Мазмұны І кіріспе ІІ негізгі бөлім
§4. Жазық және сфералық толқынның теңдеуі
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
Мазм?ны І кіріспе ІІ негізгі б?лім
| §4. Жазық және сфералық толқынның теңдеуі.
Толқын теңдеуі деп, тербелістегі нүктенің ығысуын оның х,у,z координаталары мен t уақыттың функциясы ретінде беретін өрнекті айтады: (х,у,z; t) (4.1) (4.1) функциясы t уақытқа қатысты да х,у және z координаталарына қатысты да периоды болуы керек. Осының периодтылығы шамасы координаталары х,у,z болғанда нүктелердің тербелісін сипаттауынан көрінеді. Координаталар бойынша периодтылық бір – бірінен z қашықтықтағы нүктелердің тербелетіндігінен шығады. Тербеліс гармониялық сипатта болады деп санап, жарық толқын жағдайындағы функциясының түрін табамыз. Оны анықтау үшін координата осьтерін х өсі толқынының таралуы бағытымен дәл келетіндей етіп бағыттаймыз. Онда толқындық беттің барлық нүктесі бірдей тербелетіндіктен ығысу х және t шамаларына ғана тәуелді болады: ( х,t) х 0 (5 – сурет) жазықтығында жатқан нүктелердің тербелісі төмендегідей түрде болсын делік: (0,t) = a cos t. х шамасының кез келген мәніне сәйкес келетін жазықтықтағы бөлшек тербелісінің түрін табайық. х 0 жазықтығының осы жазықтыққа дейінгі жолды жүріп өту үшін, толқын уақыт жұмсалады мұндағы - толқынның таралу жылдамдығы. Демек, х жазықтығында жатқан бөлшектердің тербелісі х 0 жазықтығында жатқан бөлшектердің тербелісін уақыт бойынша шамасына кешігеді, яғни мына түрде жазылады: Сонымен жазық толқынының теңдеуі былай жазылады: (4.2) (4.2) теңдеуіндегі шамасы координатасы х болатын кез келген нүктенің бірінің t уақыт мезетіндегі ығысуы болып саналады. (4.2) формуласын қорытып шығару кезінде біз барлық нүктедегі тербеліс амплитудасы бірдей болады деп санадық. Жазық толқын жағдайында бұл, егер толқын энергиясы ортада жұтылса ғана байқалады. (4.3) деп алып, (4.2) теңдеуінде тұрған фазаның кейбір мәнін белгілеп алайық. (4.3) өрнегі (t) уақыт пен фазаның белгіленген мәні берлілген мезетте жүзеге асатын орын (х) арасындағы байланысты береді. Осы өрнектен шығатын шамасының мәнін анықтап, біз фазаның берілген мәні орнын ауыстыратын жылдамдықты табамыз. (4.3) өрнегін дифференциялдап, төмендегіні аламыз: бұдан (4.4) Сонымен (4.2) теңдеуіндегі толқынның таралу жылдамдығы фазаның орын ауыстыру жылдамдығы болып табылады, осыған орай оны фазалық жылдымдық деп атайды. (4.4) өрнегін толқын жылдамдығы (4.2) оң болатындығы байқалады. Демек, (4.2) теңдеуі х шамасының өсу жағына қарай бағытталған толқынды сипаттайды. Қайсы бағытта таралатын толқынның түрі мынадай болады: (4.5) Шынында, константа (4.5) толқын фазасын теңестіріп және дифференциялдап, төмендегіні аламыз: , бұдан (4.5) толқын х шамасының кему жағына қарай таралатындығы байқалады. Жазық толқын теңдеуінен t және х шамаларына қарағанда симметриялы түрде жазуға болады. Ол үшін толқындық сан деп аталатын шамасын енгіземіз: (4.6) (2.1) және (4.6) өрнектерінен толқындық сан , дөңгелектің жылдамдық және фазалық жылдамдық арасында төмендегідей қатыс болатындығы шығады: (4.7) (4.2) теңдеуіндегі шамасын оның (4.7) қатынасындағы мәнімен алмастырып және жақшаға шамасын енгізіп, жазық толқынның теңдеуін төмендегідей түрде аламыз: (4.8) х шамасының кему жағына қарай таралатын толқынның теңдеуі (4.8) теңдеуінен мүшесіндегі таңба бойынша ғана ажыратылады. Енді сфералық толқынның теңдеуін табайық. Кез келген нақты толқын көзінің мөлшері болады. Алайда толқын көзінің қашықтығы оның мөлшерінен әлдеқайда үлкен болатын толқындарды қарастырумен шектелсек, онда толқын көзін нүктелік көз деп санауға болады. Толқын жылдамдығы барлық бағытта таралатын бірдей жағдайда, нүктелік көз тудыратын толқын сфералық болады. Толқын көзінің тербеліс фазасы шамасына тең болса деп жориық. Онда радиусы r толқындық бетте жататын нүктелер фазамен тербеледі ( r жол жүру үшін толқын r/ уақыт жұмсайды). Бұл жағдайда тербеліс амплитудасы, толқын энергиясы ортада жұтылмаған күннің өзінде, тұрақты болып қалмайды – ол толқын көзінен қашықтаған сайын 1/r заңы бойынша кемиді (82 – параграфты қараңыз). Демек, сфералық толқынның теңдеуі мына түрде жазылады: (4.9) мұндағы а – толқын көзінен бірге тең қашықтықта сан жағынан амплитудаға тең, тұрақты шама. а шамасының өлшемділігі амплитудың өлшемділігін ұзындықтың (r шамасының өлшемділігі) өлшемділігіне көбейткенге тең. Жоғарыда жасалған ұйғарым бойынша (4.9) теңдеуі r толқын көзінің мөлшерінен әлдеқайда үлкен болғанда ғана дұрыс болады. r нольге ұмтылғанда амплитудадағы арналған өрнек шексіздікке айналады. Мұндай дәйексіз х нәтиже теңдеуді r шамасының өз мәндері үшін қолдануға болмайтындығымен түсіндіріледі. жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|