Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада

124
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Таким образом, выясняется, что зарождение ионной лавины, ведущей к про-
бою, возможно вблизи анода. Чтобы напряжённость поля здесь была близка
к пробивному значению, напряжение на счётчике должно быть тем меньше,
чем меньше радиус анода. Вот почему анод в счётчиках Гейгера–Мюллера
делают в виде тонкой нити.
В отличие от предыдущих пунктов, в пункте 3 анализируется стационар-
ное состояние счётчика, при котором число частиц, генерируемых в любом
объёме внутри камеры, равно потоку этих частиц, покидающих данный объ-
ём. Счётчики, в которых реализуется такой режим, называют ионизационной
камерой непрерывного действия.
Ввиду осевой симметрии конструкции счётчика удобно рассмотреть объ-
ём, заключённый между анодом и соосной с ним цилиндрической поверхно-
стью радиусом r 6 R
c
. Число положительных ионов, генерируемых в этом
объёме в единицу времени, равно:
N = Γπ(r
2
− R
2
a
)l,
(5)
где l — длина выбранной цилиндрической поверхности. Поток ионов, выте-
кающих из этого объёма в единицу времени, Φ(r) = n(r)v(r)2πrl, где n(r) —
число положительных ионов в единице объёма на расстоянии r от оси цилин-
дра, v(r) — скорость их движения в этом месте. В соответствии с условием
v(r) = µE(r), а напряжённость E(r) определяется формулой (2). После под-
становки этих значений получим:
Φ(r) = n(r) · µ
λ
2πε
0
r
· 2πrl = n(r)
λµ
ε
0
l.
Именно эта величина в стационарном состоянии должна быть равна числу
генерируемых ежесекундно в выделенном объёме частиц (5). Поэтому
n(r)
λµ
ε
0
l = Γπ(r
2
− R
2
a
)l,
или n(r) =
πε
0
Γ
µλ
(r
2
− R
2
a
).
Таким образом, концентрация положительных ионов стремится к нулю вбли-
зи анода и достигает наибольшего значения вблизи катода.
Задача
3.13
* (Молекулярные кристаллы)
Для схематического изображения графика потенциала Леннарда–Джонса об-
ратим внимание на поведение функции U (r) при достаточно больших и до-
статочно малых r. В первом случае

σ
r

12
≪

σ
r

6
и U (r) ≈ −4ε

σ
r

6
.
График такой функции имеет вид кривой 1 на рисунке
104
. При малых r опре-
деляющую роль играет, напротив, слагаемое пропорциональное r
−12
. График

Электричество и магнетизм. Решения задач
125
U (r) в этом приближении имеет вид 2 (рис.
104
). Таким образом, функция
U (r) при изменении r от 0 до ∞ вначале резко убывает, а затем возрастает,
так что её график имеет вид сплошной линии на рисунке
104
. Равновесному
состоянию соответствует расстояние r
0
, при котором U (r) имеет минимальное
значение (рис.
104
).
r
0
r
U (r)
0
1
2
Рис. 104.
Для нахождения равновесного расстояния r
0
воспользуемся стандартным
приёмом определения экстремума функции, то есть приравняем к нулю про-
изводную функции U (r):
dU
dr
= 4ε

−12
σ
12
r
13
+ 6
σ
6
r
7

= 0.
Корнем этого уравнения является искомая величина:
r
0
=
6
√
2 · σ ≈ 3,82 ˚
A.
Для нахождения потенциальной энергии взаимодействия атома со всей
решёткой E нужно сложить энергии взаимодействия рассматриваемого атома
с каждым из остальных атомов кристалла:
E =
X
i
4ε
 
 σ
r
i

12
−
 σ
r
i

6
!
,
(1)
где r
i
— расстояние между рассматриваемым атомом и i-м атомом кристалла.
Суммирование в (1) предполагается по всем атомам, число которых огромно.
Задача нахождения суммы такого числа слагаемых, на первый взгляд, ка-
жется практически неразрешимой. Тем не менее можно «подобрать ключик»

126
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
6
5
4
3
1
2
0
Рис. 105.
к приближённому решению задачи. Учтём то обстоятельство, что слагаемые
приблизительно пропорциональны r
−6
i
, то есть существенный вклад в сумму
вносят главным образом атомы решётки, не очень удалённые от рассматрива-
емого атома. К тому же вклад в сумму от равноудалённых атомов одинаков.
Поступим следующим образом. Вначале учтём в (1) вклад ближайших сосе-
дей. Из рисунка
105
видно, что расстояние от атома 0 до ближайших соседей
r
1
= a/
√
2. Подсчитаем число ближайших к атому 0 соседей. В изображён-
ной на рисунке ячейке — это три атома типа 1. К атому 0 примыкают восемь
таких ячеек, однако, атомы типа 1 одновременно принадлежат двум из рас-
сматриваемых восьми ячеек. Так что число ближайших соседей атома 0 равно
3 · 8/2 = 12. Их вклад в сумму (1) составляет
E
1
= 12 · 4ε
 
 σ
r
1

12
−
 σ
r
1

6
!
.
(2)
Несколько дальше находятся атомы типа 2 (рис.
105
), удалённые на рас-
стояние r
1
√
2. Число таких соседей равно 3 · 8/4 = 6. Каждый из атомов
типа 2 одновременно принадлежит четырём из восьми примыкающих к ато-
му 0 ячеек. Вклад этих соседей в формулу (1) составляет
E
2
= 6 · 4ε
 

σ
√
2 r
1

12
−

σ
√
2 r
1

6
!
.
(3)
Мы рассмотрели две группы равноудалённых соседей. Аналогично мож-
но выделить группы соседей типа 3, 4, 5, 6 (рис.
105
). В приведённой ниже
таблице указаны типы соседей атома 0, их числа и расстояния до них.

Электричество и магнетизм. Решения задач
127
Типы соседей
1
2
3
4
5
6
Число соседей
12
6
24
12
24
8
Расстояние до соседей
r
1
√
2r
1
√
3r
1
2r
1
√
5r
1
√
6r
1
Запишем вклады в сумму (1) от всех указанных групп аналогично (2) и
(3) и сложим полученные равенства. Получим
E = 4ε
 
A
 σ
r
1

12
− B
 σ
r
1

6
!
,
где
A = 12 + 6
1
(
√
2)
12
+ 24
1
(
√
3)
12
+ 12
1
2
12
+ 24
1
(
√
5)
12
+ 8
1
(
√
6)
12
≈
≈ 12 + 0,094 + 0,033 + 2,930 · 10
−3
+ 1,536 · 10
−3
+ 1,715 · 10
−4
≈ 12,132
B = 12 + 6
1
(
√
2)
6
+ 24
1
(
√
3)
6
+ 12
1
2
6
+ 24
1
(
√
5)
6
+ 8
1
(
√
6)
6
≈
≈ 12 + 0,75 + 0,889 + 0,188 + 0,192 + 0,037 ≈ 14,055
Видно, что каждое следующее слагаемое в выражениях для A и B существен-
но меньше предыдущего. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением
небольшого числа групп соседей. Результаты, полученные для шести таких
групп, особенно число A, мало отличаются от табличных значений, найден-
ных при учёте большего числа соседей: A ≈ 12,13 и B ≈ 14,45.
Равновесное расстояние r
1
между ближайшими атомами находится при-
равниванием к нулю производной функции E = E(r
1
):
dE
dr
1
= 4ε

−12A
σ
12
r
13
1
+ 6B
σ
6
r
7
1

= 0.
Значение r
1
является корнем этого уравнения:
r
1
=
6
r
2
A
B
· σ ≈ 3,72 ˚
A.
(4)
Искомая постоянная решётки кристалла аргона a =
√
2r
1
≈ 5,27 ˚
A, что мало
отличается от значения a = 5,30 ˚
A, получаемого в эксперименте.
Теперь найдём модуль всестороннего сжатия æ = −V dp/dV . Для этого
применим к кристаллу закон изменения энергии:
p dV = −du,
где u — энергия кристалла. Получим
æ = V
d
2
u
dV
2
.

128
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Энергия кристалла u равна половине произведения найденной выше величи-
ны E на число атомов N , поскольку в произведении N E дважды учитывается
взаимодействие каждого атома. Входящее в E равновесное расстояние между
ближайшими атомами r
1
определяет объём ячейки a
3
, от которого зависит V .
Объём V равен
V =
N
4
a
3
=
N r
3
1
√
2
.
Множитель 1/4 учитывает, что на одну элементарную ячейку приходится два
атома. Используя выражение для V , найдём
u(V ) = 2N ε

A
N
4
σ
12
4V
4
− B
N
2
σ
6
2V
2

.
После дифференцирования получим
d
2
u
dV
2
= 2N ε

5A
N
4
σ
12
V
6
− 3B
N
2
σ
6
V
4

= 2N ε

40A
σ
12
N
2
r
18
1
− 12B
σ
6
N
2
r
12
1

.
Для получения окончательного результата остаётся подставить выражение
(4) для r
1
. Тогда
æ = V
d
2
u
dV
2
=
4ε
σ
3
B
5
/2
A
3
/2
≈ 2,89 · 10
9
Па.
Задача
3.14
* (Колебания в цепи с диодами)
Какие процессы происходят в данной цепи? Когда ток в диоде течёт в про-
пускном направлении, этот диод играет роль обычного проводника, входя-
щего в колебательный контур. В контуре происходят гармонические колеба-
ния. Правда, параметры контура, в котором происходят колебания, зависят
от того, через какой диод протекает ток. Поэтому целесообразно проанали-
зировать колебания на различных временных интервалах после замыкания
ключа.
C
1
C
2
L
1
L
2
D
1
D
2
K
U
0
Рис. 106.

Электричество и магнетизм. Решения задач
129
На первом этапе конденсатор C
1
«отключён» диодом D
1
, а конденсатор
C
2
без препятствия со стороны D
2
разряжается через параллельно соединён-
ные катушки L
1
и L
2
. Их можно заменить одной эквивалентной катушкой с
индуктивностью
L =
L
1
L
2
L
1
+ L
2
.
Последняя формула следует из уравнений
L
dI
dt
= L
1
dI
1
dt
= L
2
dI
2
dt
,
I = I
1
+ I
2
,
где I
1
и I
2
— токи через параллельно соединённые катушки L
1
и L
2
.
Колебания в данном контуре происходят с периодом
T
1
= 2π
r
L
1
L
2
L
1
+ L
2
C
2
в течение времени τ
1
= T
1
/4, пока конденсатор C
2
полностью не разрядится.
После этого конденсатор C
2
начинает перезаряжаться за счёт постепенного
уменьшения тока в катушках. Потечёт этот ток и через диод D
1
, заряжая кон-
денсатор C
1
. Всё происходит так, как в колебательном контуре, состоящем из
катушки индуктивностью L и пары параллельно соединённых конденсаторов
C
1
и C
2
, которая эквивалентна конденсатору с ёмкостью C = C
1
+C
2
. Период
колебаний в таком контуре равен
T
2
= 2π
r
L
1
L
2
L
1
+ L
2
(C
1
+ C
2
).
Эти колебания продолжаются промежуток времени τ
2
= T
2
/4, после чего
заряженный до максимального по модулю напряжения U
1
конденсатор C
1
«отключается» диодом D
1
, поскольку далее напряжение на конденсаторе C
2
не может превысить достигнутого максимального значения U
1
. Величину U
1
можно найти из закона изменения энергии:
C
2
U
2
0
2
=
(C
1
+ C
2
)U
2
1
2
.
(1)
Левая часть (1) — энергия поля конденсаторов в начальный момент времени,
правая — в момент времени τ
1
+ τ
2
, когда ток в катушках обращается в нуль.
Из уравнения (1) находим один из ответов задачи:
U
1
= U
0
r
C
2
C
1
+ C
2
.
После момента времени τ
1
+ τ
2
конденсатор C
2
будет разряжаться толь-
ко через L
1
, поскольку катушка L
2
оказывается «отключённой» диодом D
2
.

130
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Время этого процесса τ
3
= T
3
/4, где T
3
= 2π
√
L
1
C
2
— период колебаний
контура, образованного конденсатором C
2
и катушкой L
1
.
В момент времени τ = τ
1
+ τ
2
+ τ
3
, когда конденсатор C
2
полностью раз-
рядится, ток разряда достигнет значения
I
1
= U
1
r C
2
L
1
,
(2)
что следует из закона сохранения энергии. После этого момента энергия маг-
нитного поля катушки L
1
расходуется на перезарядку конденсатора C
2
и на
создание тока в катушке L
2
. Диод D
2
не препятствует этому току, поскольку
направление ЭДС самоиндукции в катушке L
1
согласно правилу Ленца совпа-
дает с пропускным направлением данного диода. Ток в катушке L
1
достигает
значения I, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения U
2
.
Тот же ток течёт и по другой катушке, обеспечивая в этот момент времени
равенство нулю изменения заряда конденсатора. Величину тока I найдём из
равенства ЭДС индукции на первой и второй катушках:
dΦ
1
dt
=
dΦ
2
dt
.
Следовательно, равны изменения магнитных потоков:
∆Φ
1
= ∆Φ
2
,
∆Φ
1
= L
1
I − L
1
I
1
,
∆Φ
2
= −L
2
I.
Отсюда находим ток через катушки в момент, когда на конденсаторе C
2
мак-
симальное напряжение U
2
:
I =
L
1
L
1
+ L
2
I
1
.
(3)
Закон сохранения энергии позволяет связать U
2
с U
1
:
C
2
U
2
1
2
=
C
2
U
2
2
2
+
(L
1
+ L
2
)I
2
2
.
(4)
Подставляя сюда (2) и (3) получим:
U
2
= U
1
r
L
2
L
1
+ L
2
= U
0
r
C
2
C
1
+ C
2
r
L
2
L
1
+ L
2
.
(5)
Далее гармонические колебания контура, образованного конденсатором
C
2
и парой параллельно соединённых катушек, будут продолжаться неогра-
ниченно долго (в отсутствие потерь), так как диод D
2
всё время остаётся
открытым. Действительно, рассмотрим момент времени, когда ток в диоде

Электричество и магнетизм. Решения задач
131
приближается к нулевому значению. Может ли он «закрыться»? Данная си-
туация ничем не отличается от ситуации в момент времени τ , при которой
диод «отпирался». Так что ответ на поставленный вопрос отрицательный.
Итак, с момента времени τ = τ
1
+ τ
2
+ τ
3
установятся гармонические ко-
лебания с периодом
T = 2π
r
L
1
L
2
L
1
+ L
2
C
2
,
и амплитудой U
2
(5).
U
U
0
t
U
2
−U
2
−U
1
τ
1
τ
1
+ τ
2
τ
τ + T
0
Рис. 107.
На рисунке
107
изображён итоговый график изменения напряжения на
конденсаторе C
2
в течение времени t.
Задача
3.15
(Эффект Холла)
Вначале выясним почему возникает холловская разность потенциалов. На
рисунке
108
показаны направление магнитного поля ~
B, направление тока I,
соответствующие ему направления движения положительных (дырок) и от-
рицательных (электронов) носителей зарядов. Магнитное поле искривляет
траекторию движения носителей зарядов, как это показано на рисунке
108
.
Из-за различия потоков электронов и дырок на поверхности A собирают-
ся положительные заряды, а на поверхности B отрицательные. Возникает
напряжение ϕ
A
− ϕ
B
= U , создающее поперечную напряжённость электри-
ческого поля E
⊥
= U/b, препятствующую дальнейшему оседанию зарядов
на поверхностях (рис.
108
). В стационарном состоянии поток электронов к
пластине должен быть равен потоку дырок:
n · v
n
⊥
= p · v
p
⊥
,
(1)

132
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
~
E
⊥
b
~
B
I
A
B
Рис. 108.
где v
n
⊥
и v
p
⊥
— перпендикулярные к граням A и B составляющие скорости
электронов и дырок. Эти составляющие обусловлены как силой Лоренца, так
и поперечной к пластинам напряжённостью электрического поля E
⊥
, созда-
ваемого зарядами пластин:
v
n
⊥
= µ
n
(v
n
B + E
⊥
) = µ
2
n
EB + E
⊥
µ
n
,
(2)
v
p
⊥
= µ
p
(v
p
B − E
⊥
) = µ
2
p
EB − E
⊥
µ
p
.
(3)
Здесь E — составляющая напряжённости электрического поля вдоль тока I.
Она определяет скорость движения носителей вдоль пластин:
v
n
= µ
n
E,
v
p
= µ
p
E.
Эти скорости обеспечивают ток I:
I = e(nv
n
+ pv
p
)ab = eE(nµ
n
+ pµ
p
)ab,
(4)
где e — элементарный заряд, b — ширина пластины. Подставляем (2) и (3) в
(1):
EB(µ
2
p
p − µ
2
n
n) = E
⊥
(µ
n
n + µ
p
p).
Величина E
⊥
= U/b, а E определяется равенством (4). Учитывая это, полу-
чим:
U =
BI
a
·
µ
2
p
p − µ
2
n
n
e(µ
n
n + µ
p
p)
2
.
Откуда
R =
µ
2
p
p − µ
2
n
n
e(µ
n
n + µ
p
p)
2
.
Знак коэффициента Холла определяет тип проводимости полупроводника:
для полупроводника с дырочной проводимостью R > 0, для электронного
R < 0.

Электричество и магнетизм. Решения задач
133
Задача
3.16
* (Дрейф)
На движущуюся заряженную частицу вблизи провода с током действует сила
Лоренца. Силовые линии магнитного поля тока представляют собой перпен-
дикулярные к току окружности, центры которых лежат на проводе. Модуль
индукции магнитного поля находится по формуле:
B =
µ
0
I
2πr
,
(1)
где r — расстояние от точки поля до провода.
На рисунке
109
показаны соответствующие первому пункту задачи на-
правления тока, текущего в проводнике, начальная скорость частицы ~v
0
, ско-
рость ~v в произвольный момент времени, направление индукции магнитного
поля ~
B, а также сила Лоренца ~
F . Поскольку векторы ~v и ~
F лежат в одной
y
x
I
~
B
r
0
~
F
ϕ
~v
~v
0
Рис. 109.
плоскости, траектория движения лежит в плоскости xy декартовой системы
координат, указанной на рисунке
109
. Запишем уравнение движения частицы
в проекции на ось y. При этом учтём, что проекция силы Лоренца F
y
= −q ˙xB,
где точка над символом обозначает производную по времени t. Уравнение
движения принимает вид:
m¨
y = −q ˙xB,
или m¨
y +
µ
0
qI ˙r
2πr
= 0.
Интегрируем это уравнение с учётом того, что при t = 0 производная ˙y = v
0
,
а r = r
0
:
˙y = v
0
−
µ
0
qI
2πm
ln
r
r
0
.
(2)
Поскольку сила Лоренца не меняет модуль скорости, то при минимальном
расстоянии r = r
min
величина ˙y = v
0
, а при максимальном r = r
max
проекция

134
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
скорости ˙y = −v
0
(рис.
109
). Поэтому из (2) получаем
r
min
= r
0
,
r
max
= r
0
exp
 4πmv
0
µ
0
qI

.
Когда скорость частицы перпендикулярна проводу, производная ˙y = 0.
В этом случае формула (2) даёт
r = R = r
0
exp
 2πmv
0
µ
0
qI

.
(3)
Во втором пункте требуется найти скорость дрейфа. Какой смысл вкла-
дывается в этот термин? Если
r
max
− r
min
r
min
≪ 1,
то есть величина α ≪ 1, то приближённо можно пренебречь неоднородностью
магнитного поля. Поэтому в этих условиях движение частицы мало отлича-

жүктеу/скачать 1,7 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: