-Несобственные интегралы от неограниченных функций

П усть y = f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a, b).

где функция y = f(x) интегрируема на произвольном [a, b), и b – точка разрыва 2 рода, называется несобственным интегралом второго рода (с особой точкой в верхнем пределе интегрирования)

где d > 0, то

несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y = f(x) с особой точкой а (нижний предел интегрирования). В этом случае

Особая точка (1 или несколько) может лежать внутри промежутка, например

Если с - особая точка из интервала(a,b), то _{ }

Слайд

Полубесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривой

и прямой х=1, имеет конечную площадь S=2кв.ед.

слайд


Пример. Слайд Найти , где a > 0

- некоторое число; х = 0 – особая точка.

Þ несобственный интеграл расходится;

б ) при a ¹ 1 (слайд)

т.е. интеграл расходится при a ³ 1 и сходится при 0 < a < 1.

П ризнак сходимости. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна, то есть f(x) ≥0 в промежутке [a,∞),a>0.Тогда интеграл

сходится, если при а ≤ x<∞ выполняется неравенство

Где α >1 и M- некоторая положительная постоянная.

Если же при а ≤ x<∞ выполняется

неравенство , где α≤ 1 ,M >0 то

интеграл расходится.

П римеры:

Р ешение:

Вычислить самостоятельно:

Ответы: 1.π/2

2.Расходится 3.Расходится

4. π

1. 
   Какие виды интегралов вы знаете?
   
2. 
   В чем их отличие?
   
3. 
   Какие различают несобственные интегралы?
   
4. 
   Чем различаются несобственные интегралы?
   
5. 
   Какие задачи ставятся при работе с несобственными интегралами?
   
6. 
   Геометрический смысл несобственных интегралов