Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

причём все коэффициенты алгебраического многочлена являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через . Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения . Обозначим эти делители через . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида . Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень , вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена на разность , (причём в силу следствия из теоремы Безу обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.