Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. 6.4 Вложенные и стягивающиеся системы от- резков. Простоты ради мы ограничимся рассмотрением только охоты на львов, живущих в пустыне Сахара. Перечисленные ниже методы с легкостью можно модифицировать и применять к другим плотоядным, обитающим в разных частях света. ... Метод Больцано-Вейерштрасса. Рассекаем пустыню линией, проходящей с севера на юг. Лев находится либо в восточной части пустыни, либо в западной. Предположим для определенности, что он находится в западной части. Рассекаем ее линией, идущей с запада на восток. Лев находится либо в северной части, либо в южной. Предположим для определенности, что он находится в южной части, рассекаем ее линией, идущей с севера на юг. Продолжаем этот процесс до бесконечности, воздвигая после каждого шага крепкую решетку вдоль разграничительной линии. Площадь последовательно получаемых областей стремится к нулю, так что лев в конце концов оказывается окруженным решеткой произвольно малого периметра. Г.Петард, К математической теории охоты. Определение 68. Пусть заданы две последовательности a n и b n , такие, что a n ? b n при всех n ? N . Система отрезков { [ a n , b n ] } ? n =1 называется вложенной, если [ a 1 , b 1 ] ? [ a 2 , b 2 ] ? . . . ? [ a n , b n ] ? . . . , т.е. a 1 6 a 2 6 . . . 6 a n 6 . . . 6 b n 6 . . . 6 b 2 6 b 1 . Определение 69. Система отрезков { [ a n , b n ] } ? n =1 называется стягиваю- щейся, если она вложенная и, кроме того для любого ? ? > 0 найдется n ? N , такое, что | b n ? a n | < ?. Другими словами, последовательность вло- женных отрезков называется стягивающейся, если длины отрезков стре- мятся к нулю. Теорема 20. Пусть система отрезков { [ a n , b n ] } ? n =1 является вложенной. Тогда пресечение отрезков не пусто: ? \ n =1 [ a n , b n ] 6 = ? . Доказательство. Рассмотрим множества A = { a n , n ? N } и B = { b n , n ? N } . По условию A ? B . Тогда из аксиомы отделимости существует c , такое, что A ? c ? B , т.е. a n ? c ? b n при любом n . 6.4. ВЛОЖЕННЫЕ И СТЯГИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТРЕЗКОВ. 87 Теорема 21. Пусть система отрезков { [ a n , b n ] } ? n =1 является стягиваю- щейся. Тогда пересечение отрезков состоит ровно из одной точки: ? \ n =1 [ a n , b n ] = { c } . Доказательство. По теореме 20 пересечение P = ? T n =1 [ a n , b n ] не пусто. Предположим, что оно состоит более чем из одной точки. Рассмотрим две различные точки c 0 , c 00 ? P и выберем ? = 1 2 | c 0 ? c 00 | . Тогда, для некоторого n ? N выполнено | b n ? a n | < ? = 1 2 | c 0 ? c 00 | , что невозможно при c 0 , c 00 ? [ a n , b n ] . Теоремы 20-21 о вложенных и стягивающихся отрезках носят в матема- тике название принцип Коши-Кантора. Замечание. Если последовательность отрезков [ a n , b n ] стягивающаяся, то lim n ?? a n = lim n ?? b n = c , где c точка пересечения системы отрезков. Доказательство этого факта предоставляется в качестве упражнения. Упражнения Упражнение 153. Сформулировать, не используя слов ѕнетї и ѕнеї сле- дующие утверждения: а) последовательность a n не ограничена; b) последо- вательность a n не б.м.п.; c) последовательность a n не имеет предела; d) пос- ледовательность a n не фундаментальная. Упражнение 154. Может ли ограниченная последовательность не иметь ни наибольшего, ни наименьшего члена? (Наибольший (наименьший) член тот, который является верхней (нижней) гранью.) Упражнение 155. a) Является ли последовательность a n = 10 n /n ! огра- ниченной? b) Тот же вопрос для последовательности a n = 1 , 01 n ; c) . . . a n = = n 2 / 2 n ; d) . . . a n = n ? n ! ; e) . . . a n = ? 3 + a n ? 1 , где a 0 = 0 ; f) . . . a n = = 1 + 1 n n 2 ; g) . . . a n = 1 + 1 n 2 n ; h) . . . a n = 1 + 1 n n . Упражнение 156. Ограничена ли последовательность, заданная форму- лами: a) a 0 = 1 , a n +1 = a n +1 /a n ; b) a n +1 = a n · cos 1 ? sin n · sin 1 ; c) a 1 = cos 2 , a n +1 = a n · cos 1 ? p 1 ? a 2 n · sin 1 ? d) a 0 = 1 , a n +1 = a n + 1 /a n ? Упражнение 157. a) Доказать, что сумма и произведение ограниченных последовательностей ограничены: если последовательности a n и b n огра- ничены, то и последовательности c n = a n + b n и d n = a n b n ограничены. b) Верны ли аналогичные утверждения для разности и частного? Упражнение 158. a) Может ли ловушка не быть кормушкой? b) Может ли кормушка не быть ловушкой? c) Можно ли утверждать, что один из отрезков [0 , 1] и [1 , 2] является ловушкой, если известно, что отрезок [0 , 2] |