Матрицалар және анықтауыштар Матрицалар Матрица
Ақырсыз функцияның меншіксіз интегралы
жүктеу/скачать 1,46 Mb.
|
аегеом конспект лето20 (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- Бірнеше айнымалылар функциялары
- 2 дәріс сабағы. Көп айнымалының бағыт бойынша туындысы және градиенті
- 3 дәріс сабағы. Бірнеше айнымалы функцияның экстремумы.
| 2. Ақырсыз функцияның меншіксіз интегралы
Айталық, функциясы аралығында үзіліссіз, ал нүктесінде ақырсыз болсын. -дан - ның сол жағына дейін осы функциядан алынған меншіксіз интеграл деп сол жақ шекті айтады. . Егер функциясы аралығында үзіліссіз, ал нүктесінде үзілісті болса, онда -ның оң жағынан -ға дейінгі осы функцияның меншікті интегралы деп мына оң жақ шекті айтады . Бірнеше айнымалылар функциялары Бірнеше айнымалылар функциялары туралы негізгі ұғымдар. Біз осы уақытқа дейін жоғарғы математика курсында анықталу облысы мен мәндер облысы сандар өсінің кейбір ішкі жиындары болып келген бір айнымалы функциясын қарастырдық. Бірақ практикада айнымалысы бір аргументтен асатын өзінің зерттеу ерекшеліктері бар функциялар кеңінен қолданылады. Анықтама. Екі (үш) айнымалы функция деп, анықталу облысы жазықтықтағы (кеңістіктегі) кейбір ішкіжиындар қурайтын, ал мәндер облысы нақты сандар осіне жататын, функцияны айтады. Егер жазықтығында ал өсінде жатса онда екі айнымалы функцияны мына түрде жазамыз. Егер ал , онда үш айнымалы функцияны мына түрде жазымыз.
Анықтама. Радиусы -ге тең жазықтықтағы (немесе кеңістіктегі ) нүктесінің аймағы деп центрі нүктесіндегі радиусы -ге тең шеңберсіз дөңгелекті (немесе сфеарасыз шарды) айтады. Мұндай аймақты арқылы белгілейміз. Жазықтықта мына теңсіздігімен анықталады: ал кеңістікте – . Анықтама. Егер нүктесінің радиусы -ге тең кез келген аймағы жиынымен және оның толықтауыш жиынымен қиылысатын болса, онда нүктесі жиынының шекаралық нүктесі деп аталады. жиынының барлық шекаралық нүктелері осы жиынның шекарасы деп аталады және деп белгіленеді. Анықтама. шекарасын қамтитын жиынын жабық (тұйық) жиын деп атаймыз. Бірде – бір шекаралық нүктесін қамтымайтын жиыны ашық жиын деп аталады. Мысалдар. 1) аймағы өз шекарасының бірде – бір нүктесін қамтымайды – шеңберді (немесе сфераны), сондықтан – ашық жиын. 2) теңсіздігімен жазықтықта берілген дөңгелек өз шекарасын – шеңберді қамтиды: сондықтан ол – жабық жиын. 3) Жазықтықтың ширегі мына теңсіздіктермен
анықталған және өсіндегі шекаралық бөлігін қамтиды және осінде шекараның бөлігін қамтымайды. Бұл жиын ашық та, жабық та емес. – сан болсын. функциясының деңгей сызығы деп, координаталары теңдігін қанағаттандыратын анықталу облысындағы барлық нүктелер жиынын айтамыз. Осы сияқты географиядағы биіктіктері бірдей сызықтар бейнеленеді. Олар теңіз деңгейінен жергілікті нүктенің биіктігін анықтайтын функциясының деңгей сызықтары болады. Үш айнымалы функция графигінің орнына келесі ұғымдарды пайдалануға болады. функциясының деңгей сызықтары деп координаталары теңдік қанағаттандыратын анықталу облысының барлық нүктелер жиынын айтады. Мысал. функциясын қараймыз, болғанда деңгей беттері радиусы -ға тең центрі координаталар басында болатын сфералар. болғанда деңгей беті координаталар басы болады. бұл функцияның деңгей беттері жоқ. Бірнеше айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі. Жоғарыда көрсетілген екі – үш айнымалылы функциялардың ұғымдарын айнымалы жағдайға жалғастырайық. айнымалының функциясы деп, анықталу облысы - ге жататын, ал мәндер облысы нақты өсьте жататын функцияны атайды. Мұндай функциядағы әрбір айнымалылар тобы -дан алынған, жалғыз санына сәйкес қояды. санды айнымалысы бар функцияның ең жақсы берілу әдісі – аналитикалық әдіс. Анықтама саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір үшін аймағындағы барлық үшін, осы нүктеден басқа, төмендегі теңсіздік орындалатындай саны табылса. Егер функциясының нүктесіндегі шегі болса, онда ол мына түрде белгіленеді: . Бір айнымалы функциялар үшін қарастырылған барлық қасиеттер көп айнымалы функциялар үшін де дұрыс болады. Анықтама функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер төменгі үш шарт орындалса: 1) бар болса, 2) нүктесінде функцияның мәні бар, 3) . Функцияның үзіліссіздігін келесі теореманың көмегімен зерттеуге болады. Теорема Кез келген элементар функция өзінің анықталу облысының барлық ішкі нүктелерінде (шеткі нүктелерінде емес) үзіліссіз болады. Дербес өсімшелер мен дербес туынды Бір айнымалы функциямен салыстырғанда көп айнымалылы функцияның өсімшелерінің түрлері көп болады. Бұл жағдайда жазықтығындағы қозғалыс нүктесінен әртүрлі бағыттарға қарай жүретініне байланысты. Анықтама функциясының нүктесіндегі бойынша өсімшесі -ке сәйкес бойынша дербес өсімшесі деп айтамыз: . Бұл өсімше, бір айнымалы функцияның тұрақты болғанда функциясының өсімшесі болады. Сол сияқты функциясының нүктесіндегі - бойынша өсімшесі ке сәйкес бойынша дербес өсімшесі деп мына айырманы айтамыз: . Бұл өсімше тұрақты мәнінде есептелінеді. Анықтама функциясының нүктесіндегі дербес туындысы деп осы функцияның бойынша дербес өсімшесінің, осы нүктедегі, аргументінің өсімшесі - ке қатынасын айтады: . Мұндай дербес туындылар , символдарымен белгіленеді. Соңғы жағдайда -әрпі «дербес» сөзін береді. Осы нүктесіндегі бойынша дербес туынды мына . шекпен анықталады. Бұл дербес туындының басқа белгіленулері: , . Функциялардың дербес туындысы бір айнымалы функцияның туындыларын табу ережелері бойынша табылады, дифференциалданатын айнымалыдан басқа айнымалалар тұрақты деп есептелінеді. табу кезінде турақты деп есептеледі, ал тапқанда - тұрақты деп есептеледі. Анықтама функциясының дербес туындылары бар болса, онда оның дербес дифференциалдары деп . өрнектері аталады, мұндағы . Екі айнымалы функцияның дербес дифференциалдары осы екі айнымалының біреуін тұрақты деп белгілеп алғандағы бір айнымалы функцияның дифференциалдары болып табылады. 1 теорема функциясы және оның дербес туындыларды нүктесінің кейбір аймағында үзіліссіз болсын. Онда функциясы нүктесінде дифференциалданады және оның толық дифференциалы дербес дифференциалдардың қосндысына тең: (2) Мысал функциясының толық дифференциалын табыңдар. Бұл функцияның дербес туындыларын табайық:
Бұларды (2) - ге қойсақ, онда мынаны аламыз: . Егер (1) формулдағы толық өсімшені толық дифференциалмен ауыстырсақ, онда функцияның жуықтап табу формуласын аламыз: (3). Анықтама. теңдеуімен берілген функциясын екі айнмалының айқын емес функциясы деп атайды. 4. Теорема Айталық нүктесінің маңайында функциясы және оның , , дербес туындылары үзіліссіз болсын, мұнда и , сонда
. теңдеуі нүктесінің маңайында дифференциалданатын функциясын анықтайды және оның дербес туындылары , Негізгі әдебиеттер: 1, [635-643]. Қосымша әдебиет: 17, [119-142]. Бақылау сұрақтары 1. Көп айнымалы функцияның анықтамасы. 2. Көп айнымалы функцияның дербес туындысы деген не? 3. Қандай ережелер мен формулаларды қолданып дербес туындыларды табуға болады? 4. Көп айнымалы функцияның дифференциалы деген не? №2 дәріс сабағы. Көп айнымалының бағыт бойынша туындысы және градиенті үш айнымалы функциясы берілсін. Осы функцияның нүктесінен бірлік векторының бағытымен қозғалысының жылдамдығын қарастырайық. векторын бағыттаушы косинустар арқылы анықтайық: . Бізге векторының бағыттаушысымен берілген нүктесінен өтетін түзуі параметрлік теңдеуімен берілсін. (1) бірлік вектор болғандықтан параметрінің шамасына өлшемі түзуінің бойымен ұзындығы кесіндісіне орын ауыстырғанын білдіреді, ал болса нүктесіне сәйкес келеді. Анықтама. векторы бағыты бойынша нүктесіндегі функциясының туындысы деп болғандағы түзуіндегі бойынша осы функцияның шектеу туындысын айтады. Бұл туынды мына түрінде белгіленеді. Егер бұл векторы , , базистік векторларының біреуімен сәйкес келсе, онда бұл анықтамаға сәйкес дербес туындыны береді, немесе . Егер бірлік вектор болмаса, онда дербес туындысы -мен анықталады, мұндағы бірлік вектор векторына коллинеар. функциясының векторы бағыты бойынша туындысының формуласын алайық. Ол үшін (1) деп -ті -ға қойсақ: , соңдықтан (2) Анықтама функциясының дербес туындылар-координаталары болатын вектор 2 функцияның градиенті деп аталады және былай белгіленеді: - ді градиент арқылы өрнектейтін (2)-ден басқа формуланы аламыз: (3) Кез келген векторы үшін болғандықтан, (4) Егер -ді нүктесінде есептеу керек болса, онда - да (3), (4) формулаларымен осы нүктеде есептеу керек болады. Градиенттің қасиеттері 1)өрісінің градиенті мен векторы арасында бұрышы деп белгілейік, онда (3) тегі скаляр көбейтіндіні мына түрінде жазуға болады, бұл -дың векторына проекциясы болады. Демек , векторының -ге проекциясымен дәл келеді: (4 сурет) (5) 4 сурет
2) (5) формула бойынша бағыты бойынша максимал болады, мен дәл келеді, өйткені бұл бағытта , . Сондықтан , градиент функцияның ең үлкен өсу бағытын береді, оның модулі осы бағыттағы туындыға тең. Анықтама. Функцияның әртүрлі айнымалыларымен дифференциалдауы бар дербес туындысы аралас туынды деп аталады. Екі айнымалы функциясының 2-і ретті аралас туындысы және болды. Теорема. Аралас туындылар туралы. функциясы және , , , туындылары нүктесінің кейбір аймағында үзіліссіз болсын. Онда бұл нүктеде оның аралас 2-і ретті туындылары өз ара тең болады: . Негізгі әдебиеттер: 1, [645-648]. Қосымша әдебиет: 17, [119-142]. Бақылау сұрақтары 1. Көп айнымалы функцияның анықтамасы. 2. Көп айнымалы функцияның дербес туындысы деген не? 3. Қандай ережелер мен формулаларды қолданып дербес туындыларды табуға болады? 4. Көп айнымалы функцияның дифференциалы деген не? №3 дәріс сабағы. Бірнеше айнымалы функцияның экстремумы. 1. Анықтама. функциясының максимум нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің маңайдағы барлық үшін мына теңсіздік орындалса. Егер маңайдағы барлық үшін мына , орындаслса, онда нүктесі минимум нүктесі деп аталады.. Максимум нүктесіндегі функция мәні функциясының максимумы деп , ал минимум нүктесіндегі мәні - минимумы деп аталады. Максимум және минимум нүктелері – функцияның экстремаль нүктелері деп аталады, ал максимумдер мен минимумдер - функцияның экстремумдері деп аталады. функциясы нүктесінің кейбір аймағында анықталсын. Егер нүктесінде , нольге тең болса, не анықталмаса, онда нүктесі функцияның күдікті (крезистік) нүктесі деп аталады. Келесі теорема бір айнымалы функцияның экстремумның қажетті шартына ұқсас. 1 теорема (экстремумның қажетті шарты) Егер функциясының экстремаль нүктесі болса, онда осы функцияның күдікті нүктесі болады. 2 теорема. (Экстремумның жеткілікті шарттары.) функциясы өзінің күдікті нүктесінің кейбір аймағында 3 рет дифференциалданатын болсын. , , , деп белгілейік. Онда:
1) Егер болса, онда үшін экстремаль нүктесі болады, егер болса, онда бұл – минимум нүктесі, ал гегр болса, онда - максимум нүктесі болады. 2) Егер болса, онда -нүктесінде экстремум жоқ. болғанда экстремум табу үшін қосымша зерттеулер қажет. Дәлелдеусіз. Шартты экстремумдер. Айталық функцияның анықталу облысында қисығы теңдеуімен берілсін. функцияның шарты максимум нүктесі деп аталады, егер бұл нүктенің аймағы барлық осы аймақпен -ның қиылысуынан нүктелері үшін мына теңсіздік орындалса. Осы сияқты шарта минимум нүктесі мына теңсіздікпен анықталады. Шарты максимум және минимум нүктелері шартты экстремум нүктелері, ал функциясының осы нүктелердегі мәндері шартты экстремумдар (шартты максимум не шартты минимумдер) деп аталады. функциясы теңіз деңгейінен биіктікті көрсетсе, онда бұл функциясының максимумы тау шыңына сәйкес. Егер жергілікті жерде соқпағы бар болса, онда функциясының шартты максимумын -де соқпақтағы теңіз деңгейінен ең жоғарғы биіктіктегі нүктелер сәйкес болады. Егер қисығы анықталған функция графигімен берілсе, онда функциясының шартты экстремумдерін табу бір айнымалы функцияның экстремумдерін табуға тіреледі. Мысалы. функциясының орындалғандығы экстремумын табу керек. Теңдеудң айқындалған түрде жазайық: және осыны функцияның орынына кояйық. , , . Осы бір айнымалы функцияның экстреумдерін табайық: ; болғандықтан бұл нүкте минимум нүктесі болады. функциясы нүктесінде шартты минимумге ие болады және ол мынаған тең: . Шартты экстремумдарды табу үшін Лагранж әдісі. Бұл әдіс кез келген айнымалылар саны бар және кез келген шарттар саны үшін қолданылады. Бұл шартта экстремум табу есебін айнымалылар саны көп жаңа функциядан жай экстрамум табу есебіне әкеп тірейді. Келесі мысалда біз бұл әдісті екі айнымалы функция үшін көрсетеміз. теңдеуімен қисығы анықталып және ол -тің анықталу облысында жатсын. Лагранж функциясы деп 3 айнымалының функциясын айтамыз . мұндағы –кез келген параметр. Лагранж теоремасы. және функциялары нүктесінің аймағында дифференциалданатын болсын. нүктесі функциясының шарты орындалғандағы максимум (минимум) нүктесі болады, бірақ тек қана сол жағдайда, егер кейбір үшін нүктесі Лагранж функциясының максимум (минимум) нүктесі болса.(Дәлелдеусіз) нүктесінде Лагранж функциясы экстремум мәнін қабылдасын. , функциялары үшін не білдіретінін көрейік. нүктесі функциясы үшін (күдікті) нүкте болғандықтан, экстремумнің қажетілік шарты бойынша, келесі теңдіктер дұрыс болады немесе Соңғы теңдеуі нүктесі-қисығында жататынын көрсетеді. , теңдеулері шартты экстремум нүктесінде , функцияларының градиенттері коллинеар екенін көрсетеді, немесе . Негізгі әдебиеттер: 1, [635-643]. Қосымша әдебиет: 17, [119-142]. Бақылау сұрақтары 1. функциясының нүктесіндегі локальдық максимум шартының жеткілікті шартын келтіріңдер. 2. Қай шарт орындалғанда екі айнымалы функцияның экстремумы жоқ. 3. Лагранж функциясының экстремумын қажетті шарттарын жазыңдар.
жүктеу/скачать 1,46 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|