2.3 Коши теңсіздігінің түрлі теңсіздіктерді дәлелдеуде және
математика мен физика есептерін шешуде пайдаланылуы
Дәлелденген Коши теңсіздігін көптеген есептерге қолдануға болады.
Мысалы:
- теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде;
- функцияларды зерттеу мен олардың ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға есептер шығару кезінде;
- теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу кезінде;
- геометриялық есептерді шығаруда;
- қолданбалы сипаты бар есептер мен мәтіндік есептерді шешуде;
- физикалық мазмұндағы есептерді шығаруда;
- олимпиада есептерін шығару кезінде.
Коши теңсіздігін қолданудың мысалдарын қарастырайық.
Мысал 2.3.1. теңсіздігін дәлелдеңіздер
Шешуі. Барлық қосындыларды теңсіздіктің бір жағына шығарып, ұқсас қосылғыштарды біріктірейік . Теңсіздіктің сол жақ бөлігіне айырманың квадратының формуласын пайдаланайық: Сонда шыққан қосылғыштағы өрнектердің әрқайсысы теріс емес санды береді де, бұл бастапқы берілген теңсіздіктің орындалатынын білдіреді. Егер болса, теңсіздік теңдікке айналады. Теңсіздік дәлелденді.
Мысал 2.3.2. Берілген a> 0, b> 0, c> 0, d> 0 сандары үшін (a + b)(b + c)(a + c) ≥8abc теңсіздігін дәлелдеңіздер.
Дәлелдеу: жоғарыда қарастырылған арифметикалық орта мен геометриялық орталардың формулаларын b, c, d сандары үшін пайдаланайық, сонда шығатыны: Осы берілген шарттарды ескерсек, теңсіздіктің оң жағы да, сол жағы да оң сандарды береді, демек, оларды мүшелеп көбейтуге болады: . Содан (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc теңсіздігі шығады. Дәлелденді.
Мысал 2.3.3. Мынадай теңсіздікті дәлелдеңіздер.
Шешуі. Бұл теңсіздікті Коши теңсіздігінің көмегімен дәлелдеуге болады. Берілген теңсіздіктегі екінші қосындыны екі қосынды түрінде жазып аайық та қосылғыштарды өзңмңзге ыңғайлы етіп топтастрайық:
Жақшадағы өрнекке Коши теңсіздігін қолданайық
Шыққан нәтижеге Коши теңсіздігін тағы бір рет қолданайық
Коши теңсіздігін үшінші рет қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдедік. Берілген қатынастар тізбегінде екі оң сан үшін Коши теңсіздігі үш рет қолданылды.
Достарыңызбен бөлісу: |
