Лекция. Шешімнің бар болуы және жалғыздығы. Лекция мақсаты: Коши есебінің қойылуы, шешімнің бар болуының шарттарымен таныстыру
жүктеу/скачать 144 Kb.
|
4 лекция
- Бұл бет үшін навигация:
- Шынында да, егер D облысында
| Лемма. Кейбір аралығында үздіксіз функциялары және тұрақты саны үшін
(13) теңсіздігі орындалса, онда одан мынандай теңсіздік алуға болады: (14) Дәлелдеуі. (13) теңсіздікті оң жағындағы қосындыға бөлейік : Екі жағында оң функциясына көбейтіп, -ден -ға дейін интеграл алайық: Мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы екенін ескерсек, онда Осыдан Потенциалдап, одан соң берілген (13) теңсіздікті пайдалансақ, (14) теңсіздікке келеміз ( болғанда лемманы дәлелдеу үшін интегралдың бағытын өзгертсе, жеткілікті). Енді осы (14) теңсіздікті пайдаланып, шешімнің жалғыздығын көрсетейік. Айталық, (x) және ψ(x) функциялары әртүрлі екі шешім болсын: , Осы шешімдердің айырмасын бағалайық: Мұнда , f(x)=L, C=0 екенін ескерсек, (14) теңсіздіктен теңдігі шығатынын көреміз, яғни (x)=ψ(x), . Сонымен, Пеано кесіндісінде Коши есебінің тек жалғыз ғана шешімі бар екені толық дәлелденді. Ескерту-1. Шешім кесіндісінде анықталып отыр. Мұнда , яғни саны М санына кері тәуелді: М саны үлкен болса, аз сан болады. Сондықтан, шешім нүктесінің қысқа тұйық аумағында анықталып отыр. Осы себепті бұл тұжырымды локалды теорема деп атайды. Ал шындығында, шешімді берілген облыстың шекарасына дейін созуға болады. Ескерту-2. Әдетте, Липшиц шартының орнына одан басымырақ және оңай тексерілетін шарт алынады. Дәлірек, функциясы берілген тұйық облыста у аргументі бойынша үздіксіз дифференциалданады – деп. Бұл шарт орындалғанда Липшиц шарты өзінен өзі орындалады. Шынында да, егер D облысындатеңсіздігі орын алса, онда өсімше туралы Лагранж теоремасын пайдаланамыз: Осыдан, яғни, Липшиц шартын алдық. Ал Липшиц шартынан функцияның дифференциалдануы шыға бермейді. Оған бір мысал, функциясы. Бұл функция Липшиц шартын кез келген аралықта қанағаттандырады: Алайда, бұл функцияның нүктесінде у бойынша дербес туындысы анықталмаған. Жалпы, Липшиц шарты функцияның бір аргументі бойынша бірқалыпты өсуін көрсетеді. жүктеу/скачать 144 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|