Ламинарлық ағын үшін құбырдағы (трубадағы) Хаген-Пуазейль заңы. Навье – Стокс теңдеулерінің дәл шешімдері
Ламинарлық ағын үшін құбырдағы (трубадағы) Хаген-Пуазейль заңы
жүктеу/скачать 0,99 Mb.
|
Семинар 4
| Ламинарлық ағын үшін құбырдағы (трубадағы) Хаген-Пуазейль заңы.
Навье – Стокс теңдеулерінің дәл шешімдері Көлденең қимасы дөңгелек құбырдағы ламинарлық сұйықтың қозғалысын қарастырайық. Жұғу заңының шартына сәйкес құбырдың қабырғаларында жылдамдық нольге тең, ал максимал жылдамдық құбырдың осінде болады. 1-сурет. Құбырдағы ламинарлық ағын Тепе-теңдік теңдеуін құру үшін, трубаның ішіндегі сұйықтан ойша ұзындығы l, радиусы у цилиндр пішінді бір қабатты ойып алайық. Цилиндрдің екі жақтағы табанына әсер ететін күш интегралдағаннан кейін Интегралдау тұрақтысы «с» трубаның қабырғасына жұғу шартынан анықталады. Жұғу шарты бойынша y=R болғанда U(y)=0. Цилиндрдің бүйір бетіне әсер ететін үйкеліс күші цилиндрдің бүйір бетінің ауданы. х бағытындағы тепе-теңдік шартының теңдеуі мұндағы S=2 yl бұдан с= . Трубаның радиусы бойынша жылдамдықтар парабола түрінде жайғасады. Ағыс жылдамдығының ең үлкен мәні трубаның ортасында болады, яғни y=0, . Трубадан ағып шығатын сұйықтың толық мөлшерін табу үшін, айналу параболоидының көлемін тапса болғаны. Ол табан ауданының жартысы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең Сұйықтың шығымы бірлік ұзындықтағы қысымдар айырымының бірінші дәрежесіне пропорционал. Осы заңды алдымен Г. Хаген ашты, көп ұзамай Ж. Пуазейль қайталады. Сондықтан бұл заң трубадағы ламинарлық ағыс үшін Хаген – Пуазейль заңы деп аталады. Осы формуланы -ді тәжірибелік жолмен анықтау үшін пайдалануға болады. Ол үшін диаметрі белгілі жіңішке трубка алып, берілген l ұзындығы үшін қысымдар айырымы және сұйықтың шығымы анықталады. Бұл мәндерді білген соң -ді есептеп шығару оңай. Сонымен қатар -ді вискозиметр арқылы да анықтауға болады. Ағынның орташа жылдамдығын енгізейік Сонда Трубадан ағып шығатын сұйықтың мөлшері: . және r айнымалыларын байланыстыратын теңдеу келесі түрде өрнектеуге болады мұндағы Р1 және Р2 сәйкесінше 1-ші және 2-ші қималардағы қысымдар. Құбырдың қабырғасында: r=R болғанда ϑ=0, r=0 болғанда ϑ=ϑmax. Енді дөңгелек құбырдағы ламинарлық ағыс кезіндегі сұйықтың шығынын анықтайық. Дөңгелек құбырдағы жылдамдықтардың таралу эпюрасы, құбыр болғандықтан, сұйық шығынының сандық мәні параболоидтың көлеміне тең. Осы көлемді анықтайық. Максимал жылдамдық параболоид биіктігін береді: (3) (2) (1) Геометриядан өзімізге белгілі, биіктігі h және ауданы параболоид көлемі мынаған тең: ал қарастырып отырған жағдай үшін Егер R-дің орнына құбырдың d диаметрін қойсақ, онда (4) формула мына түрге келеді Құбырдағы сұйықтың шығынын орташа жылдамдық арқылы өрнектеуге болады: бұдан Дөңгелек құбырдағы сұйықтың ламинарлық қозғалысы кезіндегі жылдамдықтың тегеурінін жоғалту шамасын анықтау үшін, ұзындығы l құбыр бөлігін қарастырайық. Құбыр өткізгіштегі қысым өзгерісі мынаған тең: (4) (5) (6) (7) (8) ескеріп және теңдіктің екі жағын сұйықтың көлемдік салмағына бөлсек: Теңдіктің сол жағы диаметрі тұрақты құбырдағы hжоғ жылдамдық тегеурінінің шығынына тең болатындықтан, қорытқы теңдік: Теңдеу Вейсбах-Дарсидің универсал формуласына түрленуі мүмкін: Мұндағы λ гидравликалық үйкеліс коэффициенті: λ гидравликалық үйкеліс коэффициентін Т.М. Башта Re<2300 болғанда келесі формуланы қолдануға кеңес береді: . жүктеу/скачать 0,99 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|