Омар Хайямның математикалық еңбектері

Омар Хайям елу шақты кітап жазған, олардың көпшілігі бізге жетпеген. Замандастарының айтуы бойынша, Хайямның тұңғыш еңбегі - «Арифметиканың қиын мәселелері», онда сандардан кез келген бүтін оң дәрежелі түбірлер шығару жолдары көрсетілген. Мұндай түбірлерді шығару үшін Ньютон биномының ережесін білу керек. Демек, Хайям бином теоремасын Ньютоннан (1643-1727) бұрын тапқан. Бұл кітаптың нұсқасы сақталмаған.

Алгебра мен әлмүкәбәла ілімінің негізін салушы Хорезми (780-850) болғаны мәлім. Хорезмиден Хайямға дейінгі екі ғасыр ішінде бұл ілім кең жолға шыға алмай, алғашқы қалпында қалды, бірен-саран авторлар оны әрі дамыту орнына тек түсіндірумен ғана қанағаттанды. Алдымен алгебраның қандай ғылым екендігі жөніндегі анықтама мен оның арифметикадан айырмашылығын сипаттайтын тұжырым болмады. Алгебраның Хайямға дейінгі тірегі баяғы «Хорезми айтады» ғана болып келді. Бұл ғылымды жүйелі түрде баяндау, оның арифметикамен аралығындағы жігін ашу және күн тәртібіне кезектегі мәселелерді қою Омар Хайямның үлесіне тиді.

Сөзді ғалымның езіне берейік.

«Алгебра мен әлмүкәбәла өнері, - дейді Омар Хайям, - ғылыми өнер, оның зерттейтін пәні - абсолюттік сандар мен өлшенетін шамалар, әдетте бұлар белгісіз болады: Бірақ бір белгілі нәрсеге байланыстырылып берілетіндіктен, оларды анықтауға болады. Бұл нәрсе деп отырғанымыз басқа ешнәрсеге байланыстырылмайтын сан немесе қатынас болып табылады. Сен оның мағынасына әбден түсінуге тиіссің. Бұл өнер белгісіз нәрсені берілген шарттармен байланыстырып, араларындағы тәуелділіктерді табуды мақсат етеді.

Шамалар, яғни үздіксіз сандар төрт түрлі болады: сызық, бет, дене және уақыт... Алгебра есептерінде уақытты көбінесе қарастырмайды, бірақ қажет бола қалса, оны қарастырудың ерсілігі жоқ.

Әдетте алгебраистер өз өнерлерінде табылуға тиісті белгісізді нәрсе дейді, оның өзіне өзінің көбейтіндісін квадрат дейді, квадраттың өзіне көбейтіндісін куб дейді...

Естеріңізде болсын, бұл кітапты тек Евклидтің «Негіздер» және «Берілген шамалар» атты шығармаларын, сонымен қатар Аполлонийдің «Конустық қималарының» алғашқы екі кітабын жақсы білетіндер ғана түсіне алады. Бұл екі жолдың бірінде тосқауылға кездескен оқушылар кітапты меңгере алмайды...

Есептердің алгебралық шешулері теңдеулер арқылы, басқаша айтқанда әр түрлі дәрежелерді біріне бірін теңдестіру арқылы жүзеге асырылады».

Бұл үзіндіні, ұзағырақ болса да, кедтіруді қажет деп таптық, өйткені онда алгебра бірсыдырғы толық сипатталған. Ғалымдар алгебраны XX ғасырға дейін осы Хайям айтқан мағынада түсініп келді.

Сандар мен үздіксіз шамаларды баяндағанда Хайям Аристотель мен Фарабидің еңбектеріне сүйенген.

Евклид (біздің заманымыздан бұрынғы 330-275-жылдар шамасы) - гректің ұлы математигі, басы құралмай таралып жүрген әр түрлі тәжірибелік ережелерді жинақтап, бір жүйеге келтіріп, геометрияны нақты ғылымға айналдырған ғалым. Ол 13 кітаптан кұралған «Негіздер» атты әйгілі шығарма жазған. «Негіздер» бүкіл геометрияның көзі болып табылады. Аполлоний (біздің заманымыздан бұрынғы 250-200-жылдар шамасы) - гректердің Евклид пен Архимедтен кейінгі ұлы математигі. Оның 8 кітаптан құралған «Конустық қималары» шеңбер, эллипс, парабола, гипербола деп аталатын қисық сызықтардың қасиеттерін зерттеуге арналған.

Сонымен, Омар Хайямның түсіндіруінше, алгебра - алгебралық теңдеулерді шеніу жолдарын зерттейтін ғылым. Белгісіз санның дәрежесіне қарай теңдеулер бір дәрежелі, квадрат, куб, төрт дәрежелі т. с. с. теңдеулер деп аталады.

Бір дәрежелі теңдеулер көбінесе арифметикалық амалдар арқылы шешіледі. Оларды ежелгі мысырлықтар, вавилондықтар, қытайлықтар, үнділер шығара білген. Квадрат теңдеулердің, яғни екінші дәрежелі теңдеулердің сызықтар арқылы шешу жолын - шешудің геометриялық әдісін Евклид көрсеткен, ал алгебралық әдісі Хорезмидің кітабында айтылған болатын. Үшінші дәрежелі - куб теңдеулердің кез келген түрін шығарарлық математик Хайямға дейін болған емес. Оның өшпес еңбегі кез келген куб теңдеуді шешу жолын табуында. Теңдеулерді Хайям 25 түрге бөліп, әрқайсысының қалай шығарылатынын айтады. Евклид квадрат теңдеулерге түзу сызық пен шеңберді қолданған болатын. Хайям куб теңдеулерге эллипс, парабола, гипербола сызықтарың да қолданады. Сызықтардың өзара қиылысу нүктелері теңдеудің түбірлерін анықтайды.

Теңдеулер мен сызықтарды байланыстыру жемісті болып шықты. Бұл әдісті тереңдетудің нәтижесінде француз математиктері Р. Декарт (1596-1650) пен П. Ферма (1601-1665) аналитикалық геометрияның іргесін қалады.

Хайямның еңбектері үшінші, төртінші, бесінші дәрежелі теңдеулерді сызықсыз, алгебралық жолмен, шешу тәсілдерін табуды күн тәртібіне қойды. Кез келген куб теңдеуді шешудің алгебралық әдісін итальян математиктері С. Ферро (1465-1526) мен Н.Тарталья (1499-1557) тапты. Төрт дәрежелі теңдеуді итальян математигі Л. Феррари (1522-1565) шешті. Норвегия математигі Н. Абель (1802-1829) егер оңай шығатындай етіліп, коэффициенттері алдын ала сұрыпталып берілмесе, бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулердің дәл алгебралық әдістермен мүлде шешілмейтіндігін дәлелдеді. Теңдеулерді зерттеу қазіргі математиканың үлкен салаларының бірі - группалар теориясын тудырды.

Араб тілінде жазылған, бұл кітап «Рисәләт әл-хаким әл-фадил Ғиясэддин Әбілфатих Омар ибн Ибраһим әл-Хайями ән-Нишапури фил барахин әла мәсаил әлджәбір уәл мүкәбәла» деп аталады. Арабтар арқылы Еуропа елдеріне тараған. Парижде екі, Лейденде бір данасы сақталған. Бұларды зерттеп, француз ғалымы В. Вепке 1851 жылы араб және француз тілдерінде жариялаған. Кітаптың соңғы жолында: «Бұл еңбек... жылғы алғашқы рәби айының 23-нде, жексенбі күні түс кезінде аяқталды» делінген. Жылы түсініксіз болып өшіріліп кеткен. Есептеп шығарғанда автордың кітапты жазып бітірген уақыты 1071-жылғы 19-желтоқсан болады.

Хайямның геометриялық еңбегі - «Рисәлә фи шарх мә ашқал мін мусәдирәт китаб Үкілидас, сәләс мақалат, тасниф аш-шайх, әл-имам әл-аджалл хұджат әл-хаққ Әбілфатих Омар ибн Ибраһим әл-Хайями» - «Евклид кітабындағы қиын постулаттарға түсіндірмелер, даңқты шайх және имам Әбілфатих Омар ибн Ибраһим Хайямның шығармасы». Кітаптың соңғы жолында мынадай мағлұмат келтірілген: «470-жылы, алғашқы джұмаданың ақырында аяқталды, Минахтың кітапханасында, ақ қағазға қара сиямен түсірген шайх имам Омар Хайям». Сонда жазылып біткен уақыты 1077-жылғы желтоқсан айының ортасы болады.

Евклид геометрияны дәл ғылым ретінде құрғанда (Евклид арабша - Үкілидас), кейбір негізгі үғымдар мен дәлелденбей қабылданатын ұйғарымдарға сүйенді. Солар арқылы теоремаларды дәлелдеп, теоремалар арқылы фигуралардың математикалық қасиеттерін сипаттап отырды. Дәлелденбей қабылданатын үйғарымдар аксиомалар деп аталады. Аксиомалардың саны мүмкіндігінше аз болу керек, өйткені олар дәлелденбегендіктен күдік тудырады.

Евклидтің XI аксиомасының мазмұны мынадай:

«а түзуінен тысқары жатқан А нүктесінен осы нүкте мен түзу анықтайтын жазықтықта жатып, а түзуіне параллель болатын бір ғана түзу жүргізуге болады».

Бұл аксиома көбінесе Евклидтің бесінші постулаты делінеді. Бесінші постулат аксиома ретінде алынғанымен, ішкі мазмұны жағынан теорема сияқты, қалған он аксиомадай көділге оп-оңай қона қоймайды, шүбәландырады. Бұл жайды Евклид өзі де аңғарған, сондықтан аксиомалар тізімінің аяқ жағына қойған, 28 теореманы дәлелдегенше пайдаланбаған. Мұны байқаған Евклидтен кейінгі математиктер бесінші постулатты теорема ретінде дәлелдеуге талаптанған.

Бұл мәселемен грек математиктері Птолемей (біздің заманымыздан бұрынғы 147-70-жылдар) мен Прокл (410-485) шұғылданған. Араб тілінде жазған авторлардан бесінші постулатты тұңғыш рет зерттеген адам - қазақстандық математик және астроном Ғаббас ибн Сәид әл-Жауһари. Ғаббас Жауһари - Фарабидің жерлесі, ежелгі Қазақстанның Отырар қаласында туған, IX ғасырда өмір сүрген. Бағдат академиясында Хорезмимен бірге қызмет істеген. Оның өмірбаяны мен жазған еңбектері сақталмаған. Жауһаридің «Ислах ли китәб әлусіл» - ««Негіздердің» шалағай жерлерін түзету» атты кітабы болғандығы, онда бесінші постулат ішкі айқыш бұрыштардың қасиеттері арқылы дәлелденгендігі XIII ғасырдағы азербайжан математигі Насыреддин Тусидің еңбектерінде айтылады. Келешекте Жауһаридің кітаптары табылуы мүмкін.

Бесінші постулат жөнінде араб математигі Әбуәли Хайсам (965-1039) мен азербайжан математигі Әбіл Аббас Тәбіризи (922-жылы өлген) ғылыми зерттеулер жүргізген.

Евклидтің геометриясына сын жазғандардың бірі Фараби болатын. Оның мақаласының орыс тіліндегі аудармасын қажет етушілер «Проблемы востоковедения» журналының 1959-жылғы 4-номерінен оқи алады.

Омар Хайямның айтылып отырған еңбегі де бесінші постулатқа арналған. Ол онда өзіне дейінгі ғалымдардың бесінші постулат жөніндегі шығармаларын талдап, кемшіліктерін көрсетеді.

Хайям бесінші постулатты аксиома қатарынан шығарып, теорема ретінде дәлелдейді. Ол үшін мынадай ұйғарымға сүйенеді:

«Бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр бірін бірі қиып өтпейді».

Бұдан: «Төртбұрыштың үш бұрышы тік болса, төртіншісі де тік бұрыш болады» деген қорытынды шығады, ол бесінші постулатты дәлелдеуге мүмкіндік береді. Қазір Хайям зерттеген үш бұрышы тік төртбұрыш Саккери төртбұрышы деп аталады.

Ғалым геометриялық еңбегін 1077-жылы жазып аяқтаған, оны 1218-жылғы қазанда Масғұд Халфари деген біреу көшіріп алған. Көшірме Лейден қаласында сақтаулы. 1936-жылы оны атақты Иран ғалымы Тағи Эрани (1902-1940) араб тілінде Теһеранда бастырып шығарған. Эрани - жалынды революционер, кемеңгер ғалым. 1930-жылға дейін ол Берлин университетінде философия мен риторикадан сабақ берген, содан кейін Теһерандағы политехникалық институттың механика мен физика профессоры болып қызмет істеген. Көптеген кітаптар жазған. «Дүния» атты марксистік бағыттағы қоғамдық-философиялық журналдың редакторы болған. Империалистердің Ирандағы тіміскілеу әрекеттеріне қарсы, еңбекшілер бақыты үшін батыл күрескен. «Елу үш» деген процесте бас айыпталушы ретінде 1938-жылы тұтқынға алынып, сотта сөйлеген сөзінде империализмді, оның Ирандағы итаршыларын, шаһ үкіметінің зұлымдықтарын масқара еткен. Эрани 1940-жылы түрмеде өлген. Жазушы Г. Севунцтың екі томдық «Теһеран» романында айтылатын Шәмсі Азади - осы Тати Эрани.

Насыреддин Туси өз кітабында Хайямның дәлелдеуін қысқаша баяндап өткен. Оның кітабы Еуропа елдеріне тараған.

Жалпы алғанда бесінші постулатты жүзге тарта ірі математиктер зерттеп, «дәлелдеп» шыққан. Олардың Хайямнан соңғы атақтылары: Насыреддин Туси (1201-1274), Джон Валлис (1616-1703), Жиролам Саккери (1667-1733), Иоган Ламберт (1728-1777), Адриан Лежандр (1752-1833). Бұл мәселенің шешімі 2000 жылға созылды.

Математиктер бесінші постулатты шын мәнінде дәлелдей алған жоқ. Оны теорема ретінде дәлелдеу үшін алдыңғы он аксиома мен солардың салдарларын ғана пайдалану керек. Ал дәлелдеушілер бұлардан басқа да әр түрлі ұйғарымдарды пайдаланды, кейбір авторлар мұны өздері де сезбей қалды. Демек, он бірінші аксиоманың орнына онымен парапар басқа аксиома енгізіп, айырбас жасады.

Бесінші постулат жөніндегі мәселені ұлы орыс математигі Н.И. Лобачевский (1792-1856) ғана шешті. Ол бесінші постулатты алдыңғы он аксиома бойынша дәлелдеуге мүлде болмайтындығын көрсетті. Бесінші постулатты мүлде шығарып тастап, оның орнына басқаша үйғарым - Лобачевский аксиомасын алып, Н.И.Лобачевский жаңа геометрия жасады. Қазір бұл геометрия Лобачевскийдің биевклидтік геометриясы деп аталады.

Лобачевский жаңа геометрияға өзіне дейінгі геометрлердің еңбектерін талдау нәтижесінде жетті. Олардың ішінде Хайямның да еңбегі бар. Сондықтан Омар Хайям биевклидтік геометрияға жол салушылардың бірі болып табылады.

Хайямның араб тілінде «Зергерлік қоспалардағы алтын мен күмістің әрқайсысының шамасын табу өнері туралы» деген физикадан жазған шағын кітапшасы сақталған. Онда қарастырылатын мәселе Сиракуз патшасы Гиеронның тағындағы алтын мен күмістің шамасын табу жөніндегі Архимед есебімен парапар. Таза алтыннан немесе таза күмістен жасалмай, алтын мен күміс араластырыла жасалған бұйымдардағы алтын мен күмістің әрқайсысы қанша екенін бұйымды бұзбай анықтау әдісі көрсетіледі. Ол үшін алтын мен күмістің ауадағы және судағы салмақтары еске алынады. Есеп Архимед заңы бойынша шешіледі. Бұл еңбек ғылымға қосылған, Хайямның өзі тапқан жаңалық емес, бірақ өз тұсында физика заңдарын насихаттауда, Шығыс елдерін грек ғылымымен таныстыруда елеулі роль атқарған.

Соңғы кітапшаның екі қолжазба нұсқасы бар, олардың бірі Германияның Гота қаласындағы кітапханада, екіншісі Ленинградтың М. Е. Салтыков-Щедрин атындағы кітапханасында. Гота нұсқасы 1924 және 1936-жылдары араб тілінде, 1906 және 1925-жылдары неміс тіліне аударылып, жарияланған. Ленинградтағы нұсқасынан 1908, 1914 және 1916-жылдары неміс тіліне аударылып, үзінділер басылған.

Белгілі совет ғалымы профессор Б.А.Розенфельд баяндалып өткен үш кітаптың үшеуін де орыс тіліне аударып, тиісті түсіндірмелер мен ескертпелер беріп, 1953-жылы Мәскеуде бастырып шығарды.

 

Омар Хайямның календары

Календарь - уақыт кілті, ел өмірінің елеулі бөлшегі. Календарьсыз шаруашылықты ұйымдастыруға, мәдениетті өркендетуге, ғылым мен техниканы дамытуға болмайды.

Парсы аңызы бойынша адам бұдан сегіз мыңдай жыл бұрын, фервердин айының бірі күні жаралған. Ол кезде Күн жазғытұрғы күн мен түннің теңелу нүктесінде болған. Осы аңызға сүйеніп, парсылар фервердиннің бірін жыл басы етіп есептейді де, оны жаңа жыл күні - науруз деп атайды (нау - жаңа, руз - күн деген сөз). Қазақтың наурызы осыдан шыққан. Күн мен түннің күзгі теңелуін парсылар меһран деген, бұдан қазақтың «мейрам» сөзі жасалған. Наурыз бен меһран парсылардың негізгі мейрамдары болған. «Ай мен Күн - аспанның екі көзі, наурыз бен меһран - уақыттың екі көзі» деп жырлаған парсы ақындары. Парсы календары жөніндегі толық маглұматтар осы мақала авторының «Халық календары» атты кітабында келтірілген.

Наурыз астрономиялық есеп бойынша 22-наурызға келеді. Абыздар дұрыс бақылап отырмағандықтан, ол 22-наурыздан тайып, жылдың басқа айларына шығып кеткен. Бұл жағдай парсы шаруаларын күйзеліске ұшыратып отырған, өйткені жер өнімдерінен сұлтандарға, әкімдерге төленетін салық наурызға шейін төленіп бітуге тиісті болған. Ерте кезде Иран жерінде наурызға шейін егін пісіп, халықтың көпшілігі салықты мерзімінде төлеп келген. Бертін наурызда егін жиналмаған, тіпті кейбір жерлерде жаңа ғана көктей бастаған. Осының салдарынан календарьды түзету жайында сұлтанға шаруалардан көптеген арыздар түскен. Сұлтандардың көпшілігі ол арыздарға құлақ аспай, ескі календарьды сактап, салықты төлемеген кедейлерді қатал жазалап отырған. Ақыры, шаруаларды мыңдап жазалағанмен қазынасы толмайтынын түсінген Мүтәуәкіл сұлтан (847-861), Хиджра жыл санауының 243-жылғы мұхаррам айының 11 күні (біздің календарымызша 857-жылғы 10-мамыл) арнаулы декрет шығарады. Декрет бойынша наурыз сирия есебімен хазиран (біздіңше - шілде) айының 17-не көшірілген. Бірақ Мүтәуәкіл өлгеннен кейін (оны өз сарайындағылар өлтірген) декрет жүзеге аспай қалған. Наурыз Мүтәдид патшаның (829-902) тұсында біраз орнықты. Мүтәдид хазиран айының 11 наурыз болсын деген декрет шығарды. Бұл да наурызды тиісті орны емес, өйткені хазиранда күн мен түн теңелмейді.

Сәлжүктерден шыққан үшінші сұлтан, жоғарыда айтылған Джәлеләддин Мәлікшаһ, шатасқан календарьды түзеуге мәжһүр болды. Ол календарь реформасының жобасын жасауды сол кездегі ұлы математик және астроном Омар Хайямға тапсырды. Хайям математиктерден, астрономдардан және тарихшылардан жеті адамды - Әбдаррахман Хазиниді, Әбілаббас Лукәриді, Әбухатам Мұзаффариді тағы басқаларды қатынастыра отырып жаңа календарь жасады.

Хайям наурызды әрдайым 22-мартқа келетін етті, ол үшін кібісе жыл еңгізді. Хайям календары бойынша әрбір 33 жылдың 25 жылы 365 күндік - жай жыл, 8 жылы 366 күндік - кібісе жыл болып отырады. 33 жыл ішіндегі кібісе жылдар - 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 33-жылдар, қалғандары жай жылдар. 25 жай жылда 9 125 күн, 8 кібісе жылда 2 928 күн болады, сондықтан 33 жылда 12 053 күн болады. Сонда бір жылдың орташа ұзақтығы 365, 2424 күн болады. Ал нақты жыл, астрономиялық есеп бойынша, 365, 2 422 күн деп есептеледі. Бұдан Хайям календарының дәлсіздігі жылына 19 секунд болатындығы шығады. Осы дәлсіздіктен 1 күн жиналу үшін 4 400 жыл өтуі керек. Қазір қолданылып жүрген григориан календарының дәлсіздігі 26 секунд, одан 1 күн жиналу үшін 3 333 жыл өтуі керек.

Омар Хайямның календары - дүние жүзі халықтарында болған календарьлардың ең жақсысы. Ол 1079-жылғы 15-марттан (Хиджра бойынша 471-жылғы 10-рамазаннан) бастап қолданыла бастады. Сол күні Мәлікшаһ жобаны декретпен бекіткен болатын. Тарихи уақиғаның осы календарь бойынша көрсетілген уақыты сәлжүктер заманының уақыты деп аталады.

Календарь тарихында әділетсіздік көп болған. Астроном Созиген жасаған календарь - ескі стиль Созиген календары делінбей, оны бекіткен император Юлий Цезарьдың атымен юлиан календары деп аталған. Лилий жасаған жаңа стиль, бекіткен рим папасы Григорий XIII атымен григориан календары деп аталған. Сол сияқты Омар Хайямның календары да ресми түрде Мәлікшаһтың атымен аталған. Тарихи документтерде ол «Тарихи Мәлики», «Тарихи Джәләли», «Тарихи сұлтани» делінеді.

Іс жүзінде Хайям календары 12 жыл ғана қолданылған. Мәлікшаһ өлгеннен кейін, оның орнына отырған сұлтандар календарьды бұрынғы «таз қалпына» келтірген.

Хайям календарының екі ерекшелігі бар: бірі - оның аса дәлдігі, екіншісі - Күн қозғалысына негізделуі. Ол кезде ислам дініндегі елдердің көпшілігі Мұхаммедтің нұсқауы бойынша қолданылған ай календарын пайдаланатын еді. Календарьды жасағанда Хайямның дінге қарсы көзқарасы әсер еткен болу керек.

1793-жылы Францияның революцияшыл үкіметі қолданылып келген календарьды тастап, жаңа календарь қабылдаған. Бұл календарьды жасауға атақты математик және астроном Пьер Лаплас (1749-1827) қатынасқан, ол Хайямның календарымен таныс болған. Лапластың ұсынысы бойынша француз календарындағы жылдың ұзақтығы, Хайям календарындағыдай, 365, 2 424 күн болып алынған. Бұл календарьды қолданудан Наполеон шығарған.

Хайямның наурызы қазақ календарына ауысқан. Наурызды қазақтар 1926 жылға дейін мейрамдап келді.

 

Омар Хайямның дүние тануы және өлеңдері

Хайямның дүниеге көзқарасын сипаттарлық материал жеткілікті емес. Оның философия мәселелерін сөз еткен шағын екі кітапшасы ғана сақталған. Бірі - тәжік тілінде жазылған «Жалпы мазмұн туралы», бұл француз және ағылшын тілдеріне аударылған. Екіншісі араб тілінде жазылған, кейін парсы тіліне аударылған «Болмыс пен қажеттілік туралы» деген кітапша.

Пифагордың ілімі бойынша болмысты сандар билейді, дүниедегі гармония - үйлесімділік сандардың гармониясынан шығады. Сандардың ішінде 1 саны ерекше орын алады, өзге сандар содан тараған... Хайям мұны былай толықтырады: «Болмыстағы реттілік, - дейді ол, - әріптердегі реттілік сияқты. Әліф - барлық әріптердің негізі, ол ешбір әріптен шықпаған». Бұдан «дүниені құдай жаратқан» деген жалған қорытындынын басы қылтиып көрініп тұр. Демек, Хайям идеалистік сүрлеумен жүріп дін жолына түскен. Ол - құранды жаттап алған имам, қартайған шағында қажыға барған тақуа.

Алайда ғылым шыңына шыққан шын ғалым идеализм батпағына мүлде батып кетпейді, ғылым шырағы оны жағаға сүйреп, тал қарматтырады, кейде жөнге салады. Хайям да сондай ғалым. Ол физика-математикалық еңбектерінде материализмге келеді. Жоғарыда айтылған алтын мен күмістің шамасын анықтау жөніндегі есепті алланың әмірімен солай шешіледі демейді, табиғат заңы бойынша солай шешіледі, табиғат санаға тәуелсіз деп түсіндіреді. Табиғаттың шексіздігін, оның бұрын да болғандығын, келешекте де болатындығын және әлем сырлары шариғат арқылы смес, өнер-білім арқылы ғана ашылатындығын Хайям ашық айтады. Оған мына өлеңдері дәлел бола алады:

«Біз кетті деп дүние қағынбайды.

Із өшеді, еш адам сағынбайды.

Бізден бұрын өтіпті талай заман,

Өз жолынан табиғат жаңылмайды.

Надандар мешіт мақын жағалайды,

Өнер-білім қажет деп санамайды.

Жұмаққа үміт артып күн кешеді.

Ғалым адам ондайға қарамайды».

Хайям жұлдыздар бойынша бал ашушы - астролог болған. Астрология - ежелгі Вавилонда шыққан жалған ережелердің жинағы, ол ғасырлар бойы ғылым ретінде танылып келген. Астрологияның түсіндіруінше, әрбір адамның өмірі бір жұлдызға тәуелді болады, біреудің жұлдызы бақытты, біреудің жұлдызы бақытсыз, адам өлгенде оның жұлдызы ағып түседі... Жолы болар жігіттің айы оңынан, жұлдызы солынан туады... Хайям сұлтандар мен уәзірлердің келешектегі тағдырын болжап «кітап көтеріп», яғни астрологиялық ережелер жазылған кітап бойынша бал ашып, жүрген. Ол «тәуіп, көріпкел» саналған. Бірак осы астрологияға Хайям өзі сенбеген. Сенерлік негіз де жоқ, өйткені астрология ережелерінің бір де бірі дәлелденбеген, тек абыздардың айтуымен ғана жазылған. Ал Хайям - математик, дәлелсіз ешбір ұйғарымды кабылдай алмайды, ол тіпті жігін ашпай логикалық тізбек құрып тұрған, ешқандай қатесі мен қайшылығы жоқ Евклид «Негіздеріне» қанағаттанбаған, сын айтқан, түземекші болған адам.

Жалғыз Омар Хайям ғана емес, ертедегі ірі астрономдардың көпшілігі астролог та болған. Мұқтаждық, күнкөріс қамы ғалымдарды астрологиямен де айналысуға мәжбүр еткен. Мұны планеталар қозғалысының әйгілі үш заңын тапқан Австрия астрономы Иоган Кеплердің (1571-1630) төмендегі сөздерінен аңғарамыз: «Әрине, астрология - есалаң қыз. Бірақ жүрт одан да асқан есалаң. Есалаң қыз шатпақтап жүріп, өзінің былшылымен тамақ тауып әкеледі де, ақылды шешесі - астрономияны асырайды. Астрономның жалақысы жоқтың қасы. Есалаң қыз болмаса, оның есі бүтін шешесі алдақашан аштан өліп қалған болар еді». Кеплер шындықты айтқан.

Дін - астрологияның екінші сыңары, оның да дәлелі жоқ. Сондықтан Хайям діннен де шегініп кетеді, оны қатал сынға алады. Тіпті шариғат ережелеріне қарсы шығып, қожа-молдаларды масқаралайды. Оның өткір өлеңдері ишандарға найзадай қадалады.

Омар Хайям аса дарынды ақын болған. Бірақ ол әдеби еңбекті негізгі кәсіп етпеген, Фердауси мен Сағади сияқты кесек шығармалар жазбаған. Анда-санда көңілі келгенде қағаз қиқымына, кітаптың шеткі алаптарына ұсақ өлеңдер жазып отырған. Хайям өлеңдері төрт жолмен шумақталып отырады, үшінші жолы дара шығып, бірінші, екінші және төртінші жолдары ұйқасып келеді. Мұндай өлең рубағи деп аталады, европа тілдерінде рубаи, рубаят дейді. Рубаи - мазмұны бай, сөзі аз, тілі көркем, лирикалық өлең.

Хайям өлеңдерінің жазба нұсқалары сақталмаған. Қазір рубаи үлгісімен жазылған және Омар Хайямның өлеңі деп есептеліп жүрген шығармалардың жалпы саны бес мыңдай. Бірақ олардың басым көпшілігі басқа ақындардікі, бертін жазылған өлеңдер. «Омардың рубаилары» делінетін өлеңдердің ішінде қазір бұзықтықты, маскүнемдікті және жезөкшелікті дәріптейтіндері де бар. Бұлар капиталистік шірік салт-санаға сай келеді, завод қожалары мен банкирлерді «Хайям қоғамына» тартады. Омар Хайямның ондай азғындықты уағыздайтын өлеңдер жазуы мүмкін емес.

Рубаилар жүз жылдан бері зерттелуде. Олар жөнінде орыс ғалымдары В. Жуковский, К.Смирнов, үнді ғалымы С. Тиртха, парсы ғалымы М.Фуруги, неміс ғалымдары А.Кристенсен, Ф.Розен, А.Арберри тағы басқалар ірі еңбектер жазған. Қазір Хайямның қолынан шыкқандығы даусыз рубаилардың саны 329. Оларда автордың аты айтылады. Мәселен, қазақ өлеңдерінің бірінде:

«Сұрасаң менін, атым Құлтума-ды,

Момыннан Құлтумадай ұл тумады.

Келгенше сексен үшке ән шырқадық,

Көмекей сонда дағы жыртылмады»

делінеді. Бұдан өлеңнің авторы Момын руынан шыққан Құлтума ақын екендігі анықталады. Хайям өлеңдері де осындай. Оның әлгі даусыз делінген рубаиларында, көбінесе автордың аты кездеседі. Даусыз рубаиларда әділеттік, өмір қызығы, өнер-білім жырланады, қожа-молдалар әшкереленеді. Оқушыға түсінікті болуы үшін рубаилардың кейбіреулерін аударып келтірейік.

«Молдалар бастарына салған шалма,

Айтады, - ақиреттен ғапыл қалма! -

Тамықпен жұрттық бәрін қорқытады,

Жұмақтан хабар алып келген бар ма?

Өмірден өтіп кетті талай жандар,

Неше рет күндер батып, атты таңдар.

Солардың бірі келіп жөнін айтса,

Тоқтар еді дау, талас, айтыс, жанжал.

Хор кыздарын жумаққа алып барған,

Шарап құйған бөшке де барып қалған!

Әйтеуір қыз бен шарап берер болса,

Неліктен бұл дүниеде тыйым салған?

Өмірге өлім тіркедің ілгілермен,

Аямадың еш жанды тіл білерден.

Жаман қылып жаратқан кінә өзіңде,

Әйтпесе, жақсы ісіңді бүлдірер ме ең?

Көктемде отыр едім гүлге қарап,

Кесемен бір сұлу қыз берді шарап.

Сол кезде есіме алсам жұмағыңды,

Ишаным, болар едің төрт көз барақ».

Хайям өлеңдерінің жалпы сарыны осылай келеді. Олар дін уағыздаушыларды жебедей жерге тығып, шаяндай шағып алады. Сондықтан да ертедегі молдалар: «Хайям деген - шаян, оның шакқанына дана жоқ» дейтін болған.

Рубаи үлгісіндегі өлеңдер тәжік-парсы поэзиясында Хайямнан бұрын да болған. Хайям рубаиды өлеңнің негізгі түрлерінің біріне айналдырған. Төрт жолды өлеңдер басқа халықтардың да поэзиясынан орын тепкен.

Қазақ әдебиетінің тарихында Хайям өлеңдерінің ресми аудармалары кездеспейді. Бірақ рубаилардың тәжік тіліндегі түпнұсқасын оқыған қазақтар болған. «Мәдәт бер, я шагри фурият» дегенде Абай Орта Азияның ұлы ақындарына сыйынған. Иса Байзақов бір өлеңінде былай дейді:

«Ананың ұлдары еді осынша сый,

Фердауси, Омар Хайям, шайхы Сағди».

Жалпы алғанда Омар Хайям қазақ оқушыларына ертеден таныс. Оның дінді мысқылдаған атеистік өлеңдері бірталай қазақ ақындарына әсер еткен.

мағлұматтар грек астрономы Птолемейдің (б.э. ІІ ғ) 13 кітаптан т ұратын «Альмагест» еңбегінде қамтылды. Түзу сызықты және сфералық тригонометрия мағлұматтары «Альмагестің» І кітабында баяндалды. Қазіргі айтылатын α бұрышының синусы, ол кітапта шамасы 2α –ға тең центрлік бұрышқа тірелетін жарты хорда ретінде зерттеледі (5 –сурет). Вавилондық күнтізбеде бір жылда 360 күн болған. Соған негіздеп Птолемей шеңберді 360º градусқа, диаметрді 120 бөлікке бөлді. 1 градусты 60´ минутқа, 1 минутты 60´´секундқа, 1 секундты 60´´´ терцинаға, т.с.с. бөлді (ол кезде 60-тың санау жүйесі қалыптасқан). Гипотенузасы диаметрге тең тік бұрышты үшбұрыш үшін Пифагор теоремасын былай жазды (5-сурет):

Бұл бүгіндегі sin² α+cos²α=1 формуласына сәйкес келеді. Хорда грек сөзі – «садақ кермесі» дегенді білдіреді. Птолемей 5 ондық таңбаға дейінгі дәлдікпен синустар (хордалар) кестесін жасады. Ол кез үшін хордалар кестесі көптеген практикалық, астрономиялық есептерді шешуде зор маңызға ие болды. Келесі кезеңде тригонометрияның қарыштап дамуына үнді оқымыстылары зор үлес қосты. IV-V ғасырларда арнайы терминдер үндінің ұлы ғалымы Ариабхаттың (476-550 ж.ж. шамасында) астрономиялық еңбектерінде көріне бастады.. Үндінің алғашқы Жер серігі де осы есіммен аталады. Ол АК (5-сурет) кесіндісін ардхаджива (ардха-жарты, джива-садақ кермесі) деп атайды. Кейін келе қысқаша джива атауы қалды.

VІІІ ғасырдан бастап араб математиктері джива сөзін джиба, кейіннен «джайб» -«дөңестік» сөзімен алмастырады. ХІІ ғасырда Европада латын тілі ғылым тілі ретінде бел алып тұрғанда европа ғалымдары араб тіліндегі математикалық мәтіндерді аударғанда «джайб» сөзін латынның «sinus»-«иілу», «қисықтық» сөзімен алмастырады және бұл сөз бүгінге дейін сақталып қалды. Косинус сөзі кейін пайда болды. Ол латынның «сomplementy sinus» - «толықтауыш синус» деген сөз тіркесінің қысқартылған түрі, яғни cosα=sin(90⁰ – α).

ІХ-Х ғасырларда Орта Азия мен Таяу Шығыс математикалық зерттеулердің орталығына айналды. Араб математиктерінің еңбектерінің нәтижесінде тригонометрия жеке ғылым ретінде астрономиядан бөлініп шығады.

Х ғасырда араб математигі Абу-л-Вафа (Мұхаммед-әл-Бузджани) тангенс, котангенс, секанс, косеканс атауын енгізеді және тангенстер мен котангенстер кестесін жасайды. Сондай-ақ Мұхаммед ибн Муса әл-Хорезми (ІХ ғ.) синустар мен котангенстер кестесін жасайды.

Әбу Райхан Бируни (Х-ХІ ғ.ғ.) бірлік шеңберді енгізу арқылы есептеу жұмыстарын әлдеқайда жеңілдетеді. ХІІ ғасырды ғалым-энциклопедист, мемлекет қайраткері Насир-ад-Дин ат-Туси «Жазық төртбұрыштар» трактатында жазық және сфералық тригонометрияны математиканың жеке бөлімі ретінде астрономиядан бөлек қарастырады. Ислам елдерімен салыстырғанда Европада тригонометрия тек ХІ ғасырда жеке ғылым ретінде қалыптасып, дами бастады. Бұл кезеңнің көрнекті өкілі неміс астрономы, әрі математигі профессор Регимонтан.

Ол синустар кестесін аралығы 1 секундтан 7 ондық таңбаға дейінгі дәлдікпен жасайды және «Үшбұрыштың барлық түрлері туралы 5 кітап» атты тригонометриялық еңбегін жарыққа шығарады.

«Тангенс» латын сөзі «tangens» - «жанама» (жанама кесіндісі) дегенді білдіреді.. Бұл атауды 1583 жылы дат математигі Томас Финк енгізді. Ал, «котангенс» - «complementy tangens» - «толықтауыш тангенс» ұғымын білдіреді. Бұл атауды ең алғаш 1620 жылы ағылшын ғалымы Эдмунт Гутер енгізді.

ХVІ ғасырда француз математигі Франсуа Виет (1540-1603) тригонометрияны куб теңдеулерді шешуге қолданып, оны алгебрамен байланстырды. Сондай-ақ, ол әріпті белгілеудің негізін салды. Швейцар математигі Иоганн Бернулли (1667-1747) тригонометриялық функциялардың sinх, cosх (1739ж.) белгілеулерін пайдаланды.

ХVІІ- ХІХ ғасырларда тригонометрия математикалық анализдің бір тарауы ретінде қарастырыла бастады. Бұл орайда швейцар математигі, ұзақ жылдар Петербург ғылым академиясында қызмет еткен Леонардо Эйлердің (1707-1783) орасан зор еңбегін атап өту керек. Эйлер тригонометрияның мазмұнын жетілдіріп, бір жүйеге келтіріп, жан-жақты баяндады.

Ол бүгінде қолданылып жүрген тригонометриялық функциялардың анықтамаларын енгізді. Кез келген бұрыштың тригонометриялық функцияларын қарастырып, әрбір ширектегі функция таңбаларын анықтап, келтіру формулаларын қорытты. Аргументі бұрыш пен доға, сондай-ақ, кез келген сан болғандағы тригонометриялық функцияның қасиеттерін баяндап, формулаларын қорытты, тригонометриялық теңдеулер мен теңзіздіктерді шешуді қарастырып, sinх, cosх, tgх, сtgх, т.б. белгілеулерді пайдаланды. Эйлерден кейін тригонометрия дайын формулаларды пайдаланып есептеу түріне келіп, жұмыс ықшамдалды. Бұл теорияны ХІХ ғасырда Н.И.Лобачевский, т.б. ғалымдар жалғастырып дамытты.