Лекции и упражнения

12.6. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.
143
тогда
sin
|
x
n
?
x
0
|
<
1
2
?
(из монотонности синуса), а, следовательно,
|
sin
x
n
?
?
sin
x
0
|
< ?
.
Пример 45. Функция
f
(
x
) = tg
x
непрерывна на каждом из интервалов
?
?
2
+
?n,
?
2
+
?n
, где
n
?
Z
. Это следует из непрерывности функций
f
(
x
) = sin
x
,
f
(
x
) = cos
x
и теоремы 47.
Пример 46. Функция
f
(
x
) = ctg
x
непрерывна на каждом из интервалов
(
?n, ?
+
?n
)
, где
n
?
Z
. Это следует из непрерывности функций
f
(
x
) =
= sin
x
,
f
(
x
) = cos
x
и теоремы 47.
Пример 47. Функция Дирихле
D
(
x
) =
(
1
,
x
?
Q
0
,
x /
?
Q
 функция, прини-
мающая значение 1, если аргумент рационален, и 0, если аргумент ирраци-
онален. Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой
содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит,
как нули, так и единицы функции Дирихле), ни в одной точке предел
D
(
x
)
не существует, а значит, она разрывна на всей числовой прямой.
Пример 48. Функция Римана
R
(
x
) =
(
1
n
,
x
=
m
n
,
(
m, n
) = 1
0
,
x /
?
Q
 функ-
ция, принимающая значение
1
/n
, если аргумент представим несократи-
мой дробью со знаменателем
n
, и 0, если аргумент иррационален.
Следствие 17 (Метод интервалов). Рассматривается неравенство
F
1
(
x
)
·
F
2
(
x
)
·
. . .
·
F
n
(
x
)
G
1
(
x
)
·
G
2
(
x
)
·
. . .
·
G
m
(
x
)
?
0
, где
F
1
, F
2
, . . . F
n
, G
1
, G
2
(
x
)
, . . . , G
m
непрерывны на некоторм множестве
M
. Точки
x
1
, x
2
, . . . , x
s
, в которых хотя бы одна из этих функций равна 0
разбивают
M
на непересекающиеся интервалы, в каждом из которых знак
каждой функции сохраняется  это гарантирует теорема 51. Следова-
тельно, определив какимлибо образом знак выражения
F
1
(
x
)
·
F
2
(
x
)
·
...
·
F
n
(
x
)
G
1
(
x
)
·
G
2
(
x
)
·
...
·
G
m
(
x
)
в одной точке интервала, мы знаем знак во всех точках. Следовательно,
можно получить ответ, выписав интервалы с нужным нам знаком.
Хотелось бы обратить внимание читателей на тот факт, что функ-
ции могут быть любыми, главное, чтобы они были непрерывны на интере-
сующем нас множестве. В школьной программе обычно рассматривается
частный случай, когда множители имеют вид
(
x
?
a
)
k
.
12.6 Обратные функции.
Теорема 52 (О существовании обратной функции). Пусть
f
(
x
)
? C
([
a, b
])
и является строго монотонно возрастающей (убывающей). Тогда обрат-
ная функция
f
?
1
(
y
)
существует и непрерывна на отрезке
[
f
(
a
)
, f
(
b
)]
(со-
ответственно
[
f
(
b
)
, f
(
a
)]
)

144
ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ.
Доказательство.
Не ограничивая общности рассуждений, считаем функцию
f
монотонно воз-
растающей.
Из следствия 15 вытекает, что
f
(
x
)
 сюръекция, а из монотонности
f
(
x
)
 что инъекция. Следовательно
f
(
x
)
является биекцией, поэтому су-
ществует обратная к ней функция.
Докажем непрерывность этой обратной функции. Выберем произволь-
ное
x
0
?
(
a, b
)
и
? >
0
. Рассмотрим значения функции в окрестности
U
?
(
x
0
)
.
Из монотонности и непрерывности функции
f
(
x
)
следует, что
f
(
U
?
(
x
0
)) =
= (
f
(
x
0
?
?
);
f
(
x
0
+
?
))
. Обозначим
y
0
=
f
(
x
0
)
и выберем
?
= min (
y
0
?
f
(
x
0
?
?
)
, f
(
x
0
+
?
)
?
y
0
)
.
Очевидно,
f
?
1
(
y
0
+
?
)
?
x
0
+
?
и
f
?
1
(
y
0
?
?
)
?
x
0
?
?
, следовательно,
f
?
1
?
U
?
(
y
0
)
?
U
?
(
x
0
)
. Таким образом,
lim
y
?
y
0
f
?
1
(
y
) =
x
0
.
Если же
x
0
=
a
или
b
, то следует брать односторонние окрестности 
U
+
?
(
a
) = [
a, a
+
?
)
и
U
?
?
(
b
) = (
b
?
?, b
]
, в остальном доказательство остается
прежним.
Замечание. Формулировка доказанной теоремы может быть слегка измене-
на для функции, непрерывной на открытом интервале, луче, всей числовой
прямой. Только вместо отрезка
[
f
(
a
)
, f
(
b
)]
следует брать интервал (или луч)
lim
x
?
a
f
(
x
); lim
x
?
b
f
(
x
)
.
Доказанная теорема является очень важной. Она позволяет обосновы-
вать корректность определения корней, логарифмов, обратных тригономет-
рических функций.
12.6.1 Корни. Показательная и логарифмическая функ-
ция.
Пусть
n
= 2
k
,
k
?
N
, рассмотрим функцию
f
(
x
) =
x
n
. Она монотонно
возрастает на
[0; +
?
)
, причем
lim
x
?
+
inf ty
f
(
x
) = +
?
. Следовательно, по тео-
реме 52 существует обратная функция
x
=
f
?
1
(
y
)
, которая определена и
непрерывна на
[0; +
?
)
. Эту функцию обозначают
y
=
n
?
x
. Очевидно, она
совпадает с арифметическим корнем степени
n
.
Пусть
n
= 2
k
+1
,
k
?
N
, рассмотрим функцию
f
(
x
) =
x
n
. Она монотонно
возрастает на
(
??
; +
?
)
, причем
lim
x
??
inf ty
f
(
x
) =
??
,
lim
x
?
+
?
f
(
x
) = +
?
.
Следовательно, по теореме 52 существует обратная функция
x
=
f
?
1
(
y
)
,
которая определена и непрерывна на
R
. Эту функцию обозначают
y
=
n
?
x
.
Очевидно, она совпадает с алгебраическим корнем степени
n
.
Пусть
a >
0
, определим рациональную степень числа как
a
p/q
=
q
?
a
p
.
Для действительных
x
можно задать
a
x
= lim
n
??
a
p
n
/q
n
, где
p
n
q
n
?
x
при
n
? ?
. Можно показать, что определение корректно, т.е. не зависит от

12.6. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.
145
выбора последовательности
p
n
q
n
?
x
и что получившаяся функция будет
непрерывна. Ее называют показательной функцией с основанием
a
.
Пусть
a >
1
, тогда
f
(
x
) =
a
x
является монотонно возрастающей на
R
, причем
lim
x
???
f
(
x
) = 0
,
lim
x
?
+
?
f
(
x
) = +
?
. Следовательно, существует
обратная функция, непрерывная на
(0; +
?
)
. Ее обозначают
x
= log
a
y
и на-
зывают логарифмом по основанию
a
. В случае
0
< a <
1
логарифмическая
функция определяется аналогично.
12.6.2 Обратные тригонометрические функции
Важно понимать, что синус, тангенс и т.д. не являются биекциями, поэтому,
вообще говоря, обратных к ним не существует. Что же тогда понимают под
обратными тригонометрическими функциями?
Определение 115. Рассмотрим функцию
sin
?
(
x
) =
(
sin
x,
x
?
[
?
?
2
;
?
2
]
не определена,
x
6?
[
?
?
2
;
?
2
]
.
Указанная функция является биекцией
sin
?
: [
?
?
2
;
?
2
]
?
[
?
1; 1]
. Таким об-
разом существует функция, обратная к ней, которая называется арксинус
и обозначается
arcsin
y
.
Определение 116. Рассмотрим функцию
cos
?
(
x
) =
(
cos
x,
x
?
[0;
?
]
не определена,
x
6?
[0;
?
]
.
Указанная функция является биекцией
cos
?
: [0;
?
]
?
[
?
1; 1]
. Таким образом
существует функция, обратная к ней, которая называется арккосинус и
обозначается
arccos
y
.
Определение 117. Рассмотрим функцию
tg
?
(
x
) =
(
tg
x,
x
?
(
?
?
2
;
?
2
)
не определена,
x
6?
(
?
?
2
;
?
2
)
.
Указанная функция является биекцией
tg
?
: (
?
?
2
;
?
2
)
?
R
. Таким образом
существует функция, обратная к ней, которая называется арктангенс и
обозначается
arctg
y
.
Определение 118. Рассмотрим функцию
ctg
?
(
x
) =
(
ctg
x,
x
?
(0;
?
)
не определена,
x
6?
(0;
?
)
.
Указанная функция является биекцией
cos
?
: (0;
?
)
?
R
. Таким образом
существует функция, обратная к ней, которая называется арккотангенс и
обозначается
arcctg
y
.

146

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: