Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада

26
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
K
E
R
Рис. 20.
Задача
3.9
* (ВАХ цепочки)
В задаче исследуются вольт-амперные характеристики (ВАХ) цепочек, со-
держащих нелинейные элементы.
1. Бесконечная цепочка (рис.
21
) составлена из резисторов сопротивлени-
ем R и диодов с вольт-амперной характеристикой, показанной на рисун-
ке. Найдите вольт-амперную характеристику этой цепочки на участке
U ≫ ∆U.
HL
VD
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,4
I
U
0
Рис. 21.
2. Цепочка, изображённая на рисунке
22
, состоит из N звеньев. Все эле-
менты цепочки имеют такие же характеристики, как и в предыдущем
пункте. Ток через последнее звено равен I
0
. Найдите ток I через всю
цепь и напряжение U на ней. При решении задачи можно воспользовать-
ся формулой n-го члена последовательности Фибоначчи (a
1
= a
2
= 1,
a
n+2
= a
n
+ a
n+1
):

Электричество и магнетизм. Условия задач
27
a
n
=
 
1 +
√
5
2
!
n
−
 
1 −
√
5
2
!
n
√
5
.
R
R
R
R
Рис. 22.
3. Постройте вольт-амперную характеристику бесконечной цепочки, со-
стоящей из одинаковых диодов и одинаковых лампочек (рис.
23
). Вольт-
амперные характеристики диода и лампочки приведены на рисунке
23
и обозначены V D и HL соответственно.
3
4
U, В
HL
V D
I, А
0
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,4
Рис. 23.
Задача
3.10
(Два кольца)
Два параллельных тонких кольца, радиусы которых одинаковы и равны
R = 50 мм, имеют общую ось. Расстояние между кольцами d = 12 см. На пер-
вом кольце равномерно распределён заряд q
1
= 8,2 · 10
−7
Кл, а на втором
q
2
= 6,0 · 10
−7
Кл. Найдите работу A сил электрического поля при перемеще-
нии заряда q = 3,0 · 10
−9
Кл из центра одного кольца в центр другого.

28
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Задача
3.11
(Заряженное кольцо)
Тонкий диск радиусом R и кольцо, изготовленное из проволоки малого диа-
метра, расположены соосно (рис.
24
). По кольцу равномерно распределён за-
ряд q такой, что силовые линии, выходящие из кольца под углом α = 45
◦
к
оси симметрии системы, как раз касаются края диска, который не заряжен
(плотность зарядов на диске везде равна 0). С какой силой будут взаимодей-
ствовать кольцо и диск, если диск также зарядить зарядом q, равномерно
распределённым по поверхности диска?
α
R
Рис. 24.
Задача
3.12
(Счётчик Гейгера)
В задаче исследуются физические явления, имеющие место в счётчике Гейге-
ра. Счётчиком Гейгера называют прибор, предназначенный для регистрации
элементарных частиц посредством измерения тока в газе, вызванного этими
частицами. Он представляет собой камеру, заполненную газом, например,
аргоном. В камере имеется два электрода, чаще всего в виде коаксиальных
(соосных) цилиндров (рис.
25
), к которым через резистор R подаётся элек-
трическое напряжение V . Образовавшиеся при ионизации ионы и электроны
движутся к противоположным электродам. Появляющийся в результате это-
го ток создаёт на резисторе R напряжение, которое регистрируется и даёт
информацию о прошедших через камеру элементарных частицах.
Исследуйте процессы, происходящие в счётчике Гейгера при регистрации
α-частиц (ядер атомов гелия). Рекомбинацией ионов, а также возникновением
лавины ионов пренебречь.
1. Электроёмкость конденсатора, образованного электродами счётчика,
C = 45 пФ, сопротивление резистора R = 10 МОм. Счётчик регистри-
рует α-частицы с энергией E = 5,3 МэВ. Длина их свободного пробега

Электричество и магнетизм. Условия задач
29
V
R
α-частицы
Рис. 25.
в газе, заполняющем счётчик, меньше размеров камеры. Энергия, необ-
ходимая для образования пары ионов, заряд каждого из которых ра-
вен одному элементарному заряду, E
i
= 35 эВ. Как с течением времени
будет изменяться напряжение на резисторе после попадания в камеру
одной α-частицы? Произведение RC много больше времени движения
образующихся ионов и электронов в межэлектродном пространстве.
2. Радиус внутреннего цилиндрического электрода (анода) счётчика равен
R
a
= 3,0 мм, а внешнего R
c
= 10,0 мм. В результате пролёта ионизиру-
ющих частиц на электродах осели ионы, заряд которых, приходящийся
на единицу длины цилиндров, равен λ. Получите выражение для на-
пряжённости поля E(r) и потенциала ϕ(r), отсчитываемого от катода,
в зависимости от расстояния r до оси цилиндров (R
a
6
r 6 R
c
). При ка-
кой разности потенциалов между электродами произойдёт пробой газа,
если он наступает при напряжённости E
b
= 3 МВ/м?
3. На счётчик, описанный в предыдущем пункте, падает пучок α-частиц,
ионизирующий ежесекундно Γ молекул. Скорость движения v возника-
ющих в результате ионизации положительных ионов пропорциональна
напряжённости поля (v = µE, где µ — подвижность ионов). Найдите
установившееся распределение плотности положительных зарядов в за-
висимости от расстояния до оси. Рекомбинацией ионов и полем объём-
ных зарядов пренебречь. Считать, что в установившемся режиме заряд
единицы длины цилиндров равен λ.
Задача
3.13
* (Молекулярные кристаллы)
В молекулярных кристаллах упорядоченно расположены сравнительно сла-
бо связанные друг с другом структурные единицы, представляющие собой
отдельные атомы (или группы сильно связанных между собой атомов). Про-

30
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
стейшие молекулярные кристаллы могут образовывать атомы инертных га-
зов, например, аргона Ar. Кристалл аргона и изучается в данной задаче.
На сравнительно больших расстояниях друг от друга атомы инертных га-
зов притягиваются слабыми силами, называемыми силами Ван-дер-Ваальса.
При значительном сближении атомов проявляется их интенсивное отталки-
вание. Такое взаимодействие неплохо описывается так называемым потенци-
алом Леннарда–Джонса:
U (r) = 4ε


σ
r

12
−

σ
r

6

.
Здесь U (r) — потенциальная энергия двух атомов, находящихся на рассто-
янии r друг от друга; ε и σ — постоянные величины, которые для атомов
аргона имеют следующие значения ε = 0,0104 эВ, σ = 3,40 ˚
A.
1. Изобразите схематично вид зависимости U (r).
2. Определите равновесное расстояние r
0
, на котором находились бы два
атома аргона в отсутствие других атомов.
Элементарная ячейка кристалла аргона (рис.
26
) представляет собой гра-
нецентрированный куб. Атомы, которые можно считать классическими ча-
стицами, движутся вблизи узлов решётки, совпадающих с вершинами куба
и центрами его граней. Кинетическая энергия атомов мала по сравнению с
потенциальной энергией. В этом приближении приемлема показанная на ри-
сунке
26
модель элементарной ячейки, состоящей из неподвижных шаров,
расположенных в узлах решётки.
a
r
1
Рис. 26.
3. Покажите, что энергия взаимодействия атома аргона с кристаллом E

Электричество и магнетизм. Условия задач
31
(энергия связи) может быть представлена в виде:
E = 4ε
 
A
 σ
r
1

12
− B
 σ
r
1

6
!
,
где r
1
— расстояние между ближайшими соседями. Найдите численные
значения коэффициентов A и B, учитывая только вклад от шести групп
ближайших атомов (в каждую группу входят атомы, находящиеся на
равном расстоянии от рассматриваемого атома).
4. Определите постоянную решётки a (рис.
26
) для кристалла аргона.
5. Найдите модуль всестороннего сжатия æ кристалла аргона, то есть ве-
личину æ = −V
dp
dV
, характеризующую изменение его объёма dV при
изменении внешнего давления на dp.
Задача
3.14
* (Колебания в цепи с диодами)
Цепь на рисунке
27
состоит из двух конденсаторов с ёмкостями C
1
и C
2
, двух
катушек с индуктивностями L
1
и L
2
, двух идеальных диодов D
1
и D
2
и клю-
ча K. Первоначально конденсатор C
2
зарядили до напряжения U
0
. В нулевой
момент времени ключ K замыкают.
C
1
C
2
L
1
L
2
D
1
D
2
K
U
0
Рис. 27.
1. Найдите продолжительность τ переходного процесса (то есть момент
времени τ , начиная с которого процесс станет периодическим).
2. Определите период T колебаний в установившемся режиме.
3. Найдите напряжения U
1
и U
2
на конденсаторе C
2
в те моменты времени
после замыкания ключа, когда ток, текущий через него, обращается в
нуль.
4. Определите амплитуду A колебаний напряжения на конденсаторе C
2
в
установившемся режиме.

32
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
5. Подытожьте ответы на предыдущие вопросы, качественно изобразив
график зависимости напряжения U на конденсаторе C
2
от времени t в
промежутке от 0 до (τ + T ). Отметьте на графике координаты харак-
терных точек (максимумов, минимумов и точек пересечения с осями).
Задача
3.15
(Эффект Холла)
Введём в однородное магнитное поле с индукцией ~
B полупроводниковую пла-
стинку толщиной a (рис.
28
), по которой течёт ток I. Между поверхностями
A и B возникает напряжение U , пропорциональное току I:
U = R
BI
a
.
Описанное явление называют эффектом Холла. Величина R — коэффициент
Холла. Определите коэффициент Холла в электронно-дырочном полупровод-
нике.
Ток в таком проводнике обусловлен как
A
B
a
I
~
B
Рис. 28.
электронами, концентрация которых n, по-
движность µ
n
, так и дырками, концентра-
ция которых p, а подвижность µ
p
. Напом-
ним, что подвижностью называют отноше-
ние скорости направленного движения ча-
стиц к вызывающей это движение силе,
приходящейся на их единичный заряд.
Задача
3.16
* (Дрейф)
Вблизи длинного прямолинейного провода, по которому течёт ток I, помести-
ли частицу с зарядом q и массой m на расстоянии r
0
от провода и сообщили
ей скорость v
0
, направленную против тока.
1. Найдите минимальное r
min
и максимальное r
max
расстояния частицы от
провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость
частицы направлена перпендикулярно к нему?
2. Найдите скорость ~u дрейфа частицы, то есть скорость смещения вдоль
провода максимально и минимально удалённых от него точек траекто-
рии при условии
α = 2π
mv
0
µ
0
qI
≪ 1,
где µ
0
— магнитная постоянная.

Оптика. Условия задач
33
Оптика
Задача
4.1
(Зеркала)
Два плоских зеркала образуют двугранный угол, равный 90
◦
. Собирающая
линза с фокусным расстоянием F вставлена в угол так, что её главная опти-
ческая ось составляет угол 45
◦
с каждым зеркалом. Диаметр линзы равен 2F .
На главной оптической оси линзы на расстоянии d = 1,5F от линзы находится
источник света S. Найдите положение изображения источника света.
Задача
4.2
(Котлован)
Человек, стоя на краю высокого обрыва, смотрит на ровное плоское дно кот-
лована шириной L, заполненного водой глубиной h (рис.
29
). Высота обры-
ва H. Размеры котлована удовлетворяют неравенствам L ≫ H ≫ h. Пока-
затель преломления воды равен n. Как зависит от расстояния до обрыва
видимая глубина котлована?
0
L
H
h
Рис. 29.
Задача
4.3
* (Световой зайчик)
Человек, стоящий на расстоянии h от длинной ровной стены, освещает её лу-
чом фонарика, вращая фонарик в горизонтальной плоскости слева направо
с постоянной угловой скоростью ω. Учитывая конечность скорости распро-
странения света c, найдите как с точки зрения человека будут изменяться со
временем положение светового зайчика на стене и скорость его движения.
Задача
4.4
(Сферическое зеркало)
Солнечные лучи падают на вогнутое сферическое зеркало диаметром D па-
раллельно его оси симметрии. Радиус кривизны поверхности зеркала R ≫ D.

34
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
В фокальной плоскости зеркала перпендикулярно его оси симметрии поме-
щён непрозрачный экран радиусом r. Как зависит средняя освещённость све-
тового пятна на экране от радиуса экрана?
Задача
4.5
* (Аквариум)
Пучок света, проходя через пустой сферический аквариум, испытывает пре-
ломление на поверхностях сфер, разделяющих стеклянные стенки с возду-
хом, подобно преломлению на границах линз оптической системы. В задаче
исследуются характеристики аквариума как оптической системы. Можно ис-
пользовать формулу сферической поверхности:
n
1
a
−
n
2
b
=
n
1
− n
2
R
.
Здесь n
1
и n
2
— показатели преломления первой и второй (по ходу луча) сред,
разделённых этой поверхностью, а величины a, b и R — взятые со знаками
«плюс» или «минус» расстояния от поверхности сферы до источника S, его
изображения S
1
и центра сферы O (рис.
30
). Знак «плюс» берётся, если рас-
стояние отсчитывается по ходу луча, а «минус» в противоположном случае.
n
1
n
2
R
O
S
S
1
|a|
|b|
Рис. 30.
1. Найдите для узкого пучка света фокусное расстояние стенки пустого
аквариума. Толщина стенки δ = 5 мм, радиус аквариума R = 10 см,
показатель преломления стекла n = 1,6.
2. Найдите фокусное расстояние всего аквариума, который отличается от
рассмотренного в первом пункте лишь тем, что имеет толщину δ = R/2
(толстый аквариум).
3. На расстоянии 2R от центра толстого аквариума помещают точечный
источник света. На каком расстоянии s от внешней поверхности ак-
вариума наблюдатель, находящийся с противоположной от источника
стороны, увидит изображение светящейся точки?

Решения задач
Механика
Задача
1.1
(Две частицы)
Обе частицы, рассматриваемые в задаче, движутся с постоянными ускорени-
ями, равными ускорению свободного падения ~g. Проекции их скоростей на
горизонтальную x и вертикальную y оси равны:
v
1
x
= v
0
cos α,
v
1
y
= v
0
sin α − gτ
v
2
x
= v
0
cos 2α,
v
2
y
= v
0
sin 2α − gτ.
(1)
Индекс 1 относится к частице, начальная скорость которой направлена под
углом α к горизонту, а индекс 2 — к другой частице. Так как скорости в
момент времени τ оказались сонаправленными, то
v
1
y
v
1
x
=
v
2
y
v
2
x
,
или после подстановки соотношений (1):
tg α −
g
τ
v
0
cos α
= tg 2α −
g
τ
v
0
cos 2α
.
Из этого уравнения после тригонометрических преобразований получим от-
вет:
τ =
v
0
g
tg 2α − tg α

1
cos 2α
−
1
cos α
 ,
tg 2α − tg α =
sin 2α
cos 2α
−
sin α
cos α
=
sin α
cos 2α cos α
,
1
cos 2α
−
1
cos α
=
2 cos(α/2) cos(3α/2)
cos 2α cos α
,
τ =
v
0
cos(α/2)
g
sin(3α/2)
.
(2)

36
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
Задачу можно решить и другим способом, не требующим тригонометриче-
ских преобразований. Для этого нужно рассмотреть движение одной частицы
относительно другой. Из закона сложения ускорений (аналогично закону сло-
жения скоростей) следует, что частицы движутся друг относительно друга с
постоянной скоростью. Скорость ~v
12
первой частицы относительно второй
~v
12
= ~v
1
− ~v
2
= ~v
10
− ~v
20
,
(3)
где индексом 0 отмечены начальные значения скоростей. В момент времени τ
скорости ~v
1
, ~v
2
и ~v
12
сонаправлены. Имея это в виду, изобразим (рис.
31
) тре-
угольник скоростей ABC, соответствующий формуле (3), а также треуголь-
ник ABD, отражающий равенство
~v
1
= ~v
10
+ ~gτ.
Так как AB = BC = v
0
, то ∠BAC = 90
◦
−
α
2
, а ∠ADB =
3α
2
.
A
B
C
D
α
2α
~gτ
~v
1
~v
12
~v
10
−~v
20
Рис. 31.
Применяем к △ABD теорему синусов:
v
0
sin
 3α
2
 =
g
τ
cos

α
2
 .
Отсюда сразу следует ответ (2). Таким образом, переход в другую систему
отсчёта позволил использовать геометрию вместо проведения тригонометри-
ческих преобразований.
Задача
1.2
(Эхолот)
В соответствии с условиями задачи морское дно в месте отплытия корабля
приближённо можно рассматривать в виде двух наклонных плоскостей AB и

Механика. Решения задач
37
BC (рис.
32
), углы наклона которых α и β. Подтверждением плоской моде-
ли у самого берега служат приведённые в условии результаты акустических
измерений:
h
1
L
1
=
150
100
≈
h
2
L
2
=
200
140
≈
h
3
L
3
=
300
250
≈ 1,4.
Полученное отношение равно tg α. Отсюда следует, что у берега дно опуска-
ется под углом α ≈ 55
◦
к горизонту.
L
3
h
3
α
β
B
C
α
0
A
B
C
x
y
F
1
F
2
β
α
M
Рис. 32.
Рис. 33.
Происхождение второго отражённого сигнала эхолота ясно из показанно-
го стрелками на рисунке
32
хода акустического луча. Нужно найти поло-
жение плоскости BC. Точка, в которой происходит отражение луча, должна
быть расположена c одной стороны так, чтобы было обеспечено зарегистриро-
ванное эхолотом время прохождения через неё акустического луча, с другой
стороны необходимо, чтобы угол падения акустического луча на плоскость
BC был равен углу его отражения
1
. Этим условиям удовлетворяет точка M ,
принадлежащая участку эллипса, изображённого на рисунке
33
. F
1
и F
2
—
фокусы эллипса. Расстояние F
1
F
2
равно h
3
(рис.
32
). Заданная в условии ве-
личина h
4
получается, аналогично h
1
, h
2
и h
3
умножением скорости звука
на половину интервала времени между принятым и отправленным эхолотом
сигналами, то есть
h
4
=
1
2
(F
1
F
2
+ F
2
M + M F
1
) =
1
2
(h
3
+ 2a) =
1
2
h
3
+ a,
(1)
где a — большая полуось эллипса. Поскольку нормаль эллипса ~n в точке M
1
При этом звук, как указано в условии, отражается ото дна не только под углом падения,
но также и по всем остальным направлениям. Однако условие «угол падения равен углу
отражения» обеспечивает минимальное времени прохождения звукового сигнала, которое
и окажется временем регистрации этого сигнала.

38
Международная физическая олимпиада «Туймаада»
является биссектрисой угла ∠F
2
M F
1
, то искомая плоскость BC — касатель-
ная к эллипсу в этой точке. Найдём тангенс угла наклона касательной:
tg β = −
dx
dy
,
(2)
где x и y — координаты точки эллипса M . Они связаны уравнением эллипса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
(3)
Дифференцируя (3), получим
tg β =
a
2
b
2
y
x
.
(4)
Большая полуось эллипса находится из (1):
a = h
4
−
1
2
h
3
= 250 м.
(5)
Численные вычисления целесообразно использовать в связи с громоздкостью
выражений в общем виде. Малая полуось эллипса
b =
p
a
2
− c
2
=
q
h
2
4
− h
4
h
3
= 200 м.
(6)
Координаты x и y точки M удовлетворяют не только уравнению эллипса (3),
но и, как следует из рисунка
33
, соотношению
x = −
y
tg 2α
+
h
3
2
= 0,364y + 150,
(7)
где x и y измеряются в метрах. Подставляя (7) в (3), получим квадратное
уравнение для нахождения y:
2,712 · 10
−5
y
2
+ 1,747 · 10
−3
y − 0,640 = 0.
Отсюда y = 125 м, и из (7) находим x = 195 м. С найденными значениями
получаем из (4) β = 45
◦
.
Задача
1.3
(Камень)
Для описания движения камня выберем декартову систему координат так,
как показано на рисунке
34
. К камню приложены сила тяжести m~g и сила
сопротивления ~
F , направленная навстречу скорости ~v. Запишем уравнения
второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси:
m
dv
x
dt
= −kv
x
,
(1)

Механика. Решения задач
39
H
L
m~g
~v
~u
~
F
x
0
y
~v
0
Рис. 34.

жүктеу/скачать 1,7 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: