Қатарлар. Сандық қатарлар. Мүшелері оң қатарлар

Ақырсыз оң сандар . тізбегін алып, олардың қосындыларын қарастырамыз: .

Анықтама. Алдыңғы қосынды сандық қатар деп аталады және былай белгіленеді:

мұндағы - қатардың жалпы мүшесі деп аталады және ол кез келген n нөмірге функциялық тәуелді, яғни

Егер (2) заңдылық белгілі болса, онда қатар берілді деп айтады. Қатардың мүшелерінің келесі қосындыларын қарастырамыз:

мұндағы - қатардың n-і дербес қосындысы деп аталыды.

Егер (3) шек бар болса, онда оны жинақты, кейде жинақталатын қатар деп атайды; ал егер шек ақырсыз, немесе мүлде жоқ болса, онда қатар жинақсыз немесе жинақталмайды деп атайды.

Осы қатарды жинақтылыққа зерттеп, қосындысын табалық.

3. болсын, сонда қатар жинақталмайды.

4. болсын, n-і дербес қосындысын қарастырамыз:

Егер n-жұп сан болса, онда , егер n тақ сан болса, онда дербес қосынды . n-ң әртүрлі мән қабылдайды, онда -ң шегі жоқ. Бұдан, қатардың жинақталмайтыны шығады.

Қатардың қасиеттері. Мүшелері оң

сандық қатары берілсін. Қатар жинақталады делік.

1-теорема. Егер жинақталатын қатардың барлық мүшелерін бір тұрақты санына көбейтсек, онда оның жинақтылығы өзгермейді:

2-теорема. Жинақталатын қатардың санаулы мүшесін алып тастаса (немесе қосса), онда қалған қатарда жинақты қатар болады.

3-теорема. Жинақталатын екі қатар берілсін:

Егер мүшелері оң екі қатар жинақталатын болса, онда олардың сәйкес мүшелерінің қосындысынан (айырмасынан) құрылған қатарда жинақталады:

Қатар жинақталуының қажетті шарты

Мысал. Гармониялық деп аталатын

қатарын жинақтылыққа зерттелік.

n-і дербес қосындысын құрамыз:

Қосымша қатардың дербес қосындыларын табамыз:

Қосымша қатардың n-і дербес қосындысын қарастырамыз және оның шегін табамыз:

Ендеше, қатар жинақталмыйды.

2-ескерту. Қатарды жинақтылыққа зерттеу үшін алдымен (4) қажетті шарттың орындалуын тексеру керек.

Теорема. (5) және (6) қатарлардың әрбір мүшесі үшін

теңсіздігі орындалсын және

1. 
   егер мүшелері үлкен (6) қатар жинақталса, онда мүшелері кіші (5) қатарда жинақталады,
   
2. 
   егер мүшелері кіші (5) қатар жинақталмаса, онда мүшелері үлкен (6) қатар жинақталмайды.
   

Салыстыру үшін мүшелері осы қатардың мүшелерінен кіші гармониялық қатарды аламыз: .

Теорема. (5) және (6) қатарлар берілсін. Егер жалпы мүшелерінің қатынасының шенеулі шегі бар болса, яғни

Мысал. Мүшелері оң қатарды зерттелік:

Бұл қатарды гармониялық қатармен салыстырамыз да жалпы мүшелерінің қатынасының шегін табамыз:

Гармониялық қатар жинақсыз, онда берілген қатар да жинақсыз.

Мысал. Қатарды жинақтылыққа зерттендер.

Даламбер белгісі бойынша зерттейміз:

қатар жинақталады.

Кошидің радикалдық белгісі. Мүшелері оң қатарды карастырамыз:

Теорема. Егер

Шектің шенеулі шегі бар болса, онда

1. 
   егер , онда қатар жинақталады;
   
2. 
   егер , онда жинақталмайды;
   
3. 
   болғанда қосымша зерттеу талап етіледі.
   

Мүшелері оң қатарды карастырамыз:

Мысал. қатарын жинақтылыққа зерттелік, мұндағы р-нақты сан. Меншіксіз интегралды қарастырамыз:

1) болсын, онда ақырсыздық бөлшектің бөлімінде болады, онда бөлшектің шегі нөлге тең. Бұдан, қатардың жинақталатыны шығады.

2) болсын, онда ақырсыздық бөлшектің алымына шығады, онда бөлшектің шегі жоқ. Ендеше, қатар жинақталмайды.

3) болсын, меншіксіз интегралды жеке қарастырамыз:

Сонымен, зерттелінген қатар

а) егер онда қатар жинақты

б) егер онда қатар жинақсыз.

Негізгі әдебиет: 1, [136-196], 2, [447-514]

Қосымша әдебиет: 17, [119-142].

Бақылау сұрақтары

1. Мүшелері оң таңбалы қатарлар. Салыстыру белгісі.

2. Даламбер белгісі. Коши белгісі

3. Таңба ауыспалы қатарлар. Лейбниц теоремасы

4. Абсолютті және шартты жинақтылық. Абсолютті жинақты қатардың белгісі