Определение подобных треугольников
жүктеу/скачать 1,98 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Условие
- Доказательство
- Доказательства теорем.
- Вывод.
- Список литературы
Решение задач.З  адача №1.
Условие: В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. Дано: Треугольник АВС, АD – медиана, О – середина АD, ВО∩АС=К Найти: АК:КС=?:? Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая получаем 
Ответ: АК:КС=1:2 Задача №2. 
Условие: Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Дано: Треугольник АВС, АD – медиана, К€AD, АК : КD = 3 : 1, ВК – прямая. Найти: 
Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение  . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то
По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем 
Ответ:  .
З  адача №3.
Условие:Через точку P, лежащую на медиане CC1 треугольника ABC, проведены прямые AA1 и BB1 (точки A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA соответственно). Дано: Треугольник АВС, СС1 – медиана АВС, Р€СС1, АА1∩ВВ1=Р, А1€ВС, В1€СА Доказать: A1B1 || AB. Доказательство:Первый способ. Пусть A2 — середина отрезка A1B. Тогда A1P — средняя линия треугольника CC1A2. Из равенств 
следует, что 
Аналогично докажем, что 
Поэтому 
Следовательно, A1B1 || AB. Второй способ. Проведём через вершину C прямую, параллельную AB. Пусть M и K — точки её пересечения с продолжениями отрезков AA1 и BB1 соответственно. Тогда 
Поэтому
Следовательно, A1B1 || AB. Третий способ. Поскольку отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы 
а т.к.  то
откуда находим, что 
Следовательно, A1B1 || AB. З  адача №4.
Условие: Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Дано: Треугольник QAD, QM – медиана QAD,QM – прямая, Р€QM, Q€QM, АВСD – четырехугольник (В€AQ, C€DQ), AN и DK – диагонали ABCD, AN∩DK=P, AB и CD – прямые, AB∩ CD=Q Доказать: Прямая QN делит пополам сторону BC. Доказательство:Первый способ. Если точки P и Q лежат по разные стороны от прямой BC, то точка P принадлежит медиане QM треугольника QAD. Если же по одну, то точка P принадлежит продолжению медианы QM треугольника QAD. Докажем, что в каждом из этих случаев BC || AD. Пусть QM — медиана треугольника QAD. Проведём через вершину Q прямую, параллельную AD. Пусть N и K — точки пересечения этой прямой с продолжениями отрезков AC и DB. Тогда 
Поэтому, 
Следовательно, BC || AD. Тогда ABCD — трапеция. По замечательному свойству трапеции прямая PQ проходит через середину BC. Аналогично для второго случая. Второй способ. Пусть QM — медиана треугольника QAD. Поскольку отрезки AC, DB и QM пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы 
а т.к.  то
откуда находим, что 
Следовательно, BC || AD. Тогда ABCD — трапеция. По замечательному свойству трапеции прямая PQ проходит через середину BC. Аналогично для второго случая. Доказательства теорем.З  адача №5.
Формулировка: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. Дано: Треугольник АВС, АМ1, ВМ2 и СМ3 – медианы АВС (М1€ВС, М2€АС, М3€АВ) Доказать: 1. АМ1∩ ВМ2∩СМ3=O. 2. AO:M1=BO:OM2=CO:OM3=2:1 Доказательство: 1.Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что 
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Следовательно: 
Мы доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2.Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая 
Рассмотрим теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С и мы получим, что 
Что и требовалось доказать. З  адача №5.
Формулировка: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: Треугольник АВС, АL1, ВL2 и СL3 – биссектрисы АВС (L1€ВС, L2€АС, L3€АВ) Доказать: АL1∩ ВL2∩СL3=O Доказательство: Достаточно показать, что  Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:
Перемножаем почленно полученные равенства и получаем: 
Мы выяснили, что для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать. З  адача №6.
Формулировка: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. Дано: Остроугольный треугольник АВС, АH1, ВH2 и СH3 – высоты АВС (H1€ВС, H2€АС, H3€АВ) Доказать: АH1∩ВH2∩СH3=O Доказательство: Первый способ. Пусть AB=c, AC= b, BC=a. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВН2 и ВСН2. По теореме Пифагора мы выразим квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b – х. (ВН2)2 = с2 – х2 и (ВН2)2 = а2 – (b – х)2. Приравнивая правые части полученных равенств, получаем с2 – х2 = а2 – (b – х)2, откуда 
Тогда 
Итак, 
Так же рассматриваем такие прямоугольные треугольники, как АСН3 и ВСН3, ВАН1 и САН1, и получаем 
Второй способ. Для доказательства теоремы достаточно показать, что 
Тогда по теореме Чевы (обратной) получается, что отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Что и требовалось доказать. Вывод.С помощью обобщения теоремы Фалеса, теорем Чевы и Менелая, не изучаемых в школьной программе, можно быстрее и легче доказывать определенные теоремы и решать более широкий круг задач. Я смогла доказать такие теоремы как: теорема о пропорциональных отрезках (с помощью обобщения теоремы Фалеса), теоремы о пересечении медиан, высот и биссектрис треугольника в одной точке (воспользовалась теоремами Чевы и Менелая). Так же я показала, что одну задачу можно решать двумя способами: первый – с помощью теорем, изучаемых в школьной программе, второй – с помощью рассмотренных мною теорем. Я наглядно Вам представила, что решение с помощью теорем Чевы и Менелая короче. Тема ЕГЭ сейчас очень актуальна и эти теоремы могут быть полезны для решения задач ЕГЭ в С4 (планиметрия). На написание ЕГЭ по математике отводится 4 часа(240 мин.). С помощью теорем можно сэкономить время и решить большее количество задач. Список литературы:Учебник: Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику `Геометрия, 7-9` авторов Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова и др. (М.: Просвещение, 1990 и последующие издания). Сайты: Обобщающий урок "Теоремы Менелая и Чевы" :: Фестиваль «Открытый урок». http://festival.1september.ru Каталог по темам. http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=302 http:// ru.wikipedia.org 1 Дополнительные главы по геометрии 8 класса(Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина).М.: Просвещение, 1996 2 http:// ru.wikipedia.org 3 Большая советская энциклопедия. 4 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема. жүктеу/скачать 1,98 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|