Матрицалар және анықтауыштар Матрицалар Матрица


Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер



бет79/80
Дата31.07.2020
өлшемі1,46 Mb.
#75781
1   ...   72   73   74   75   76   77   78   79   80
Байланысты:
аегеом конспект лето20 (1)

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама



(15)

түріндегі теңдеу ші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Егер (15) теңдеуден і туынды табылатын болса, онда



(16)

теңдеуі ең жоғарғы туындысы арқылы шешілген ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері. I-класс. Тәуелсіз айнымалы және жоғарғы туындысы бар теңдеулер.

түріндегі теңдеуді қарастырамыз.



Екі бөлігін де х бойынша интегралдаймыз:

тағы да интегралдаймыз:

Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда



I-класстағы n-ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.



Мысал. ; теңдеуін шешілік.







II-класс. у функциясы және оның -і ретіне дейінгі туындылары жоқ теңдеулер. түріндегі ДТ қарастырамыз. Жаңа айнымалы енгіземіз:



сонда

и(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге қоямыз: Сонымен, к- ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа ДТ-ң шешімі функциясы болсын делік. Мұны (17) теңдеуге қоямыз: - ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл рет дифференциалдау арқылы шешіледі (1-класс).

Мысал.

бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау арқылы шешу керек (1-класс)

III-класс. Тәуелсіз айнымалы х-і жоқ теңдеулер.



түріндегі теңдеуін қарастырамыз.

Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті аламыз және ауыстыру орындаймыз:

Екінші, үшінші және т.б. туындыларын алу үшін осы жаңа функциядан күрделі функция есебінде туынды табамыз:





және т.б. Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:





Шешімі мына түрде табылды делік: Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ аламыз:

Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ. ауыстыруын орындаймыз. - бұл біртекті теңдеу. - ауыстыруын аламыз, . Теңдеуге қоямыз: у-і қысқартамыз:




- біртекті теңдеудің шешімі

немесе

ал бұл айнымалысы ажыратылған ДТ.



IV-класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.



теңдеуін қарастырамыз және болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі бөлігін де интегралдаймыз, сонда ДТ реті бірге төмендейді.

Мысал. - бұл ДТ реті бірге төмендеді.

Негізгі әдебиеттер: 14, §9.3-9.5, [164-187]

Қосымша әдебиеттер: 15, §10.6-10.10. [483-514].

Бақылау сұрақтары:

1.Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер.

2.Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі.

3.Дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері және жалпы шешімнің құрылымы



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   72   73   74   75   76   77   78   79   80




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет