Математикалық талдау 1-дәріс

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ 1.

  

1-дәріс. 

  Жиындар   мен   математикалық   логика   элементтері.  Аралықтар 

Ғылымдар  ішінде  математика  ерекше  орын  алады.  Математика  нақты  өмірдің 

сандық катынастары мен кеңістіктегі түрлері тұралы ғылым. 

Математика,  басқа  ғылымдарға  табиғат  құбылыстары  арасындағы  түрлі 

катынастарды  өрнектеу  үшін  сандар  мен  символдар  тілін  ұсынады.  Бірақ, 

математиканы  қолданбас  бұрын,  биолог,  физик  немесе  экономист  зерттелетін 

кұбылыс мәнін терең түсінуі қажет,  оны математикалық өңдеуге болатындай етіп 

бөліктеуі керек. 

Математикадағы      зерттеу      объектілері      -      қоғам      мен      табиғат 

кұбылыстарын      сипаттау      үшін      құрылған      логикалық      модельдер. 

Математика  осы  модельдер  элементтерінің  арасындағы  қатынастарды 

зерттейді. 

Бір  ғана  математикалық  модель  өзінің  абстракциялылығынан  (дерексіздігін) 

әртүрлі  процесстерді  сипаттай  алады.  Мысалы,  6ip  дифференциалдық  тендеу 

радиоактивті ыдырауды да, дене температурасының өзгерісін де сипаттайды. 

Табиғат 

құбылыстарын 

зерттеуде 

біз 

6ip 

шаманың 

екінші 

шамаға 

тәуелділігін, 

шамалардың 

өзгеріп 

отыратындығын 

көреміз. 

Сондықтан  айнымалы  шама  математикалық  талдау  (анализ)  курсында 

негізін түсінік болып табылады. 

Айнымалы шама деп қандайда 6ip құбылысты зерттеуде ең болмағанда екі 

түрлі  мәнге  ие  болатын  шаманы  қабылдаймыз.  Құбылысты  зерттеу  барысында 

шама  6ip  ғана  мән  қабылдаса  ол  тұрақты  деп  аталады.  Айнымалы  шаманың 

қабылдайтын барлық мәндерін 6ipiктірсек, онда осы шаманың мәндер жиынын аламыз. 

Математикада  тәуелсіз  айнымалы  шама  түсінігі  кейбір  элементтерден 

құралған  абстракты  жиын  түсінігіне  дейін,  ал  тәуелді  айнымалы  шама  түсінігі 

функция түсінігіне дейін жалпыланады. 

2. Жиындар 

Жиын  қандайда  6ip  объектілердің  жиынтығы.  Жиынға  кіретін  объектілерді 

жиынның элементтері деп атаймыз. 

а



А   жазуы,  "а"  объектісі  А  жиынының    элементі  екенін  (А  жиынына 

жататынын) керсетеді, олай болмаған жағдайда ("а" объектісі А жиынының элементі 

емес) a



А  деп жазылады. Бірде бip элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады да 



 

символы арқылы белгіленеді. 

Егер  А  жиынының әрбір  элементі  В  жиынының  да элементі  болса, онда  А



В 

деп  жазады  (А  жиыны  В  —  да  жатады),  бұл  жағдайда  А  жиыны  В  жиынының  

жиыншасы (подмножество) деп аталады. 

Егер  А 



:  В  және  В 



  А    қатынастары  орындалса,  онда  А  мен  В  тең  (А  =  В) 

жиындар  деп аталады. Басқаша айтқанда егер жиындар бірдей элементтерден  тұрса, 

онда олар тең деп деп саналады. 

Жиындарды берудің екі негізгі тәсілі  бар. 

а)  А  жиыны  оның  барлық  элементтерін  а

1

,а

2

,...,а

n 

  тікелей    көрсету  арқылы, 

ягни 

А = {а

1

,а

2

,...,а

n .

} түрінде аныкталады; 

б)  А  жиыны  кандайда  бір  U  бас  (негізгі)  жиынының  тек  кана  а  жалпы 

қасиетіне  ие  (немесе  а  шартың  қанағаттандыратын)  элементтерінің  жиынтығы 

ретінде анықталады. 

Бұл жағдайда 

A = {x



U:a(x)} белгілеуі  пайдаланады. 

Жиындар  үшін  сандарды  қосу  және  көбейту  амалдарының  қасиеттеріне    ұқсас 

6ipiгy және киылысу амалдарын енгізуге болады. 

Элементтері  сандар  болатын  жиынды  сандық    жиындар  деп  атайды.  Негізгі 

сандық  жиындарын келтірейік. 

Натурал сандар жиыны N арқылы белгіленеді: 

N = {1,2,3,...}. 

Натурал сандар жиынында қосу және көбейту амалдарын орындауға болады. 

Бүтін сандар жиыны Z арқылы белгіленеді.  

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 

Z — жиынында косу, азайту және көбейту амалдарын алуға болады. 

Рационал сандар жиыны Q арқылы белгіленеді. 

.

,

:



















N

q

Z

p

q

p

Q

 

Q  жиынында барлық төрт арифметикалық амалдарды орындауға болады. 

Иррационал   сандар   жиынын  I  арқылы белгілейміз. Иррационал сан деп 

q

p

    түрінде  жазуға  болмайтын  сандарды  айтамыз.  Мысалы, 

2

 санын   

q

p

 түрінде 

жазуға болмайтыны  мектепте көрсетілген. 

 Рационал   және   иррационал   сандар   жиыны   нақты   сандар  жиыны   

болады   да,     R  аркылы    белгіленеді     R  жиынында   барлық  арифметикалық 

амалдарды  және    тepic  емес  сандардың  кез  келген  дәрежелі    түбірін  табуға 

болады. 

Бұл  жиындар  бір-бірінің    жиыншасы    болатынын  былайша  жазып 

керсетуте болады: 

N



Z



Q



R .  

3. Математикалық логика символдары. 

Математикалық  сөйлемдерді  жазуда  үнемді    болу  үшін  логикалық 

символдарды  пайдаланады.  Мұнда  ең  карапайым  және  жіирек  қолданылатын 

логикалық символдарды ғана келтіреміз. 

а,  13,...  кандайда  6ip  пікірлер  (пайымдаулар,  высказывания),  яғни, 

әркайсысы  тұралы  "шын"  немесе  "өтірік"  деп  айтуға  болатын  хабарлы 

сөйлемдер бол сын. 

1)  а => β  жазуы:  "   α   пікірінен  β   пікіpi  шығады", немесе, 

қысқаша  "  α  —  дан  β  шығады"  дегенді    білдреді.  ("=>"  —  импликация 

(токыма) символы. 

2) α<=>β жазуы "α пікірі β пікіріне парапар (эквивалентті)", басқаша 

айтқанда,  "а=>β"  және  "β=>α"  импликациялары  орын  алады  дегенді 

білдіреді. ("<=>" - парапар символы). 

Математикада кез келген теореманы " α => β "  түрінде 

("α"— теорема шарты, " β " -  оның корытындысы) жазуға болады. 

3)  ал  α,β  жазуы:  "α  және  β"  дегенд1  білдіреді  ("^"  -конъюнкция 

(6ipiктірмe) символы). 

4)  α^β  жазуы:  "  α  немесе  β  "  дегенді  білдіреді  ("^"  -дизъюнкция 

(ажырастық, бытыраңқылык,) символы). 

5) 



х 



 X  



(х) жазуы: "кез келген х 



 X элементі үшін а(х) 

қасиеті  орындалады"  дегенді  білдіреді  ("



" 

жалпылық  кванторы 

(кисындамасы)).  "V"  кванторы  ауызша  туұжырымдарда  "барлық",  "кез 

келген",  "әp6ip"  деген  сездерді  ауыстырады.  "



"  -  белгісі  ағылшынньң 

"Any — барлық" деген сөзінің  6ipiншi әріпінің  төңкеріліп жазылуы. 

6)    



х



Х  



(х)    жазуы:    "



    қасиеті   орындалатын    х



Х  

элементі  бар  (немесе,  табылады)  дегенді  бiлдipeдi  ("



"  —  бар  болу 

кванторы).  "



"   -  кванторы  "бар",  "табылады"  деген  сездер  орнына 

колданылады.      "



"      белгісі    ағылшынның      "Existence      -      бар"      деген 

сезінің 6ipiнiшi  әрпінің Tepic аударылып жазьшуы. 

Егер 



(х)  касиеті  орындалатындай  х 



  X  бар,  және  ол  жалғыз  ғана 

элемент болса, онда 



.х



Х



(х}   

 деп жазады. 

7)  7



  немесе  а  жазуы  а  пікірінің  тepic  екенін  білдіреді,  ( 7 —   терістеу 

символы). 

Теоремаларды  дәлелдеуде  жиі  қолданылатын  әдіс  —  "Kepi  жору".  Оның 

негізі "



=>p" мен (7



=>7



)пікірінің парапарлығында. 

4. Keciндi, аралық, шенелген жиын 

R  —  нақты  сандар  жиынының  шене  жиындары  үшін  келесі  белгілерді  

енпземіз. 

а ≤ х ≤ Ь  к,ос теңсіздгін қанағаттандыратын x



R  сандар жиыны кесінді (а,b 

— кесшді  ұштары) немесе сегмент деп аталады да [а,b] деп белгіленеді. 

Сонымен, 

[a,b] = { x



R : a ≤ x ≤ b } .   Осы сияк,ты, 

(a,b) = { x



R : a < x < b ]  — аралық 

 [а,b) = { x



R : a ≤ x < b }  немесе, 

( a , b ] = { x



R : a ≤ x ≤ b }   жартылай  аралық 

деп аталады. 

Кесінді, аралық және жартылай аралық — сандар аралықтары немесе жай 

ғана аралықтар деп аталады. 

Көп  жағдайда,  R  накты  сандар  жиынын  сәйкес  "плюс  шексіз"  және 

"минус  шекіз"  деп  аталатын  — 



  жэне  +



символдарымен  толықтыру 

ыңғайлы. Және олар үшін келесі  шарттар орындалады деп есептеймхз: 

- 



 < +



,   (+



) + (+



) = +



;     (-



) + (-



) = -



, (+



) • (+



) = (-



)

 

• (-



) = +



;   (+



) • (-



) = (-



) • (+



) = -



; 



R, - 



< а < +



;     а + (+



) = +оо + а = +оо; 

- 



+ а = а + (—



) = —



; 



a > 0;     а • (+



) = (+



) • а = +



,      а • (-



) = (-



) • а = -



; 



a < 0;   а • (+



) = (+оо)  



а 





,            а  •  (-



)  =  (-



) • а - +



;  "+



"    пен    "-



"     шексіздіктерін    кейде   

"шекті      сандар"      деп  аталатын   



 



  R  нақты  сандарынан  ажыратып 

"шексіз сандар" деп атайды. 

"-



" 

жене 

"+



" 

шексхз 

сандарымен 

толықтырылған 

R 

пакты 

сандар 

жиыны 

"нақты 

сандардың 

кеңейтлген 

жиыны" 

(немесе) 

"кецейтшген  савдар  өсі    деп  аталады  да  R  аркылы  белпленеді, 

сонымен, 

R

 = R



{+



}



{-



}. 

Келесі  аралықтарды "шексіз аралықтар" деп атайды:  

R



 (-



;+



) = [х 



 R : -



< х < +оо}; 

(- 



;а] = {х 



 R: х < а};      [- 



;а] = {- 



} 



 (- 



;a} 

 (-



;а)= {х



R:х<а};     [-



,а) - {-



} 



 (-



; а) 

 [о,+



) = {х е 



R: х 



 а};      [а;+



] = [a ;+



) 



{+ 



}. 

 (а,+



) = { x



R : x > a } .      (а;+



] = (а,+



) и {+ 



}. 

Кенейтілген сандар өсіндегі нүктенің 



 — маңайы (



>0): 

1.  a



R  - накты санының 



 - маңайы О



(а) арқылы белгіленеді және  

О



(а) = (а - 



, а + 



) = {х 



 R : х - а\ < 



\ 

2. а = +



 болса, онда 

О



 (+



) = (



,+



] = {х 



 R: х > 



}; 

3. а = -



болса, онда 

O



 (-



) = [-



,-



-) = {х 



 R: х < -



}; 

Кейде  сандар  өсін  6ip  элементен:      "



"      ғана  толықтырады  және  оны 

"шексіздік"  деп  атайды.  Таңбасы  керсетілмеген  шексіздік  пен  нақты  сандар 

арасында (- 



< х < +



сияқты) реттік  қатыс жоқ Алайда оның 



 - маңайын келесі  

түрде жазады.  

4. U



(



) def {x:|x|>



-} = [-



;



)



(



+



]

;

 

О

е

(



) = [- 



;-



)



 (



+



] = {х 



 R: |х| > 



} 

Жалпы  жағдайда  а 



  R  (шекті  немесе  шексіз)  нүктесінің  s  -маңайын 

жай ғана О(а) деп белглейді. 

Ескерту.  Соңғы  2),  3)  және  4)  анықтамаларда 



->0  шарты  тек 

анықтамалар бірдей түрде болуы үшін ғана қажет. 

X = {х} 



 R — нақты сандардан кұралған кез келген жиын болсын. 

Егер:  кез келген х 



 X үшін х ≤ М, яғни 



х 



 X: х ≤М 

теңсіздік  орындалатын  МeR  нақты  саны  бар  болса,  онда  X  —  жогарыдан 

шенелген  жиын;  ал  "М"  оның  жогаргы  шекарасы  деп  аталады.  Бұл  жағдайда  кез 

келген М' > М саныда X — тың жоғарғы шекарасы бола алады. 

—кез келген х 



X у тің  х



т ,  яғни  



x 



X: х 



m 

орындалатындай  m



  R  —  нақты  саны  табылса,  онда  X  —  төменнен  шенелген 

жиын, ал. " т "  — оның теменгі шекарасы деп аталады. 

— X — теменнен де, жоғарыдан да шенелген, яғни 



x



X: m ≤ х ≤ M,  m



R, M



R         (1) 

болса, 

онда 

X 

— 

шенелген 

жиын 

деп 

аталады 

. 

Дербес жағдайда, егер 



x



R :



x



≤M   (1) 

кос теңсіздігі орындалатындай М > 0 нақты саны бар болса, онда X — шенелген 

жиын, өйткені, 



х



 <М



-М≤х ≤М > X — шенелмеген жиын 

болса, онда 



М>0,



х

0

 



Х: 



х

0



 >М   

(2) 

орындалады. 

Егер E



R   сандар жиынында әрбір  х 



Е  үшін х ≤с ( х



с )  

теңсіздіггі қанағаттандыратын с



Е  саны (с = +



, с = -



 болуыда 

мүмкін)  бар  болса,  онда  оны  Е  —  сандар  жиынының  ең  үлкен  элементі 

(ең 

қиын элементі) деп атайды да с = max Е = max

x



E

 х; (с - min 

Е = min

 x



E

 х) арқылы белгілейді. 

X 



  R  жиынының  жоғарғы  шекаралар  жиынының  ең  кіші  элементі  X  — 

жиынының дәл жоғарғы шекарасы деп аталады да sup X 

(немесе   

X

x

sup{x}



)   арқылы   белгтенеді,   және   "супремум   X"   деп 

оқылады. 

X



R   жиынының  төменгі  шекаралар  жиынының  екі  үлкен  элементі  X  — 

жиынының  дәл  теменгі  шекарасы  деп  аталады  да  inf  X  (немесе

X

x

inf{x}



)  арқылы 

белгшенеді, және "инфимум X" деп окылады. 

Егер X жоғарыдан (теменнен) шенелмеген жиын болса, онда sup X = +



(inf X 

= -



).