Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада

14
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
отверстие сечением σ. В сосуд наливают воду. Когда высота воды в сосуде
достигнет величины h, пробка выскальзывает из отверстия, и сосуд прихо-
дит в движение с ускорением a. Найти коэффициент трения между дном и
поверхностью стола. Каков должен быть коэффициент трения, чтобы сосуд
остался на месте после выскальзывания пробки?
Задача
1.24
(Конус)
Конус с диаметром основания D и высотой H погружен в жидкость с плотно-
стью ρ. Ось конуса составляет с поверхностью жидкости угол α, расстояние от
поверхности жидкости до центра основания h (рис.
9
). Найти силу, действу-
ющую на боковую поверхность конуса. При решении можно воспользоваться
формулой для объёма конуса V = SH/3, где S — площадь основания конуса,
а H — высота конуса.
h
α
Рис. 9.
Задача
1.25
(Пробирка)
Стеклянная пробирка цилиндрической формы имеет длину L = 16 см и пло-
щадь сечения S = 1,0 см
2
. В неё насыпали немного песка для устойчивости
и погрузили в воду. Масса пробирки с песком m = 13 г. Верхний край пла-
вающей пробирки сместили вниз почти до поверхности воды и отпустили.
Найдите уравнение последующего движения пробирки.
Задача
1.26
* (Цунами)
В данной задаче исследуются некоторые особенности распространения волн
в жидкостях.
1. На поверхности океанов иногда наблюдаются гигантские волны — цуна-
ми. Найдите скорость таких волн, предполагая, что длина волны много
больше глубины океана h. При этом условии в волновое движение во-
влекаются все частицы воды, в противном случае только те частицы,

Механика. Условия задач
15
которые находятся в поверхностном слое толщиной порядка длины вол-
ны.
2. Вблизи прямолинейного участка берега моря на расстоянии L от него
произошёл взрыв. Считая, что дно моря слабо отличается от наклон-
ной плоскости, найдите длину участка берега, до которого дойдут вол-
ны, порождённые взрывом. Считать, что глубина моря в месте взрыва
достаточно мала.
Задача
1.27
* (Упругий жгут)
Шарик массой M прикреплён к концу упругого жгута массой m, длина кото-
рого в недеформированном состоянии равна L
0
. Жгут с шариком вращается
в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через другой конец жгу-
та. Шарик скользит по гладкой поверхности, жгут не провисает. Как зависит
расстояние шарика до оси вращения L от угловой скорости ω? При растяже-
нии жгута изменением его сечения S можно пренебречь. Жгут подчиняется
закону Гука при любых деформациях. Модуль Юнга равен E.
Задача
1.28
(Шарик и стержень)
Верхний конец однородного стержня массой M и длиной L шарнирно за-
креплён. Маленький шарик массой m подвешен на нити длиной L в точке
крепления стержня. От вертикально расположенного и находящегося в по-
кое стержня шарик отводят в сторону так, что он поднимается на высоту
h относительно нижнего положения, и отпускают. На какую высоту подни-
мутся шарик и конец стержня после неупругого удара? Как изменится ответ,
если отклонить и отпустить с той же высоты конец стержня, а не шарик?
Задача
1.29
(Катушка)
На цилиндрическую катушку радиуса R, способную вращаться вокруг го-
ризонтальной оси без трения, намотана тонкая нить длиной L ≫ R. Момент
инерции катушки равен J, линейная плотность нити ρ. Трение в оси и со-
противление воздуха пренебрежимо малы. Под действием веса свисающей
части нить разматывается, вращая катушку. Найти зависимость скорости v
и ускорения a свисающей с катушки части нити от её длины x.
Задача
1.30
(Шайба)
По горизонтальной ледяной поверхности со скоростью v
0
скользит без трения
маленькая цилиндрическая шайба радиусом R, вращаясь при этом вокруг оси
симметрии с угловой скоростью ω
0
, и налетает на вертикальную стенку под

16
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
углом ϕ (рис.
10
). Коэффициент трения шайбы о стенку равен µ. Потерями
энергии, связанными с деформацией шайбы и стенки при ударе, пренебречь.
Определите с какими скоростями v и ω и под каким углом ψ (рис.
10
) шайба
отскочит от стенки, если ω
0
>
4µv
0
cos ϕ
R
. При каких значениях коэффициен-
та трения µ шайба отскочит в обратном направлении, перестанет вращаться?
v
0
ω
0
ϕ
v
ω
ψ
Рис. 10.
Задача
1.31
* (Склеенный обруч)
На горизонтальной шероховатой поверхности находится обруч радиуса R,
склеенный из двух однородных половинок массами m
1
и m
2
(рис.
11
).
1. При какой минимальной скорости v
0
центра O обруч совершит полный
оборот без проскальзывания?
2. Определите период малых колебаний обруча вблизи положения равно-
весия.
3. Найдите максимально возможный угол α
max
наклона опорной плоско-
сти к горизонту, при котором обруч, находящееся на ней, ещё остаётся
в равновесии.
O
m
1
C
m
2
v
0
Рис. 11.

Теплота и молекулярная физика. Условия задач
17
Теплота и молекулярная физика
Задача
2.1
(Похолодание)
Когда на улице термометр показывает T
1
= −10
◦
C, а температура батареи
отопления T
0
= 55
◦
C, в комнате устанавливается температура T
k1
= 25
◦
C.
Какая температура T
k2
будет в комнате при том же уровне отопления, если
наступит похолодание до T
2
= −30
◦
C?
Задача
2.2
(Электрочайник)
Меняя напряжение, подаваемое на электрический чайник, можно изменять
потребляемую им мощность P . В зависимости от P чайник с водой можно
нагреть до различных максимальных температур. Эту зависимость отражает
таблица 1.
Мощность P , Вт
0
100
200
300
Температура t,
◦
C
20
40
60
80
Таблица 1
Остывание нагретого чайника, выключенного из сети, описывает таблица 2.
Определите объём воды, если теплоёмкость пустого чайника C
0
= 100 Дж/K,
удельная теплоёмкость воды c = 4200
Дж
кг · K
, плотность воды ρ = 1000 кг/м
3
.
Время τ , c
0
60
300
600
1200
2400
Температура t,
◦
C
80
75
60
45
30
20
Таблица 2
Задача
2.3
(Нагреватель)
Электронагреватель обеспечивает постоянную скорость нагрева образца
dT
dt
= 1,0
◦
C
c
. Исследовалось нагревание образца массой m = 10 г. В экспе-
рименте измерялась мощность P , потребляемая нагревателем, как функция
температуры T . Результаты измерений представлены в таблице:
T,
◦
C
230
231
232
233
234
235
236
P , Вт
111
123
130
737
155
159
171
В течение эксперимента образец расплавился. Найти для него удельную теп-
лоту плавления и температуру плавления.

18
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Задача
2.4
(Сосуд с водой)
В сосуде под невесомым поршнем находится вода. Как изменяется с
температурой теплоёмкость этой системы в температурном интервале
−30
◦
C 6 t 6 150
◦
C? Атмосферное давление считать нормальным. Изобра-
зите эту зависимость на графике.
Задача
2.5
(Стопка монет)
Большое число одинаковых монет уложили плоскими сторонами вплотную
друг к другу, разделив их круглыми кусочками бумаги, совпадающими по
диаметру с монетами. Получившийся длинный цилиндр завернули бумагой
в два слоя. Один из торцов этого цилиндра касается термостата, имеющего
постоянную температуру T
1
. Ближайшую к термостату монету и сам термо-
стат разделяет кусочек бумаги толщиной h. Сам цилиндр находится в возду-
хе, температура которого T
0
. Теплопроводность монет много больше тепло-
проводности бумаги. Диаметр монеты d, толщина монеты H. Толщина слоя
бумаги h (h ≪ d). Теплопроводность материала бумаги λ. Со временем уста-
новилось стационарное распределение температуры. Какое количество тепла
получает цилиндр из монет от термостата в единицу времени?
Задача
2.6
(Чайник)
В чайник с нагревательным элементом мощностью P = 2200 Вт налили
V
1
= 1,5 л холодной воды и включили его. Когда вода закипела, он автомати-
чески отключился. Через τ
1
= 60 с его снова включили, а ещё через τ
2
= 6 с
вода закипела, и чайник выключился. Сразу после этого его ещё раз вклю-
чили, но сняв крышку. Автоматический выключатель, срабатывающий под
давлением пара, перестал действовать, и вода из чайника начала выкипать.
Через τ
3
= 240 с после последнего включения измерили объём оставшейся
воды. Он оказался равным V
2
= 1,3 л. Каково значение удельной теплоты
парообразования воды r? Удельная теплоёмкость воды c = 4200 Дж/(кг · К),
плотность ρ = 1000 кг/м
3
. Теплоёмкостью чайника пренебречь.
Задача
2.7
(Ледяной покров)
Оцените, на какую величину ∆x за сутки увеличивается толщина льда, по-
крывающего водоём, при температуре окружающей среды t = −20
◦
C. В на-
чале похолодания толщина льда была равна h = 20 см. Теплопроводность
льда k = 2,2 Вт/(м · K), его удельная теплота плавления λ = 3,35 · 10
5
Дж/кг,
а плотность ρ = 900 кг/м
3
.

Теплота и молекулярная физика. Условия задач
19
Задача
2.8
(Пружина)
Между двумя плоскостями с постоянными температурами T
1
и T
2
(T
1
> T
2
)
находится идеальный газ с молярной массой M . Расстояние между плоско-
стями равно H. К верхней плоскости на невесомой пружине подвешен малень-
кий шарик массой m, средняя плотность которого равна ρ
0
. Длина пружины
в недеформированном состоянии L
0
. Коэффициент жёсткости пружины ра-
вен k. Температура линейно возрастает при удалении от нижней плоскости.
1. Найдите распределение плотности газа между плоскостями, считая, что
давление газа между плоскостями везде одинаково и равно p.
2. Найдите давление в газе p, если в положении равновесия длина пружи-
ны равна L
0
.
3. Найдите частоту малых колебаний шарика, считая, что при движении
шарика газ не перемешивается и не оказывает сопротивления движению
шарика.
Задача
2.9
(Процесс над газом)
Над одним молем идеального газа совершают процесс, показанный на ри-
сунке
12
. Найти максимальную температуру газа в течение этого процесса
(процесс считать квазистатическим).
p, кПа
V, м
3
0
2
4
3
Рис. 12.
Задача
2.10
(Термодинамический цикл)
C одним молем идеального одноатомного газа провели замкнутый цикл, изоб-
ражённый на рисунке
13
, где 1–2 изотерма, 2–3 изобара, 3–4 политропа, для

20
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
которой C = R/2, и 4–1 изохора. Минимальная температура, достигаемая га-
зом в цикле, T
min
= 300 К. Политропическим процессом называется процесс,
происходящий с постоянной теплоёмкостью C.
1. Укажите точки на цикле, в которых газ достигает максимальную T
max
и минимальную T
min
температуры, и определите T
max
.
2. Определите количество теплоты Q
+
, подведённое к газу за цикл.
3. Определите работу A газа за цикл.
4. Определите КПД цикла η и сравните с КПД идеальной тепловой ма-
шины, работающей между нагревателем и холодильником с температу-
рами, соответственно, T
max
и T
min
.
p
V
1
2
3
4
0
Рис. 13.
Задача
2.11
(Скороварка)
Известно, что в герметично закрытой кастрюле (скороварке) пища варится
быстрее, вследствие того, что в ней температура кипения воды выше 100
◦
C.
На сколько давление в скороварке должно быть выше атмосферного для то-
го, чтобы температура кипения в ней стала равной 105
◦
C? Удельная тепло-
та парообразования воды r = 2250 кДж/кг. Решите задачу, проанализировав
цикл Карно с рабочим телом вода–пар. Насыщенный водяной пар считайте
идеальным газом.
Задача
2.12
* (Фотонный газ)
С точки зрения квантовой физики электромагнитное излучение представля-
ет собой множество хаотически движущихся и невзаимодействующих друг с

Теплота и молекулярная физика. Условия задач
21
другом частиц — фотонов. Другими словами, электромагнитное излучение
представляет собой фотонный газ, который во многом аналогичен идеаль-
ному газу, рассматриваемому в молекулярно-кинетической теории. Есть и
существенные отличия. Все фотоны движутся с одинаковой скоростью (ско-
ростью света в вакууме), и их число не остаётся постоянным при изменении
состояния: фотоны рождаются и поглощаются. Тем не менее, ряд свойств
фотонного газа можно установить, опираясь на молекулярно-кинетическую
теорию идеальных газов, что и предлагается проделать в данной задаче.
1. Докажите, что давление P , оказываемое частицами идеального газа на
плоскую поверхность, определяется формулой
P =
1
3
n h~v · ~pi,
(1)
где n — число частиц в единице объёма, ~v — скорость частиц, ~
p — их
импульс, h~v · ~pi — среднее значение скалярного произведения ~v · ~p.
2. Используя формулу для давления частиц идеального газа (1), докажи-
те, что давление света P можно вычислить по формуле
P =
1
3
u,
(2)
где u — объёмная плотность энергии излучения.
3. Докажите, рассматривая цикл Карно для фотонного газа при малых
изменениях температуры и объёма, что световое давление пропорцио-
нально четвёртой степени абсолютной температуры.
4. Используя результаты предыдущего пункта, получите закон Стефана–
Больцмана для мощности излучения абсолютно чёрного тела с единицы
поверхности:
W = σT
4
,
где σ — постоянная Стефана–Больцмана, а T — абсолютная температу-
ра. Получите соотношение между σ и коэффициентом пропорциональ-
ности между давлением и четвёртой степенью температуры. При выводе
учтите, что число частиц газа, соударяющихся с единицей поверхности
стенки в единицу времени, равно
ν =
1
4
n hvi,
где n — число частиц в единице объёма, а hvi — средний модуль скорости
частиц.

22
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
5. Вычислите КПД цикла, совершаемого над фотонным газом. Цикл со-
стоит из четырёх последовательных процессов:
1) изобарическое расширение из состояния с температурой T
1
,
2) переход в состояние с температурой T
2
по закону P V
4
/3
= const,
3) изобарическое сжатие,
4) переход в исходное состояние снова по закону P V
4
/3
= const.
Задача
2.13
* (Пластина)
В широкий сосуд с водой опускают вертикально прямоугольную пластину
шириной L так, чтобы её конец коснулся поверхности жидкости. Пластина
смачивается водой. Угол смачивания равен θ. Коэффициент поверхностного
натяжения σ. Плотность воды ρ.
1. Найдите силу взаимодействия пластины с водой.
2. На какую высоту h поднимется жидкость у самой поверхности пластины
относительно уровня воды в сосуде?
3. Получите уравнение y = y(x), связывающее высоту y поднятия воды в
точке, удалённой от пластины на величину x.
Напомним, что искривлённая поверхность жидкости, подобно упругой
оболочке надувного шарика, оказывает в сторону вогнутости давление
p = σ

1
R
1
+
1
R
2

,
где R
1
и R
2
— наименьший и наибольший радиусы кривизны поверхности.
Для сечения поверхности, описываемого уравнением y = y(x) (то есть гра-
фику функции y = y(x) ), радиус кривизны находится по формуле
R =
1 + (y
′
)
2


3
/2
y
′′
.

Электричество и магнетизм. Условия задач
23
Электричество и магнетизм
Задача
3.1
(Шестиугольник)
В доску в вершинах правильного шестиугольника вбиты шесть гвоздей. Все
гвозди попарно соединены резисторами с сопротивлением R. Найдите сопро-
тивление между двумя соседними гвоздями.
Задача
3.2
(Полубесконечная цепочка)
Определите сопротивление полубесконечной цепи между точками A и B, если
сопротивление каждого звена равно R (рис.
14
).
Ðèñ.1.
A
B
Рис. 14.
Задача
3.3
(Резистор или диод)
К точкам A и B цепи, изображённой на рисунке
15
, можно подключать или
резистор с сопротивлением R, или диод, сопротивление которого в прямом
направлении много меньше R, а в обратном — много больше R. Найдите для
каждого из трёх возможных способов подключений зависимость показаний
амперметра от сопротивления R
x
. Нарисуйте графики полученных зависи-
мостей.
Задача
3.4
(Проволочный треугольник)
Из однородной проволоки диаметром d изготовлен правильный треугольник
со стороной L ≫ d. Середины сторон треугольника соединили той же про-
волокой, затем соединили середины сторон получившегося треугольника, и
так далее (рис.
16
). Найдите сопротивление получившейся проволочной сетки
между точками A и B. Оцените точность полученного результата. Удельное
сопротивление проволоки равно ρ.

24
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
3
R
R
R
R
A
A
B
E
R
x
A
B
Рис. 15.
Рис. 16.
Задача
3.5
* (Конечная цепочка)
В электрической цепи, изображённой на рис.
17
, ЭДС источника E = 10 В.
Звено R
2
–R
3
повторяется 17 раз.
E
R
2
R
2
R
2
R
1
R
3
R
3
R
4
A
B
17 звеньев
Рис. 17.
1. Найдите ток, текущий через резистор R
4
, если R
1
= R
3
= R
4
= 3 Ом,
R
2
= 6 Ом.
2. Анализ сложных электрических цепей можно упростить, если участок
цепи, содержащий несколько источников и резисторов заменить одним
эквивалентным источником с ЭДС E
e
и внутренним сопротивлением R
e
.
Каким эквивалентным источником (укажите E
e
и R
e
) можно заменить
участок A–E –B цепи, изображённой на рисунке
17
?
3. В цепи, изображённой на рисунке
17
, R
1
= 3 Ом, R
2
= 6 Ом, R
3
= 1 Ом,
R
4
= 17 Ом. Найдите ток через резистор R
4
.

Электричество и магнетизм. Условия задач
25
Задача
3.6
(Батарейки)
Имеется батарейка с ЭДС E
1
и внутренним сопротивлением r
1
, а также неко-
торое количество одинаковых батареек с ЭДС E
2
= E
1
/2. Если последователь-
но с батареей E
1
подключить некоторое количество батареек E
2
и нагрузку,
то сила тока в цепи при любом количестве батареек E
2
будет одинаковой.
Если же к батарейке E
1
параллельно подсоединить любое число батареек E
2
и ту же нагрузку, то сила тока через неё останется равной прежнему значе-
нию. Полярности всех батарей считать одинаковыми. Найдите сопротивление
нагрузки R, а также внутреннее сопротивление r
2
батареек E
2
.
Задача
3.7
(Диоды)
В схеме, изображённой на рисунке
18
, имеются четыре диода. Известно, что
при любом напряжении, подведённом к выводам схемы, ток через амперметр
не течёт. Вольт-амперные характеристики трёх диодов D
1
, D
2
и D
3
известны
(рис.
19
). Постройте вольт-амперную характеристику четвёртого диода.
D
A
D
2
D
1
D
3
4
U, В
D
2
D
1
D
3
I, А
0
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,4
Рис. 18.
Рис. 19.
Задача
3.8
(Дуговой разряд)
При каких сопротивлениях резистора R в цепи, изображённой на рисун-
ке
20
, в случае размыкания рубильника K может возникнуть дуговой разряд?
Вольт-амперная характеристика дуги имеет вид:
U = A +
B
I
,

жүктеу/скачать 1,7 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: