МҰхаммед хорезми

Геометрия - математиканың ең көне саласы, оның тарихы мыңдаған жылдарды қамтиды да, ғасырлар түкпіріне кетеді. Ал алгебраның тарихы мың жылдан аз-ақ асады, бірақ бұл бай және даңқты тарих, совет халқы мақтан ететін тарих. Алгебраның атасы - Орта Азияның ұлы ғалымы Әбу-Абдолла Мұхаммед Хорезми.

Әбу-Абдолла Мұхаммед ибн Мұса әл-Хорезми әл-Мәджуси 780 жылы шамасында Хиуада туып, 850 жылы шамасында Бағдатта қайтыс болған. Оның ныспысы, яғни фамилиясына тіркестірілген жер аты, Хорезмде туғанын көрсетеді. «Әл-Мәджуси» - «мәджус тұқымынан» деген сөз. Ислам дінінен бұрын Хорезмде зороастра діні болған, ол дінді тұтқан адамдарды арабтар мағи немесе мәджус деп атаған. Мәджус абыздарының басым көпшілігін басқыншылар қырып тастаған. Хорезмидің аталары да қуғынға ұшыраған.

Жасынан зерек және саналы болып өскен, өз отанын шексіз сүйген Хорезми жергілікті медреседе оқып сауатын ашқан, одан кейін қолына түскен кітаптарды оқып, өз бетімен білімін көтерген. Халық арасындағы аңыздар мен ертегілерді, жырлар мен дастандарды тыңдаған. Орта Азияның бір талай қалаларында болып, өзінің тарих, география, астрономия жөніндегі мағлұматтарын толықтырған. Ана тілімен қатар парсы, араб және Үндістанның ежелгі әдеби тілі - санскриті үйренген. Кейбір деректерге қарағанда ескі еврей тілін де білген. Жиырма жасында керуендерге  ілесіп, ғылым куып, Бағдатқа келген.

Хиуадағы Қалта-Минор минареті

Арабтар ғылыми астрономиямен VIII ғасырдың аяғында ғана танысқан болатын. 773 жылы Үндістаннан Бағдатқа бір көрнекті астроном-ғалым келеді. Ол арабтарға одан 150 жыл бұрын жазылған жұлдыздар кітабының санскрит тіліндегі «Синдхинд» деп аталған конспектісін береді. Бұл конспектіні Мұхаммед ибн Ибраһим әл-Фазари араб тіліне аударып шығады. Араб астрономиясы, міне осы кезден басталды. «Синдхинд» бірнеше рет өңделіп жарияланған. Хорезмидің редакциясымен ол екі рет шыкқан. «Синдхиндқа» Хорезми көлемді теориялық кіріспе жазған.

Хорезмидің өзі жазған «Астрономиялық таблицалардың» түпнұсқасы сақталмаған. Мұны 1007 жылы Әбу ол-Қасым Мәсләма әл-Мәджірити (яғни Мадрид қаласынан) деген испандық араб өңдеп жариялаған екен. Ол да сақталмаған. Бірақ осы соңғы өңделген варианттың 1126 жылы шыққан латын тіліндегі аудармасы сақталып қалған. Авторы Хорезми екендігі айтылған. Бұл кітап Ньютон мен Гершельге дейін астрономияның Европадағы негізгі құралы болып келді. «Астрономиялық таблицалар» 1914 жылы Копенгагенде неміс тілінде басылып шықты.

Хорезми Жер меридианының ұзындығын анықтау жұмыстарын да басқарды. Бұл үшін Тадмор мен әр-Раққа қалаларының аралығы өлшенді. Меридианның бір градусқа келетін доғасы 111815 метр болып шықты. Қазіргі өлшеулер бойынша бұл доға 110938 метр. Сонда дәлсіздік бір проценттен кем.

Хорезми Бағдатқа келген жас ғалымдарға ұстаздық етіп, көп қамқорлық жасайды. Әсіресе ол Орта Азиядан барғандарды құшақ жайып қарсы алады. Мәселен, Хорезмидің егде тартқан кезінде оның қарамағында Бағдатта орта азиялық ғалымдар - Мерві қаласынан шыққан Ахмед ибн Абдолла әл-Меруәзи, ферғаналық Мұхаммед ибн Кәсір әл-Ферғани, Қазақстанның Отырар қаласынан барған Ғаббас ибн Сеид әл-Жауһари тағы басқалар қызмет істейді.

Хорезми - ұлы географ. Оның «Китаб сурәт әл-ард» - «Жер түрлері жайындағы кітабы» араб географиясының негізгі арқауы болды. Бұл еңбектің де түпнұсқасы сақталмаған, дүние жүзінде XI ғасырда жазылған жалғыз ғана арабша көшірмесі бар. Көшірме 1878 жылы табылған, оны 1926 жылы чех географы Мжик бастырып шығарған.

«Жер түрлерінде» сол кездегі белгілі жерлер мен мемлекеттер, таулар мен теңіздер, ірі өзендер мен көлдер, олардың табиғи сипаттары баяндалған. Жер беті ауа райына карай әр түрлі бөліктерге бөлінген. Кітапта 4 карта бар (әуелде нешеу болғаны белгісіз). Мұнда Азов теңізі бассейнінің картасы ерекше орын алады: картаның солтүстігі, осы күнгідей, чертёждің үстіңгі жағына келтірілген. Автор әр түрлі жерлерді арабша жаза отырып, олардың жергілікті тілдерде және парсыша қалай аталатынын да ескертіп отырады.

Арабтардың географиялық түсініктері алғаш рет құранда келтірілген болатын (ол 650 жылы шамасында жазылған). Ондағы мағлұматтар әйгілі грек ғалымы Клавдий Птолемейдің (біздің эрамыздан бұрынғы 147-70 жылдар) еңбектерінен алынған. Птолемейден Хорезмиге дейінгі мың жыл ішінде географияда бір талай жаңа ұғымдар пайда болды, жаңа жерлер табылды. Құранға қайшы келуден, кемшіліктерін көрсетуден қорықпастан, Хорезми жаңа мәліметтерді өз географиясына батыл енгізді. Бұл іс ұлы ғалымның ғылыми ерлігі болып саналады.

Бір деректер бойынша 70 географ Хорезмидің басшылығымен үлкен атлас жасаған. Бірақ ол сақталмаған. Хорезми шет елдерге бірнеше рет саяхат жасаған. Бізге әзірше белгілілері Волга бойы мен Византияға барған экспедицияға қатынасуы.

Кавказ жотасының солтүстік баурайынан Волга сағасына дейінгі алапта тіл жағынан ежелгі түркілерге жақын халық - хазарлардың мемлекеті болған. Хазарлардың әкімі «тархан» Волга бойында, Итіл қаласында тұрған. Итілдің жұрты Астраханьнан солтүстікке қарай 15 километр жерде. Волганың қазақша және татарша «Еділ» деген аты осы «Итілден» шыққан. Бағдат патшасы тарханға елшілік жіберген. Елшілікті бірнеше тіл білетін, түркілердің әдет-ғұрыптарымен таныс, географ және этнограф Хорезми басқарған. Волгадан қайтқаннан кейін Хорезми Византияға саяхат жасаған. Құранда айтылған бір аңыз бойынша Византияда, Эфес деген жерде бір үңгір бар. Сол үңгірде «алланың әмірімен» жеті бала баяғыдан бері ұйықтап жатыр-мыс. Олар «тұрмайды, тамақ ішпейді, өлмейді». Осыны тексеріп, анық-қанығына жету Хорезмиге тапсырылады. Бармай, үйде отырып, құран сөзін «бекер» деуге мүмкіндік таппаған қарт ғалым Эфес экспедициясын басқаруға мәжбүр болады. Бұл саттардан: «үңгірде бала түгіл, тышқан да жоқ, әншейін былшыл сөз» деген қорытынды жасап қайтады.

Хорезми тарихтан, этнографиядан, медицинадан, календарьдан, күн сағаттарының теориясынан да кітаптар жазған. Олардың көпшілігі біздің дәуірімізге жетпеген. Календарь жайындағы кітабы бертін табылған, ол 1940 жылы араб тілінде «Истихрадж тарах әл-яхуд» деген атпен Үндістанның Хайдарабад қаласында басылып шыққан.

«Алгоритми айтады...»

Хорезмидің даңқын дүние жүзіне жайған, есімін тарихта мәңгі қалдырған еңбектері - математикалық шығармалары. Бұлардан бізге жеткені екі кітап: «Китаб әл-джәм уә-т тафриқ би-хисаб әл-үнді» - «Үнділер есебі бойынша қосу мен азайту кітабы» және «Әл-Китаб әл-мұхтасар фи хисаб әл-джәбір уәл-мүкәбәла» - «Әлджәбір мен уәлмүкәбәла есебі жөніндегі қысқаша кітап». Біріншісінде арифметика, екіншісінде алгебра баяндалған. Алдымен Хорезмидің арифметикасына тоқталайық.

Хорезмидің арифметикалық трактатының латын тіліндегі текстінің бірінші беті

Хорезмидің арифметика негізіне «үнділер есебін» алуы кездейсоқ емес. Санаудың үнділер шығарған он цифрлы позициялық системасы адамзат тарихында ұлы жеңіс болып табылады, ол электрдің табылуы, атом энергиясының ашылуы сияқты ғылыми жаңалықтармен қатар орын алады.

Қазір халықтардың басым көпшілігі сандарды он таңба арқылы, атап айтқанда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және 0 цифрлары арқылы жазады. Әр таңбаның өзіне лайықталған тиянақты мәні бар, мәселен 2 цифры мен 6 цифры бірдей емес. Мұнымен қабат әр цифрдың атқаратын қызметі тұрган орнына да тәуелді болып отырады: 1962 санында 2 - жай екі, 6 - жай алты емес, алты он - алпыс, 9 жай тоғыз емес, тоғыз жүз. Санның мәнін цифрдың орнымен байланыстыру әдісі позициялық принцип деп аталады («позиция» - латынша «орын» деген сөз). Позициялық принципті вавилон математиктері тапқан, бірақ олар алпыс түрлі шифр арқылы жазған. Рим цифрлары да қолдануға қблайсыз: үндіше жазылған 3834 санын римше жазсақ МММДСССХХХІV болады. Сонда үндіше төрт цифрмен жазылған сан римше он екі цифрмен көрсетіледі. Ондық системаның есеп жұмысын оңайлататындығы және мәдениет пен техниканы өркендетуге жол ашатындығы даусыз. Ол болмаса, рим немесе вавилон цифрларын пайдалансақ, спутниктер мен космос корабльдерін айтпағанның өзінде, тракторды да жасай алмас едік.

Ондық системаға біз жасымыздан дағдыланамыз, тіпті бірінші класта-ақ меңгеріп шығамыз. Орта ғасырларда рим цифрларын пайдаланған математиктер арифметиканы он бес жыл оқитын. Римше төрт амалға келтірілетін есептерді шығара білген адамдар ғана профессор болатын. Юрий Гагарин мен Герман Титовтың космос жолымен жарты сағатта неше километр ұшқанын римше есептеп көріңіз! Позициялық ондық система жөнінде француздың ұлы математигі, космостың математикалық теориясын алғаш жасаушылардың бірі, «Аспан механикасы» атты бес томдық еңбектің авторы Пьер Лаплас (1749-1827) былай деп жазған болатын: «Барлық сандарды азын-аулақ таңбалар арқылы, ол таңбаларға түрлеріне қарай мән берумен қатар, орындарына қарай да мән бере отырып өрнектеу - еске келмейтін аса қарапайым ой, міне осы қарапайымдылықтың салдарынан оның соншалық таңырқарлық терең ой екенің бағалау қиын. Біз грек ғылымының асқан данышпандары Архимед пен Аполлонийдан жасырын қалу мысалынан ондай ойға келудің қандай қиын болғандығын айқын көреміз». Бұл арада Лапластың айтқанына сөз қосудың қажеті жоқ.

Позициялық системада ноль аса маңызды роль атқарады. Нольсіз қалған тоғыз таңба система құра алмайды. Ол біздің эрамыздан 200 жыл бұрын Үндістанда қолданылып, «шунья» деп аталған, мағынасы - «ешбір зат жоқ», «бос орын» дегенді білдіреді. «Бос орын» араб тіліне «әс-сифр» деп аударылған. «Цифр» деген сөз осыдан шыққан. «Цифр» деп қазір сан таңбаларының бәрін де айтады, әуелде нольді ғана айтатын еді. «Ноль» - латын сөзі, мағынасы - «ешқандай» (сан емес), «нулля фигура» дегеннен шыққан.

Хорезми арифметикасын үнділердің үлгісімен жазған. Онда санау тәртібі, сандардың он цифр арқылы жазылуы, аталуы, негізгі төрт амал, тубір шығару, жай бөлшектерді есептеу айтылған. Материал біртіндеп қиындан отырады. Амалдардың анықтамалары келтіріледі. Қосу - санау нәтижесі. Азайту - қосуға кері амал. Көбейту - қосудың бір түрі. Бөлу - көбейтуге кері амал. Бөлшек есептері бүтін сандар арқылы шығарылады. Арифметика осы ретпен баяндалады.

Қазіргі бастауыш арифметика, негізінен алғанда, Хорезмидің арифметикасына ұқсас. Бертін қосылған жаңа материалдар мыналар ғана: процент, пропорционал бөлу және ондық бөлшектер. Хорезмидің кітабындағы екі амал шығып қалған: қосарлау - екіге көбейту мен жару - екіге бөлу амалдары. Бұлар осы күні өз алдына қарастырылмайды, жалпы көбейту мен бөлу амалдарының құрамына кіреді.

Мұнда 247 әуелі 6-ға, содан кейін 5-ке, ақыры 8-ге көбейтілген. Әр жолы шыққан сандар оңға қарай бір орын жылжытылып жазылған. Бұл шынында да тиімді әдіс. Маман есепшілер осылай көбейтеді. Өйткені көбейтіндінің ең маңызды, ең жауапты цифрлары - мыңдар, миллиондар өзгелерінен бұрын, адам жалықпай тұрғанда табылады. Есепші жаңылып кетсе, қателік тек төменгі разряд цифрларында ғана болады. Көбейтудің осы күнгі оңнап солға қарай жылжытылып жазылатын әдісі XV ғасырда шыққан. Итальян математиктері Проздочимо Бельдоманди (1380-1428) мен Лука Почиоллидің (1446-1514) кітаптарында көбейтудің алты түрлі жолы келтірілген. Бұлардың ішінде солға жылжытып жазу әдісі де бар. Осы күнгі әдісті практикаға енгізіп, насихаттап, ол жөнінде арнайы кітапта жазған ғалым неміс математигі Адам Ризе (1492-1559) болатын.

Хорезми арифметиканың ірге тасы етіп үнділер әдісін алды. Бірақ бұдан «Хорезми даярға ие болды» деген қорытынды шықпайды. Қабырға қаланбаса, төбесі жабылмаса, шатыры орнатылмаса, ірге тастың құны шамалы болатындығы мәлім. Сондықтан Хорезмидің арифметиканы дамытуда зор еңбек сіңіргендігін ашып айту қажет. Хорезми аудармашы немесе көшіруші емес, жаңаны жасаушы. Белгілі неміс математигі Герман Ганкель (1839-1873) тарихи талдау нәтижесінде Хорезмидің арифметикасы сияқты кітап үнділерде де, гректерде де болмағандығын дәлелдеді. 773 жылы Бағдатқа үнді астрономының келгендігі жоғарыда айтылды. Ешбір араб одан үнді арифметикасын үйреніп, кітап жазған емес. Бағдатқа Хорезми үнді ғалымы өлгеннен кейін келген. Хорезмидің үнді арифметикасынан алғаны он цифр мен позициялық принцип қана. Олар жөнінде ғалым Орта Азияда жүрген кезінде-ақ хабардар болса керек.

Арабтар жаңа арифметиканы Хорезмидің кітабынан үйренді. Бертін арабтардың өз арасынан да қабілетті математиктер шыға бастады. Олар Хорезмиді ұстаз тұтып, соның ізімен жүрді. Европа халықтары арифметиканы арабтардан үйренді. Арифметиканы меңгеру европалықтарға оңай болған жоқ. Олар көпке дейін үнді әдісін түсінбей жүрді, арифметиканы сиқырлы адамдар ғана оқи алатын керемет деп есептеді. Қазір әскери мағлұматтар келтірілетін құпия жазуды шифр дейді. Оны сол шифрды жасаған адамдар ғана түсінеді. Бұл сөздің әуелгі тегі - «цифр». Алғашқы кезде европалықтар үнді цифрларын түсінбей, оларды құпия жазу деп ойлаған.

Содан «шифр» сөзі шығып, европа тілдеріне таралып кеткен. Ағылшын тілінде «шифер» сөзінің осы күні де үш мағынасы бар: цифр, ноль және шифр - құпия жазу.

Европа халықтарынан жаңа арифметиканы алғаш үйренгендер - испандықтар, содан кейін итальяндар мен француздар. Орта ғасырларда Испанияны арабтар билеген болатын. Ғалымның арабша «әл-Хорезми» деген фамилиясы латын, грек, испан, итальян, француз тілдерінде айтқанда «Алгоризмус», «Альхоризмус», «Алькарезмус», «Альховаризмус», «Альгоритмус», «Алгоритми» болып, мүлде өзгеріп кеткен. Арифметиканы Хорезми үлгісімен жазған авторлардың кітаптары «Алгоритми айтады» деп басталатыны сондықтан. Арифметика ережелері «алгоритм ережелері» немесе қысқаша «алгоритм» деп аталған. Европа тілдерінде «тм» мен «фм» ауыса береді, мысалы: математика - математика, арифметика - аритметика, логарифм - логаритм. Сол себепті «алгоритм» орнына «алгорифм» деп те айтылады. Қазіргі математикада бір санды немесе функцияны табуда қолданылатын тұрақты ереже алгорифм деп аталады. Бұл Хорезмидің ныспысынан шыққан термин. XV-XVI ғасырларда Испания мен Италияда «Алгоритми ережелерін» өлеңмен баяндаған ақын математиктер болған. Соңғы ғасырларда «алгорифм» сөзі түпкі мағынасынан айырылып, жалпы есімге айналып кеткен. «Евклид алгорифмы», «Штурм алгорифмы» сияқты терминдер шыққан. «Алгорифмның» өзі түсініксіз болып қалған. Оның Хорезмидің фамилиясы екенін 1849 жылы француз ғалымы Жан Рейно (1806-1863) анықтаған.

Әлджәбір мен уәлмүкдбәла

Хорезми еңбектерінің дені осы алгебра жөнінде жазылған. Оның толық аты жоғарыда келтірілді. Бізге жеткені түпнұсқадан 1342 жылы көшірілген арабша қолжазбасы. Ол Оксфорд университетінің кітапханасында сақталған. Европа тілдерінде кітаптың көптеген аудармалары мен конспектілері бар. Аудармаларының құндылары 1145 жылы Роберт Честер деген ағылшынның және 1160 жылы шамасында Герардо Кремона деген итальянның латын тілінде бастырған нұсқалары. Роджер Бэкон, Альберт Легран, Леонардо Фибоначчи, Вильгельм де Лука, Ион де Мурис, Адам Ризе тағы басқалар Хорезми кітабын насихаттап, түсіндірмелер жазған. Адам Ризе өзінің 1524 жылы жазылған «Алгебрасында» былай дейді: «Әрі сан ғылымына, әрі есеп өнеріне жетік бір ғалым арабтың «Алгебр мен әлмүкәбал» деген кітабы бар. Ешбір ғалым одан әлі асқан емес, келешекте де одан асатын ғалымның тууы екі талай». Орта ғасырларда алгебрадан жазылған кітаптардың көпшілігі «Алгоритми айтады» деп басталып отырады, оларда Хорезми кітабындағы есептер мен мысалдар қайталанады. Хорезмидің алгебрасы латын тілінде ақырғы рет 1550 жылы шықты, оны Тюбинген университдаінің профессоры Иоган Шейбль бастырып шығарды. Бұрын Европа университеттерінде математика латын тілінде оқытылатын. Кеплер, Галилей, Торичелли, Паскаль, Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли, Эйлер тағы баскалар бәрі де осы Хорезми кітабын оқыған.

Хорезми алгебрасының Оксфорд университетіндегі негізгі нұсқасын 1831 жылы Петербург университетінің шығыс тілдері профессоры Ф.Розен Лондонда бастырып шығарған.

Алгебралық еңбегін Хорезми 830 жылы шамасында жазған. Кітап сол кездегі дәстүр бойынша жоғарыда айтылған Мамун патшаға арналған. Көздеген мақсатын алғы сөзінде автор былай баяндайды: «Мен азаматтардың мұра бөлгенде, артына өсиет қалдырғанда, ...сауда келісімдерінде және жер өлшеу, каналдар қазу, сан өнері сияқты әр түрлі жұмыстарда зәру болып жүргенін ескеріп, қалпына келтіру мен қарсы қою есебі жөніндегі осы қысқаша ғылыми кітапты жазуға тәуекел еттім».

Кітап үш бөлімнен құралған: 1) теңдеулерді шешу жолдары, 2) өлшеу және геометриялық есептерді шығару, 3) адамның өлер алдында өз мүліктерін жақындарына қалдыру жайындағы өсиеттері.

Қазір айтарлықтай маңызы болмағанымен, ерте кезде мұраны бөлу есептері қоғам өмірінен елеулі орын алған. Үй қожасы өлгенде оның мал-мүлкін әркім талап әкетуден сақтау үшін, балаларына, әйеліне, ата-анасына дұрыс және әділ бөліп беру үшін есептеу қажет болған. Есеп қабылданған ережелер бойынша жүргізілген. Ондай ережелер арабтар мен парсыларда осы күні де бар. Революциядан бұрынғы қазақтардың барымтасы, мұраға таласуы, жер мен жесір дауы осындай ережелер бойынша шешіліп келген. Мысал ретінде Семей облысының қазақтары үшін 1885 жылғы Қарамола съезінде қабылданған ережелерді алуға болады. Ережелердің аяғына Абай қол қойған, ол осы ережелерді жасаған комиссияның председателі болған. «Қарамола ережелерінде» мынадай нұсқаулар бар:

«Егер ері өлген әйел, баласы бар болса да, жоқ болса да, екінші күйеуге тимей отырса, ерінен қалған барлық мал мен мүлікке өзі ие болады.

Қалыңдық өлгенде балдызы жездесіне тимесе, қыз әкесі алған қалың малын күйеуге қайтарады».

Қазақтың халықтық математикасында мұраны бөлу жөнінде ертеден келе жатқан мынадай бір аңыз бар:

«Бір адам үйі баласына 17 жылқы мұра қалдырып, дүние салған. Тұңғышына жартысын, ортаншысына үш-тен бірін, кенжесіне тоғыздан бірін өсиет еткен. Бұлар үлестерін бөлісе алмай, дағдарып отырғанда бір арық атты жолаушы кездеседі. Жолаушы өз атын әлгі жылқыға қосып жіберіп, «Енді үлестеріңді ала беріңдер!» дейді. 18 жылқыдан тұңғыш баласы 9, ортаншысы 6, кенжесі 2 жылқы алып, бітіседі. Жолаушының арық аты артық қалады. Мұның мәнісі қалай?».

Шешуі. Өсиеттің шарты дәл емес. Дұрысы: он жетіден 9, он жетіден 6, он жетіден 2 үлес болуы керек.

Хорезми кітабының үшінші бөлімі осындай есептерден құралған.

Кітаптың екінші бөлімі геометрияға арналған. Онда кесінділерді, аудандарды және көлемдерді өлшеу, үш-бұрыштар мен төртбұрыштардың түрлері, шеңбер мен дөңгелек қарастырылған. Кеңістіктегі фигуралардан призма, пирамида, цилиндр, конус, қиық пирамида мен қиық конус айтылған. Шар жоқ. Анықтамалар, теоремалар, мысалдар келтірілген. Материал грек геометриясының ізімен жазылған. Орта ғасырлардағы инженерлердің геометриялық білімдері осында келтірілген мағлұматтардың көлемінде болып келді.

Алгебралық материал кітаптың бірінші бөлімінде. Бұл бөлім алгебраның негізгі курсы болып табылады. Хорезми тұрғысынан алғанда, алгебра - теңдеулер жайындағы ғылым.

Тарихта белгілі ең көне теңдеу ежелгі Мысырдың бұдан 4000 жыл бұрынғы бір жазуыңда кездеседі. Онда белгісіз «хау» деп аталған, мағынасы - «үйім» немесе «бір топ зат». Бертінірек вавилон, үнді, қытай, грек кітаптарында да бірен-саран теңдеулер көріне бастайды. Бірақ Хорезмиге дейін теңдеулер математикадан елеулі орын алмаған, кездейсоқ, шалағай ұғым болып келген. Сондықтан Хортшиге дейін алгебра ғылымы болмаған.

Теңдеулерді Хорезми жүйелі түрде қарастырады. Ол бірінші және екінші дәрежелі тендеулердің толық теориясын жасап, алгебраны математиканың дербес және үлкен саласына айналдырады. Мұның нәтижесінде алгебра жеке пән ретінде жалпы математикадан бөлініп шығады.

Хорезмише, сызықтық теңдеулер - квадрат теңдеулердің дербес түрлері. Ал квадрат теңдеулер жалпы алғанда төмендегідей алты топқа бөлінеді:

ахх = вх,            ахх = с,   ах = с,

ахх + вх = с, ахх + с = вх,       вх + с = ахх.

Автор бұлардың әрқайсысының шешу жолдарын сарқа баяндайды да, тиісті мысалдармен түсіндіріп отырады.

Хорезми: теңдеудің бос мүшесін сан немесе дирхем, белгісізді «шай» немесе «жүзір», белгісіздің квадратын «мал» дейді.

Кітапта арифметика мен геометрияның ондаған күрделі есептері теңдеу арқылы шығарылып көрсетілген.

Теңдеуді шығаруға қолдану үшін Хорезми екі ереже ұсынады: бірі - «әл-джәбір», екіншісі - «уәл-мүкәбәла». Мысал үшін,

8х - 24 = 3х - 4

теңдеуді шешу қажет болды делік. Бұл үшін теңдеудің екі жағына әуелі 4, содан кейін 24 қосамыз. Сонда әлгі теңдеу

8х + 4 = 3х + 24

болады. Бұл - «әл-джәбір» тәсілі. Енді теңдеудің екі жағынан әуелі 3+ содан кейін 4 санын шегереміз. Мұның нәтижесінде соңғы теңдеу

5х=20

Батыстағы арабтар «дж» орнына көбінесе «г» дыбысын айтады. Соның салдарынан «әл-джәбір» сөзі «әлгә-бір» болып кеткен. Мұны европалықтар XIV ғасырдан бастап «алгебр» дейтін болған. Осыдан қазіргі «алгебра» атауы шыққан. «Алгебраист» сөзі Европада ұзақ уақыт «қалпына келтіруші», «сынықшы», «мертіккен адамның сынған я шығып кеткен сүйегін орнына салушы» деген мағынада қолданылған. Атақты испан жазушысы Сервантестің (1547-1616) «Дон-Кихот» атты әйгілі романының екінші бөлімінде Дон-Кихот өзінің ерегіскен Самсон деген адамын сойылмен соғып, аттан ұшырып тусіреді. Самсон мертігіп, тырп ете алмай сұлқ жатады. Ақыры Дон-Кихот оны аяп кетіп, жәрдем көрсетерлік алгебраисты тауып әкеледі. Романның испан тіліндегі түпнұсқасында осылай делінген. «Дон-Кихогтың» орыс тілінде шыққан алғашқы басылуларында да солай, тек соңғы басылуында ғана «сынықшы әкелді» делінген.

«Әл-джәбір» сөзінің нақты мағынасын арабтардың да көпшілігі түсінбеген, ол араб сөзі емес. Мұның мағынасы «қалпына келтіру» екенін Сириядан шыққан араб математигі Бехаэддин әл-Әмули (1547-1622) анықтаған. Қазіргі кейбір зерттеулер бойынша «әлджәбір» - ежелгі ассирия тіліндегі «джәбір» деген сөздің араб тіліне сәйкестендірілген түрі. «Джәбір» ассирия тілінде екі заттың теңдігін айтатын сөз.

Хорезми кітабының басты ерекшелігі - түсініктілігі, өмірмен, практикамен байланыстылығы. Грек математиктері өз кітаптарын көбінесе білімді адамдарға арнап жазатын, тұрмыс есептерін қарастырмайтын, «өнері жеткендер ғана түсінсін» дейтін. Платонның: «Бұл үйге геометрияны білетіндер ғана кірсін!» деп есігіне жазып қоюы сондықтан. Үйді ғалымдарының да көпшілігі математиканы өмірден аулақ ұстаған. Олар математикамен шұғылданғанда алдымен жиын-тойларда айтысу мен білімді адамдардың ермек етуін көздеген. Үнді математиктерінің шахмат ойынын шығару себебі де сол. Хорезми математикаға практика тұрғысынан қарайды, оны еңбекті жеңілдетудің және мәдениетті өркендетудің айбынды құралы деп есептейді. Теорияны толық түсіндіріп, оқушысына қамқорлық жасап отырады. Сондықтан Хорезми математик қана емес, ірі педагог - дарынды мұғалім және тәрбиеші.

Содан бері он бір ғасыр уақыт өтті. Хорезми көзін ашқан алгебра бұлағы арнаты толып, арқыраған өзенге айналып, алты қырдан асып кетті. Қазір мәдениетке қолы жеткен халықтардың бәрінде де алгебра бар. Үлкен алгебра бір күнде жасала қойған жоқ, оны дамыту жолында Шығыс пен Батыстың ұлы ғалымдары мың жыл бойы талмай еңбек етті. Олардың ішінде тың көтеріп, аса зор үлес қосқандар: қазақ математигі Ғаббас Жауһари (IX ғасыр), тәжік математигі Омар Хайям (1040-1123), азербайжан математигі Насыреддин Туси (1201-1274), өзбек математигі Ғиясэддин Кәши (1385-1456), орыс математиктері Леонард Эйлер (1707-1783) мен Николай Лобачевский (1792-1856), неміс математигі Карл Гаусс (1777-1855), француз математигі Эварист Галуа (1811-1832) тағы басқалар бар.

Орта ғасырларда Орта Азияда туып, Орта Шығыста тұсауы кесілген алгебра қазір кемеліне әбден келген, ол жер жүзін түгел аралап, өз Отанымызға қайтып оралған. Біздің алгебрамыз - бейбітшілік пен достықтың, автоматтар мен спутниктердің алгебрасы, коммунизм алгебрасы. Сондықтан да өз халқымыздан шыққан ұлы азамат, жалынды патриот, данышпан ғалым Хорезмидің ұмытылмас есімін зор кұрметпен атаймыз, сүйіспеншілікпен еске алып, мақтан етеміз.