Лекции и упражнения



Pdf көрінісі
бет6/55
Дата31.12.2021
өлшемі1,95 Mb.
#107263
түріЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   55
Байланысты:
Matan Lectures 2013
Глоссарий(кәсіпкерлік) СӨЖ

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ.
эры, Йон Тихий рассказал:
 Высадка на планету Гесиод была очень трудна. Но когда я оказался на
поверхности, то пожалел, что решил опуститься: на ней жили чудови-
ща, более страшные, чем описанные в древних мифах греков. Навстречу
мне вышла делегация из 1000 жителей планеты. У 811 из них был один
глаз, как у циклопа Полифема, у 752  вместо волос были змеи, как у Ме-
дузы Горгоны, а 418 имели рыбий хвост, как нереиды. При этом 570 чудо-
вищ были одноглазы и змееволосы, 356  одноглазы и имели рыбий хвост,
348  змееволосы и с рыбьим хвостом, а 297  одноглазы, змееволосы и с
рыбьим хвостом. Старший из них обратился ко мне и сказал...
Но члены клуба так и не узнали, что услышал Йон Тихий на планете чу-
довищ. Слушавший рассказ путешественника профессор Тарантога мгно-
венно произвел в уме какие-то выкладки и воскликнул:
 Дорогой Йон! Я готов поверить, что на этой планете жили существа
с одним глазом, со змеями вместо волос и с рыбьими хвостами. Тебе при-
ходилось встречать еще более страшных чудовищ  вспомни о курдлях.
Но я надеюсь, что законы математики на этой планете не превратились
в мифы.
Почему профессор Тарантога не поверил Йону Тихому?
Упражнение 15. * Антон, Борис и Вера решили вместе 100 задач по
математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если
ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько
отличается количество трудных задач от количества легких?
Упражнение 16. * Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв.
Все составили разное число слов: больше всех  Аня, меньше всех  Вася.
Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух
игроков, за него дајтся 1 очко, у одного игрока  2 очка, слова, общие у
всех трјх игроков, вычјркиваются. Могло ли так случиться, что больше
всех очков набрал Вася, а меньше всех  Аня?
Упражнение 17. Известно, что доля блондинов среди голубоглазых боль-
ше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше: доля голубоглазых
среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?
Упражнение 18. * В каждой комнате особняка стояли букеты цветов.
Всего было 30 букетов роз, 20  гвоздик и 10  хризантем, причем, в каж-
дой комнате стоял хотя бы один букет. При этом ровно в двух комнатах
стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трјх комнатах  и
хризантемы, и розы, ровно в четырјх комнатах  и гвоздики, и розы. Могло
ли в особняке быть 55 комнат?
Упражнение 19. Сколько существует натуральных чисел, не превосходя-
щих 300, которые делятся a) на 3? b) На 5? c) На 15? d) Не делятся ни на
3, ни на 5?
Упражнение 20. Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые
не делятся ни на 3, ни на 5, но делятся на 11?


1.3. ПАРАДОКС РАССЕЛА
19
Упражнение 21. * Сколько существует целых чисел от 1 до 1 000 000,
которые не являются ни полным квадратом, ни полным кубом, ни четвертой
степенью?
Упражнение 22. Пол комнаты площадью 6 м
2
покрыт тремя коврами,
площадь каждого из которых равна 3 м
2
. Докажите, что какие-то два из
этих ковров перекрываются по площади, не меньшей 1 м
2
.
Упражнение 23. * Каждая сторона в треугольнике
4
ABC
разделена на
8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вер-
шинами в точках деления (точки
A
,
B
,
C
не могут быть вершинами тре-
угольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон
треугольника
4
ABC
?
Упражнение 24. ** В прямоугольнике площади 1 расположено 5 фигур
площади
1
2
каждая. Докажите, что найдутся а) две фигуры, площадь общей
части которых не меньше
3
20
; б) две фигуры, площадь общей части которых
не меньше
1
5
; в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше
1
20
.
Упражнение 25. Трое сумасшедших маляров принялись красить пол каж-
дый в свой цвет. Один успел закрасить красным 75% пола, другой зелј-
ным  70%, третий синим - 65%. Какая часть пола заведомо закрашена
всеми тремя красками?
Упражнение 26. * Пассажир оставил вещи в автоматической камере хра-
нения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он
только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру,
нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее коли-
чество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру?
Упражнение 27. ** Доказать тождество:
|
A
1
4
. . .
4
A
n
|
=
X
i
|
A
i
| ?
2
X
i,j
|
A
i
?
A
j
|
+
+ 4
X
i,j,k
|
A
i
?
A
j
?
A
k
| ?
. . .
+ (
?
1)
n
?
1
2
n
?
1
|
A
1
?
A
2
?
. . .
?
A
n
|
 аналог формулы включенийисключений для симметрической разности.
Упражнение 28. ** Функция Эйлера
?
(
n
)
определяется как количество
натуральных чисел от 1 до
n
, взаимно простых с
n
(числа называются вза-
имно простыми, если их НОД равен 1). Пусть
n
=
p
?
1
1
. . . p
?
s
s
 разложение
n
на простые сомножители. Докажите равенство
?
(
n
) =
n
1
?
1
p
1
·
. . .
·
1
?
1
p
1
.
Упражнение 29. * Юра, Лјша и Миша коллекционируют марки. Количе-
ство Юриных марок, которых нет у Лјши, меньше, чем количество марок,


20

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   55




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет