Лекции и упражнения

Математический анализ.
Д.В.Алексеев
Лекции и упражнения.

2

Оглавление
I Множества. Функции. Действительные числа.
7
1 Введение в теорию множеств.
9
1.1 Определение и примеры множеств . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2 Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Свойства операций со множествами. . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Индикаторная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Формула включений-исключений . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Парадокс Рассела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Функции. Графики.
21
2.1 Общие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Числовые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 График функции. Преобразования графиков. . . . . . . . . . . 24
2.4 Примеры элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
Метод математической индукции.
33
3.1 ѕХанойские башниї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Неравенство Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Формула включенийисключений. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Треугольник Паскаля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Бином Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Неравенство Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6.1 Суммы степеней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 Неравенство Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4
Числовые множества
45
4.1 Аксиомы действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Окрестности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Точная верхняя и нижняя грань множества. . . . . . . . . . . 49
4.2.1 Точная верхняя грань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.2 Аксиома отделимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.2.3 Дедекиндовы сечения* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Длина дуги окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 Длина окружности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Число
?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.3 Длина дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.4 Радианная мера угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Мощность множества
65
5.1 Счетные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Континуальные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Теорема Кантора  Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5 Множество Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
II Последовательности и ряды
75
6
Последовательности.
77
6.1 Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.1 Прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.2 Числа Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.3 Ограниченные и монотонные последовательности . . . 79
6.1.4 Ловушки последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Бесконечно малые и бесконечно большие . . . . . . . . . . . . 80
6.2.1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2 Свойства б.м.п. и б.б.п. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Арифметические свойства б.м.п. . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Примеры б.м.п. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Вложенные и стягивающиеся системы отрезков. . . . . . . . . 86
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7
Последовательности-2.
91
7.1 Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.1 Итерационная формула Герона . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1.2 Теорема Штольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2 Фундаментальные последовательности.* . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.1 Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3
Число Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4 Подпоследовательности.* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5 Открытые и замкнутые множества.* . . . . . . . . . . . . . . . 100
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
8 Ряды
105
8.1 Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Примеры рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.3 Признак Вейерштрасса.* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4 Ряд
?
P
n
=0
1
n
!
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9 Действительные числа
113
III Функции
115
10 Функции. Графики.
117
10.1 Общие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2 Числовые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.3 График функции. Преобразования графиков. . . . . . . . . . . 120
10.4 Примеры элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11 Элементарные функции
127
11.0.1 Периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.1 Целая часть числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.2 Тригонометрические функции. Определение, основные свой-
ства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2.1 Свойства тригонометрических функций . . . . . . . . . 130
11.2.2 Тригонометрические тождества . . . . . . . . . . . . . . 131
12 Пределы функции.
135
12.1 Определение предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.2 Пределы на бесконечности и односторонние пределы. . . . . 136
12.3 Арифметические свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.3.1 Асимптотические обозначения . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.3.2 Основные свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.4 Непрерывные функции. Основные свойства. . . . . . . . . . . 139
12.5 Примеры непрерывных и разрывных функций. . . . . . . . . . 142
12.6 Обратные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.6.1 Корни. Показательная и логарифмическая функция. . 144
12.6.2 Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . 145
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
13 Тригонометрические функции
151
13.1 Определение тригонометрических функций . . . . . . . . . . . 151
13.2 Свойства тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . 153
13.3 Тригонометрические тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.4 Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . 158
13.5 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
14 Показательная и логарифмическая функции.
161
14.1 Показательная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.1.1 Степень с рациональным показателем. . . . . . . . . . . 161
14.1.2 Функциональное уравнение Коши . . . . . . . . . . . . 162
14.1.3 Функциональная характеристика показательной функ-
ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.1.4 Степень с действительным показателем . . . . . . . . . 164
14.2 Логарифм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.3 Свойства логарифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.3.1 Алгебраические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.3.2 Показательная функция. Второй замечательный предел.168
15 Производная
173
15.1 Введение. Физический и геометрический смысл производной. 173
15.2 Определение. Правила дифференцирования. . . . . . . . . . . 175
15.2.1 Правила дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . 176
15.2.2 Производная показательной, логарифмической и сте-
пенной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
15.3 Производные элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . 180
15.4 Свойства производной. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15.5 Неравенства Юнга, Гјльдера, КошиБуняковского. . . . . . . 183
15.6 Правила Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16 Кратные производные. Формула Лейбница. Выпуклость
187
16.1 Кратные производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
16.2 Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Неравенство
Йенсена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
16.3 Порядок касания. Круг кривизны, эволюта и эвольвента. . . . 196
16.4 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . 201
16.5 Ряд Тейлора для элементарных функций. . . . . . . . . . . . . 201
16.6 Различные способы оценки остаточного члена . . . . . . . . . 202
16.7 Использование формулы Тейлора для приближенных вычис-
лений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204