нүктелерді салу үшін оларды шеңбердің бойынан белгілеп алу жеткілікті.

Табылған түзулер санының формуласы үлкен маңызға ие, мұнан былайғы уақытта да әртүрлі комбинаторлық есептерді шығарғанда кездесетін болады. Әрбір түзу екі нүкте арқылы бірмәнді анықталатын болғандықтан, біз негізінен n элементтен қанша әртүрлі жұп құруға болатынын анықтадық. Бұл ретте олардың қандай элемент екендігі маңызды емес. Осындай жұптардың саны n элементтен тұратын, 2 элементтен алынған қайталанбайтын терулер саны деп аталады да, түрінде белгіленеді. Мысалы, егер сыныпта 20 оқушы болса, онда осы сынып оқушыларынан құруға болатын әртүрлі жұптардың саны = 190 болады.

Есептердің келесі топтамасы жазықтықтағы түзулердің жұптасқан қиылысуларының санымен байланысты. Жоғарыда тұжырымдалған аксиомадан екі түзудің бір нүктеден артық ортақ нүктесі болмайтындығы шығады.

Оқушыларға күрделілігі артып отыратын төмендегідей есептерді беруге болады.

2.2.5 Үш түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?

,
3 сурет

Шешуі:

Жауабы: 3.

Шешуі: Жауабы: 6.

2.2.7 Бес түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?

Шешуі: Жауабы: 10.

Жазықтықтағы түзулердің орнына шеңберлерді қарастыра отырып, олардың қиылысу нүктелерінің санын анықтауымызға болады.

2.2.1 Екі шеңбердің барлығы қанша қиылысу нүктесі бола алады?

Оқушылар дәптерлеріне екі шеңбер салып, олардың қиылысу нүктелерінің мүмкін болатын ең көп саны 2-ке тең екендігін анықтайды.

Шешуі: Жауабы: 2.

2.2.2 Үш шеңбердің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?
10 сурет

Шешуі: Жауабы: 6.

2.2.3 Төрт шеңбердің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?

11 сурет

Шешуі: Жауабы: 12.

2.2.4 n шеңбердің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?Осындай шеңберлерді тұрғызу тәсілін көрсетіңіз.

12 сурет

Бұл жағдайда әрбір шеңбер басқа шеңберлермен 2(n – 1) рет қиылысады. Жұптасқан қиылысу нүктелерінің саны 2 + 4 + 6 +…+ 2(n – 1) = n(n – 1) болады. Кез келген n > 1 үшін жұптасып қиылысатын n шеңбер бар екеніне көз жеткізу қиын емес. Енді шеңберлердің жазықтықты қанша бөлікке бөлетінін анықтайық.

2.2.5 Өзара қиылыстатын екі шеңбер жазықтықтықты қанша бөлікке бөледі?

Оқушылар дәптерлеріне екі қиылысатын шеңбер салып, жазықтық бөліктерінің саны 4-ке тең екендігін анықтайды.

2.2.6 Өзара жұптасып қиылысқан, бір нүктеде қиылыспайтын үш шеңбер жазықтықты қанша бөлікке бөледі?

Шешуі:

Жауабы: 8.

Шешуі: Жауабы: 14.

Алгебра – математиканың әр түрлі шамаларға орындалатын амалдарды және амалдармен байланысты теңдеулерді шешеді.

Логика ой қорыту арқылы қалыптасқан, ақиқат, сандық ой қорыту формасы туралы теорияланған білімнің жиынтығын береді, адамдардың ойлау қабілетін жетілдіреді, дамытады.

Геометрия - дұрыс ойлау мәдениетті қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі, оған қоса өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек беретіндігін ескере отырып, жоғарыда қарастырылған есептер бізге жалпы математика пәніне деген қызығушылығымызды арттырады деп қорытындылай аламыз. Білімге, дағдыға, ептілікке үйрететінін атап көрсетуге болады. Сондықтан комбинаторикадан алған математикалық білімін нақты қолданатын адам өз өмірінде кездесетін маңызы зор практикалық есептерді тиімді шеше алады деп есептейміз. Сондықтан бұл тақырыпты болашақтада тереңірек зерттеу көзделуде.

Оқушылар әр түрлі есептерді шешуде комбинаторика элементтерін қолдану арқылы білімдерін терең меңгеруіне жол ашады.

Алгебралық және геометриялық білімді практикалық және ғылыми маңызды есептерді шығару үшін керекті әдістер мен тәсілдерді, теориялық материалдарды толық игеруге ықпал етеді және де оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілетін арттырады.

Қолданылған әдебиеттер тізімі:

1. Виленкин Н. Я., Потапов В. Г. Комбинаторика мен математикалық статистиканың элементтері бойынша ықтималдықтар теориясынан есептік – практикум. А.,1982 ж.

2. Шыныбеков Ә. Алгебра. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 8-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Атамұра, 2012 ж.

3. В. А. Гусев, и др. Внеклассная работа по математике. М., Просвещение, 1977 4. Шыныбеков Ә. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Атамұра, 2012 ж.

5. Қайдасов Ж., Досмағанбетова Г., Абдиев А. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Мектеп, 2012 ж.

6. Шыныбеков Ә. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 8-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Атамұра,2012 ж.

7. Қазешев А. Қ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. Алматы, 2005 ж.

8. Бейсеков Ж.,Меделбекова З.С. 5-6 сыныптағы математикалық олимпиадаға даярлау. –Шымкент, 2014 ж.