Матрицалар және анықтауыштар Матрицалар Матрица
Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 1,46 Mb.
|
аегеом конспект лето20 (1)
| Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Анықтама. түріндегі дифференциалдық теңдеулер n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер (СДТ) деп аталады. Бұл теңдеуде -лер бірінші дәрежелі. Егер - коэффициенттері функциялар болса, онда (18) айнымалы коэффициентті СДТ деп аталады. Егер коэффициенттері тұрақты болса, онда (18) тұрақты коэффициентті СДТ деп аталады. Көп жағдайда (18) СДТ біртекті емес деп айтады. Егер болса, яғни онда (19) n-ретті СДТ біртекті деп атайды. Коши есебін қоялық: бастапқы шартын қанағаттандыратын (18) СДТ шешімін табалық. Пикар теоремасы. Егер (18) СДТ барлық коэффициенттері және оң жағындағы функциясы бастапқы нүктесі жататын бір D облысында үзіліссіз болса, онда (20) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (18) СДТ жалғыз шешімі бар болады. Материалды баяндау жеңіл болу үшін оператор ұғымын енгіземіз. Анықтама. түріндегі операторды n-ретті сызықтық дифференциалдық оператор деп атайды. Анықтама. Егер теңбе-теңдігі орындалатын болса, онда функциясы [18] СДТ-ң шешімі деп аталады. Біртекті СДТ. n-ретті біртекті СДТ-і берілсін немесе қысқаша Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қасиеттері. 1.Егер біртекті СДТ-ң шешімі болса, онда функциясы да осы біртекті СДТ-ң шешімі болады. 2.Егер біртекті СДТ-ң шешімдері болса, онда олардың қосындысы да (19) біртекті СДТ-ң шешімі болады. 3.Егер функциялары біртекті СДТ шешімдері болса, онда сызықтық комбинациясы да біртекті СДТ-ң шешімі болады. Функциялардың сызытық тәуелсіздігі. аралығында анықталған функциялар жүйесі берілсін. Анықтама. Егер теңбе-теңдігі тек болғанда ғана орындалса, онда функциялары сызықтық тәуелсіз деп аталады, яғни сызықтық комбинация нөлге тең болатындай нөлге тең емес сандарын табуға болмайды. Анықтама. Егер (*) теңбе-теңдігі бәрі бірдей қатарынан нөлге тең болмайтын нақты сандарында орындалатын болса, онда функциялары сызықты тәуелді деп аталады. Мысал. болғанда кез келген х үшін қатысы орындалмайды. Ендеше, бұл функциялар сызықты тәуелсіз. 2) функциялары сызықты тәуелді, өйткені болғанда теңдігі кез келген х-тің мәндерінде орындалады. Вронский анықтауышы. Анықтама. түріндегі детерминант n-ретті Вронский анықтауышы немесе вронскиан деп аталады. 1-теорема. Егер функциялары сызықты тәуелді болса, онда осы функциялардан құрылған Вронский анықтауышы нөлге тең болады. 2-теорема. Егер функциялары сызықты тәуелсіз функциялар болса, онда осы функциялардан құрылған Вронский анықтауышы нөлден өзге болады. Мысал. Бұл функциялар өзара тәуелсіз, өйткені теңдеуі болғанда ғана орындалады. Вронский анықтауышын құрамыз біртекті сызықты дифференциалдық теңдеуі берілсін. Теорема. Егер функциялары біртекті СДТ-ң шешімдері және өзара тәуелсіз болса, онда функциясы біртекті СДТ-ң жалпы шешімі болады. Анықтама. Біртекті СДТ-ң сызықтық тәуелсіз шешімдері фундаментальды шешімдер жүйесі (ФЖС) деп аталады. біртекті емес СДТ-ің қарастырамыз. Теорема. Егер біртекті СДТ-ң - фундаментальді шешімдер жүйесі және біртекті емес СДТ-ң дербес шешімі болса, онда функциясы немесе біртекті емес СДТ-ң жалпы шешімі болады, мұнда -сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі, -біртекті емес теңдеудің дербес шешімі. Тұрақты коэффициентті біртекті СДТ Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Бұл теңдеулердің жалпы шешімі былай болады Осы шешімдерін қалай іздейміз. Леонард Эйлер шешімді мына түрде іздеуді ұсынады: мұндағы - әзірге белгісіз тұрақты сан. Туындыларын табамыз: Бұларды (23) теңдеуге қоямыз: экспонентті жақша сыртына шығарамызда қысқартамыз. Сонда -ға қатысты сипаттауыш теңдеу деп алынатын -дәрежелі
теңдеуін аламыз, ал мұның түбірі бар. Бірнеше жағдайларды қарастырамыз: 1-жағдай: (25) сипаттауыш теңдеудің түбірлері – нақты және әртүрлі, яғни Мұны (24)-ге қойып шешімін аламыз: Теорема бойынша біртекті теңдеудің жалпы шешімі: Мысал. сипаттауыш теңдеуінің түбірлері Біртекті СДТ-ң жалпы шешімі: 2-жағдай: Түбірлері нақты, кейбіреулері еселі. - нақты түбірі еселі болсын, онда біртекті СДТ жалпы шешімі былай болады: Мысал: 3-жағдай: сипаттауыш теңдеудің түбірлері комплекс сандар. - комплекс түбірлері болсын, онда түйіндес комплекс түбірлері бар болады. - сызықты тәуелсіз шешімдері болады. Бұл жағдайда біртекті СДТ-ң жалпы шешімі мына түрде болады: шешімдері нақты түбірлерімен. Негізгі әдебиеттер: 14, §9.3-9.5, [164-187] Қосымша әдебиеттер: 15, §10.6-10.10. [483-514]. Бақылау сұрақтары: Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі. Жоғарғы ретті сызықтық диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі. Біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері және жалпы шешімнің құрылымы жүктеу/скачать 1,46 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|