Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада

Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М., Потапов В. Ф.
ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА
«ТУЙМААДА»
Под общей редакцией Селюка Б. В.
Рекомендовано УМО по классическому
университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 010701 — Физика.
Москва
Издательство МЦНМО
2007 год

УДК 53 (023)
ББК 22.3я721+74.262.22
Г83
Учебное издание
Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М., Потапов В. Ф.
Г83
Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада
«Туймаада»: Под ред. Селюка Б. В. — М.: МЦНМО, 2007. —
160
с.: ил.
ISBN 978–5–94057–256–5.
Олимпиада «Туймаада» была организована в 1994 году по инициативе Министерства
образования республики Саха (Якутия) и с тех пор ежегодно проводится на базе Якутско-
го государственного университета им. Аммосова. В книге представлены задачи по физике
теоретического тура олимпиады «Туймаада» за 1994–2005 годы (всего
65
). Для удобства
пользования книгой все задачи систематизированы по своим разделам физики. Почти ко
всем задачам даются подробные решения.
При описании решений обращается особое внимание на обоснованность используемых
положений, на поиск подходов к решению, на возможность решения разными методами,
на анализ полученных результатов. Разбор решений олимпиадных задач является хоро-
шей школой глубокого изучения школьниками физики и подготовки их как к участию
в такого рода олимпиадах, так и ко вступительным экзаменам в вузы с повышенными
требованиями к знаниям по физике.
ББК 22.3я721+74.262.22
ISBN 978–5–94057–256–5
c
Московский центр непрерывного математического
образования, 2007.
c
Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М.,
Потапов В. Ф., Селюк Б. В., 2007
Григорьев Юрий Михайлович, Муравьёв Вячеслав Михайлович, Потапов Виктор
Филиппович, Селюк Борис Васильевич
Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада «Туймаада»
Технический редактор Кулыгин А. К.
Корректоры Якута А. А., Щербаков Д. Е.
Подготовка иллюстраций: Муравьёв В. М.
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 15.01.2007.
Формат 60×90
1
/
16
. Печать офсетная. Объём 10 печатных листов.
Заказ
. Тираж 3000 экз.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., дом 11. Тел. (495)241–05–00, (495)241–12–37.
http://www.mccme.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы»
129626, Москва, 1-й Рижский переулок, дом 2а.

Предисловие
Изучение физики невозможно без решения физических задач. Подготов-
ка к будущей научной работе в области физики или техники немыслима без
решения олимпиадных задач. Так принято называть трудные, не стандарт-
ные задачи, для решения которых необходимы не только глубокие знания
физических законов, изученных в школе, но и смекалка, находчивость, раз-
витая интуиция, упорство, то есть то, без чего не может быть творческого
работника.
Поиск и отбор талантливой молодёжи, развитие её творческих способно-
стей и влечения к физике является важной государственной задачей, которую
с успехом решает на протяжении сорока лет система олимпиад по физике и
математике. У истоков российского олимпиадного движения стояли такие из-
вестные научные деятели как П. Л. Капица, И. К. Кикоин, А. Н. Колмогоров,
И. Ш. Слободецкий. Всероссийские олимпиады школьников по физике про-
водятся в пять этапов: школьный, районный, областной, зональный и заклю-
чительный. По их результатам формируется сборная России на Международ-
ную физическую олимпиаду (МФО). Перспектива участия в олимпиадах всё
более высокого уровня, включая уровень Международной физической олим-
пиады, является важным стимулом к систематическому изучению физики
на повышенном уровне и способствует развитию интеллектуальных способ-
ностей школьников.
Олимпиада «Туймаада» по физике, математике, химии и информатике
была организована в 1994 году по инициативе Министерства образования
Республики Саха (Якутия) и с тех пор вот уже в тринадцатый раз прово-
дится на базе Якутского государственного университета им. М. К. Аммосо-
ва. Своим названием олимпиада обязана месту проведения — живописной
долине Туймаада на левом берегу реки Лена (в этой долине и находится
город Якутск). По своей сути «Туймаада» является аналогом Международ-
ных олимпиад. Поэтому в последнее время получило широкое распростране-
ние приглашение вторых и младших сборных стран участниц. Материалы об
олимпиаде регулярно публикуются в журналах «Квант», «Физика в школе»
и «Потенциал».
В книге представлены задачи по физике теоретического тура высшей и
первой лиг олимпиады «Туймаада» за одиннадцать лет. Особо трудные за-
дачи в книге выделены звёздочкой. Для удобства пользования книгой все за-
дачи систематизированы по своим разделам физики. Почти ко всем задачам

4
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
даются подробные решения. При описании решений обращается особое вни-
мание на обоснованность используемых положений, на поиск подходов к ре-
шению, на возможность решения разными методами, на анализ полученных
результатов. Разбор решений олимпиадных задач является хорошей школой
глубокого изучения школьниками физики и подготовки их как к участию в
различных олимпиадах, так и ко вступительным экзаменам в вузы с повы-
шенными требованиями к знаниям по физике. Задачи, включённые в книгу,
неоднократно предлагались на подготовительных сборах команды России на
МФО, а также на летней физико-математической школе «Туймаада».
Ряд задач позволяет участникам олимпиады и читателям соприкоснуться
с отдельными важными вопросами «серьёзной физики». Это помогают сде-
лать и некоторые краткие замечания, несколько выходящие за рамки кон-
кретных задач.
Всеобщая компьютеризация естественно охватила и физику. Компьютеры
являются мощным инструментом, который эффективно используется иссле-
дователями как на этапе сбора экспериментальных данных, так и на этапе
обработки результатов и моделирования физических явлений. На олимпи-
адах по физике компьютеры традиционно не используются. Тем не менее,
в книге кое-где показывается эффективность применения популярной среди
физиков и простой для начинающего пользователя системы компьютерной
математики MathCad. Делается это для того, чтобы читатель осознал необ-
ходимость для будущего исследователя компьютерной грамотности.
Авторами задач, включённых в данную книгу, являются: Алфёров Р. Ф.,
Александров Д. А., Вавилов В. В., Варламов С. Д., Григорьев Ю. М., Иоголе-
вич И. А., Козел С. М., Мохначевский А. Н., Муксунов И. Х., Муравьёв В. М.,
Петров З. Е., Потапов В. Ф., Саввинова Н. А., Селюк Б. В., Сивцев В. И.,
Соловьёва Н. М., Соловьёв Т. Н., Татаринов А. П., Трубачёв А. М., Чуднов-
ский А. В., Шелест В. И. Некоторые задачи являются результатом коллек-
тивного труда.
Работать с пособием можно как индивидуально, так и группами под руко-
водством учителя физики. Сначала следует попытаться решить задачу само-
стоятельно. Только после неоднократных попыток найти решение или для
проверки полученного ответа следует прочитать решение, приведённое во
второй части книги. Такая работа с пособием наиболее эффективна.
Авторы особо благодарны Селюку Б. В. за определяющий вклад в написа-
ние книги, Козелу С. М., Слободянину В. П., Чудновскому А. В., Якуте А. А.
за ценные замечания.
Якутск–Смоленск–Москва 2005 г.

Условия задач
Механика
Задача
1.1
(Две частицы)
Две частицы одновременно начали двигаться в однородном поле тяжести ~g.
Начальные их скорости равны по модулю v
0
и лежат в одной вертикальной
плоскости. Угол наклона вектора одной из скоростей к горизонту равен α,
а другой 2α. В какой момент времени τ от начала движения скорости частиц
окажутся сонаправленными? Сопротивлением движению пренебречь.
Задача
1.2
(Эхолот)
На корабле, отплывающем от крутого берега, время от времени измеряют
глубину моря. На расстоянии L
1
= 100 м от берега глубина моря оказалась
h
1
= 150 м, на удалении L
2
= 140 м зафиксирована глубина h
2
= 200 м, на
расстоянии L
3
= 210 м от берега эхолот зарегистрировал два отражённых
сигнала. Один из них соответствует глубине h
3
= 300 м, а другой h
4
= 400 м.
Было высказано предположение, что второй сигнал обусловлен изменением
знака наклона морского дна. Исходя из этого предположения, определите
каков угол подъёма морского дна далее по курсу корабля.
При измерении глубины с корабля посылается направленная акустиче-
ская волна вертикально вниз. При взаимодействии со дном волна изотропно
отражается во все стороны. На корабле регистрируется отражённый сигнал.
При решении задачи могут понадобиться некоторые свойства эллипса.
Напомним их. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов —
постоянная величина, равная длине его большей оси. Малая полуось эллипса
b =
√
a
2
− c
2
, где a — большая полуось, а c — расстояние от фокусов эллипса
до его центра. Уравнение эллипса имеет вид:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1,
где начало декартовой системы координат расположено в центре эллипса,
ось x направлена вдоль большой оси, а y — вдоль малой. Нормаль к эллипсу в
точке является биссектрисой угла между прямыми, соединяющими эту точку
с фокусами эллипса.

6
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Задача
1.3
(Камень)
С вертикальной скалы высотой H брошен горизонтально со скоростью v
0
камень массой m. Спустя некоторое время он стал двигаться с постоянной
скоростью. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна ско-
рости ( ~
F = −k~v ), найти:
1. Расстояние L по горизонтали, на которое камень удалится от скалы в
момент падения.
2. Время τ движения камня.
Задача
1.4
* (Плоское движение)
В задаче исследуется плоское движение абсолютно твёрдого тела. Точки A,
B, C и D принадлежат этому телу (рис.
1
).
1. Задана скорость ~v точки A. Она изображена на рисунке
1
в указанном
там масштабе. Найдите скорость ~v
C
точки C, если скорость точки B
направлена вдоль пунктирной прямой, изображённой на рисунке.
2. Скорость точки A такая же, как и в первом пункте. Найдите скорость
~v
C
, если модуль скорости точки B равен 1,0 м/c.
3. Скорость точки A такая же, как и в первых пунктах. Найдите скорость
~v
D
точки D, если скорости точек B и C одинаковы по модулю.
A
B
C
D
1 м/c
~v
A
Рис. 1.
Задача
1.5
* (Камни)
Из точки, расположенной на высоте H = 5 м над краем обрыва, под углом α
к горизонту в сторону обрыва бросили со скоростью v
0
= 10,0 м/с камень.

Механика. Условия задач
7
С какой минимальной скоростью v, и под каким углом β к горизонту следу-
ет в тот же момент бросить с поверхности земли камень вдогонку первому
из точки, удалённой от края обрыва на расстояние L = 10 м, чтобы камни
столкнулись? Рассмотреть случаи α = 0
◦
и α = 60
◦
.
Задача
1.6
(На планете «Туй»)
На планете «Туй» растёт дерево «Маа», семенами которого питается жи-
вотное «Да». Особенность дерева «Маа» состоит в том, что при созревании
его плоды лопаются и выбрасывают семена по всем направлениям со ско-
ростью v
0
. Животное в процессе эволюции выработало следующий способ
добывания пищи: оно сидит на расстоянии L от дерева, и, дождавшись, ко-
гда плод, находящийся на высоте H, лопнет, в тот же момент выбрасывает со
скоростью v язык, который состоит из тонкой лёгкой нити и находящегося на
её конце тяжёлого шарика. Из шарика в определённый момент во все сторо-
ны выбрасываются липкие щупальца, которые мгновенно ловят все семена,
находящиеся от центра шарика на расстоянии меньшем длины щупальца.
Найдите минимальную длину щупалец, достаточную для того, чтобы живот-
ное захватывало все семена. Под каким углом к горизонту должно животное
выбрасывать язык и какое устанавливать время задержки между выбрасы-
ванием языка и распусканием щупалец, чтобы достаточная длина щупальцев
была минимальной? Считать, что во время полёта шарика нить на него не
действует. Ускорение свободного падения на поверхности планеты «Туй» рав-
но g. Полёту семян не препятствуют ни сопротивление атмосферы, ни ветви
дерева.
Задача
1.7
(Шайба)
По гладкой горизонтальной поверхности скользит маленькая круглая шайба,
не покидая правильного треугольника, ограниченного неподвижными глад-
кими стенками (рис.
2
). Удары шайбы о стенки абсолютно упругие, при попа-
дании в угол шайба останавливается. В начальный момент шайба находится
в точке A посередине стороны треугольника и имеет скорость, направленную
под углом α к этой стороне, 0 < α < π/2. Найдите все значения α, при кото-
рых шайба попадёт в угол B, совершив не более 6 столкновений со стенками.
Задача
1.8
(Бочка)
Бочку с песком равномерно катят вдоль горизонтальной прямой, наклонив на
угол α к горизонту. Радиус дна бочки равен R. В дне на расстоянии r от его
центра имеется отверстие, через которое песок равномерно высыпается. По-
лучите уравнение, описывающее след, оставляемый высыпающимся песком.
Нарисуйте этот след за один оборот. Укажите координаты его характерных

8
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
α
~v
A
B
Рис. 2.
точек, в том числе координаты центра масс.
Задача
1.9
* (Автомобиль)
Пилот гоночного автомобиля, движущегося со скоростью v
0
, увидел впереди
длинную стену поперёк дороги. Чтобы избежать столкновения, он может или
резко затормозить, или просто свернуть в сторону, или свернуть в сторону, од-
новременно тормозя задними колёсами. Какой из этих способов эффективнее,
то есть позволит избежать столкновения с наиболее близко расположенной
преградой? Коэффициент трения колёс о дорогу равен µ.
Задача
1.10
(Планета)
На некоторой планете может быть реализован следующий эксперимент. При
плоских колебаниях математического маятника длиной L = 3 м максималь-
ная сила натяжения нити отличается от минимальной в k = 4 раза, если мак-
симальный угол отклонения равен некоторому значению α. Такой же угол α с
вертикалью образует нить маятника, если она вращается с периодом T = 4,0 с
вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса. Определите уско-
рение свободного падения на данной планете.
Задача
1.11
(Космический корабль)
Космический корабль двигался по направлению к удалённому метеориту.
Пролетев вблизи него, корабль потерял k = 40% своей скорости в системе
отсчёта, относительно которой метеорит покоился. При этом корабль откло-
нился от первоначального направления движения на угол β = 120
◦
. Во сколь-
ко раз масса метеорита M отличается от массы корабля m?

Механика. Условия задач
9
Задача
1.12
(Два бруска)
m
1
m
2
Рис. 3.
Два бруска находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Они соеди-
нены пружиной, сжатой на величину ∆L = 2 см, и связаны нитью (рис.
3
).
Массы грузов равны m
1
= 100 г и m
2
= 300 г. Один груз касается стены.
Найти, на какую максимальную величину растянется пружина, если пере-
жечь нить.
Задача
1.13
(Канал)
На гладкой горизонтальной поверхности стоит брусок в форме прямоуголь-
ного параллелепипеда с проточенным в нём сквозным каналом, вход и выход
которого находятся на одинаковых расстояниях от основания. В отверстие
канала перпендикулярно к торцу бруска влетает шарик массой m со скоро-
стью v
0
и, пролетев канал, вылетает с другой стороны в том же направлении.
Трение отсутствует. С какой скоростью u движется брусок после вылета ша-
рика?
Задача
1.14
(Маятник Максвелла)
Маятник Максвелла массой m, состоящий из тонкого стержня радиусом r,
на котором посередине жёстко закреплён маховик радиусом R, подвешен к
потолку на двух одинаковых нитях. Аккуратно вращая стержень, нить намо-
тали на него так, что маятник поднялся на высоту h. Найти силу натяжения
нитей в момент прохождения свободно отпущенным маятником нижней точ-
ки своего движения. Всю массу маятника считать сосредоточенной в ободе
маховика. Заданные величины удовлетворяют условиям r ≪ R ≪ h.
Задача
1.15
* (Обруч)
На столе вертикально стоит невесомый обруч, в верхней точке которого жёст-
ко закреплён небольшой массивный груз массой m. Радиус обруча R, коэф-
фициент трения о стол равен µ. От очень слабого толчка обруч приходит в

10
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
движение в своей плоскости. Какую скорость v
max
приобретёт центр обруча
к тому моменту, как обруч перестанет катиться без проскальзывания?
Задача
1.16
(Два груза)
Два одинаковых груза могут скользить вдоль длинного вертикального стерж-
ня, укреплённого на полу. Сила трения грузов о стержень F постоянна и
много меньше силы тяжести грузов. Верхний груз со скоростью v ударяет
нижний груз, который покоился на высоте H от пола. Удары грузов друг о
друга и об пол абсолютно упругие. Через какое время t
f
движение грузов
прекратится?
Задача
1.17
(Проволочная скобка)
Лёгкая нерастяжимая нить длиной 2L = 2 м удерживается за её концы так,
что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит прово-
лочная скобка в виде перевёрнутой буквы U. Масса скобки m равна 1 грамму.
Нить выдерживает максимальную растягивающую силу F = 5 Н. (F ≫ mg).
Концы нити начинают перемещать в противоположных горизонтальных на-
правлениях с одинаковыми скоростями v = 1 м/с. В какой-то момент нить не
выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту от своего положения
в момент разрыва нити взлетит скобка? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача
1.18
(Дискретная модель движения лавины)
Снег, лежащий на склоне гор, иногда приходит в движение, образуя снежные
лавины. Снежные массы неожиданно начинают спускаться сверху, увлекая за
собой всё, что находится на склоне горы. Энергия лавины быстро нарастает,
превращая её в грозное стихийное бедствие. Для описания движения лавины
воспользуемся следующей моделью.
L
α
Рис. 4.
На длинной наклонной плоскости с углом α через одинаковые промежут-
ки L расставлены тяжёлые бруски (рис.
4
). От скольжения по плоскости
их удерживают сила сцепления, которая исчезает при сколь угодно малом
толчке. После освобождения бруски скользят с ничтожным трением. Если

Механика. Условия задач
11
верхний брусок придёт в движение, он столкнётся со вторым бруском, далее
цепочка из двух брусков столкнётся с третьим и так далее. Все соударения
предполагаются абсолютно неупругими. В результате возникает длинная це-
почка, к которой присоединяются всё новые и новые бруски. Этот процесс и
моделирует движение лавины по горному склону.
1. Пусть в цепочке движется n брусков. Определите приращение кинети-
ческой энергии ∆E цепочки после столкновения с (n + 1)-м бруском по
сравнению с энергией после столкновения с n-м бруском.
2. Найдите разность энергий цепочек из n ≫ 1 и k > n брусков E
k
− E
n
.
3. Как сказывается на движении лавины учёт силы трения? Ответьте на
вопросы предыдущих заданий, полагая, что угол наклона плоскости α
больше «лавиноопасного» угла β.
Задача
1.19
(Кирпичи)
Кирпичи кладут друг на друга так, как показано на рисунке
5
. Каждый
более высокий кирпич сдвигают на максимальную величину, не нарушающую
равновесия. Какое надо взять число кирпичей и на какие величины сдвинуть
их друг относительно друга, чтобы верхний кирпич оказался смещённым по
отношению к нижнему на длину кирпича a?
Рис. 5.
Задача
1.20
(Верёвка)
Один конец тонкой гибкой верёвки с линейной плотностью ρ тянут с постоян-
ной горизонтальной скоростью на высоте H над шероховатой поверхностью.
Второй конец верёвки свободен (рис.
6
). Длина части верёвки, соприкасаю-
щейся с поверхностью, равна l
1
. Найдите длину верёвки l
2
, не касающейся
поверхности. Коэффициент трения скольжения верёвки по поверхности ра-
вен k.

12
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
H
l
1
Рис. 6.
Задача
1.21
(За пределами второй космической скорости)
Космический корабль стартует с Земли со скоростью v
0
, превышающей вто-
рую космическую. Стартовая скорость перпендикулярна прямой, соединя-
ющей Землю с Солнцем, и направлена в сторону вращения Земли вокруг
Солнца (рис.
7
). С какой скоростью ~v корабль покинет Солнечную систему?
Найдите модуль этой скорости и угол α, который она образует с прямой, со-
единяющей Землю и Солнце. Корабль движется по ветви гиперболы, изобра-
жённой на рисунке
7
. Напомним, что для произвольной точки M гиперболы
r
1
− r
2
= 2a,
где a — расстояние от центра до вершины гиперболы, r
1
и r
2
— расстояния
от произвольной точки M гиперболы до фокусов F
1
и F
2
(рис.
7
).
a
F
1
F
2
α
M
~v
E
S
r
1
r
2
Рис. 7.
Задача
1.22
* (Противостояние Марса)
Одним из важных и обширных приложений классической механики является
небесная механика, описывающая движение космических объектов. В данной
задаче речь идёт о движении двух планет Солнечной системы — Земли и Мар-
са. Период обращения Земли вокруг Солнца равен T
E
= 365 суток, а марси-

Механика. Условия задач
13
анский год составляет T
M
= kT
E
, где k = 1,88. В отдельные моменты време-
ни планеты оказываются в положении, которое называют противостоянием.