Основными формами математического описания динамических систем являются:
уравнения состояния;
передаточные функции (ПФ) для линейных систем;
графо-аналитическое представление (структурные, функциональные и структурно-функциональные схемы).
Причем, существует определенная взаимосвязь между этими формами представления:
Рассмотрим подробнее каждую из этих форм.
В виде уравнений состояния:
u, y, t, x - уже введены в рассмотрение.
F; f - вектор функции.
Если система линейна, то она может быть представлена в виде:
А,В,С,Д - матрицы, размерность которых определяется размерностью векторов X,U,Y, зависящие или независящие от t.
Иногда эти матрицы называют следующим образом:
А(nxn) - матрица объекта;
В(nxm) - матрица управления;
С(lxn) - матрица выхода
Д(lxm) - матрица компенсации
n; m; l - размерность вектора состояния, число входов и выходов соответственно.
Построение моделей в данном случае сводится к определению вектор-функций F; f или матриц А, В, С, D.
Моделирование достаточно просто выполняется после выбора из многообразия численных методов наиболее соответствующего поставленным задачам.
В виде передаточных функций (ПФ) для линейных систем.
Если рассматривается система с одним входом и одним выходом:
W(s) - ПФ, представляемая, как правило, в виде отношения двух полиномов ст “s”.
Если система имеет “m” входов и “l” выходов, то математической моделью не является матричная передаточная функция, каждый элемент который является скалярной величиной, аналогичной предыдущему случаю.
Построение модели - определение коэффициентов полиномов.
Графо-аналитический подход отображает графически процесс прохождения и преобразования сигналов в системе.
В структурных схемах процесс преобразования определяется типовыми элементами: интеграторы, апериодические звенья, колебательные, сумматоры, усилители, нелинейные характеристики и т.д. Как правило, вид типового звена однозначно определяет алгоритм преобразования, поступающего на элемент сигнала.
В функциональных схемах элементы определяют только свое назначение, поскольку алгоритм преобразования сигналов или очень сложно представить, или практически невозможно. Например,
В одних случаях (двигатель) функциональный элемент является совокупностью структурных, в другом (манипулятор) описывается сложными уравнениями, и не может быть представлен в виде типовых звеньев.
С “инженерной” точки зрения графо-аналитическая форма является наиболее удобной ММ, поскольку включает в себя и “математическую”, и “физическую” основу процессов.
Задача построения таких ММ - определение структуры и параметров. Моделирование основывается на использовании специальных алгоритмов.
Структурно-функциональная модель - модель, включающая как структурные, так и функциональные элементы.
В связи с этим может быть введен в рассмотрение обобщенный структурно-функциональный элемент, с помощью которого в наглядном виде могут быть представлены сложные динамические системы.
В качестве примера структурно-функциональной модели может быть рассмотрена ММ работа, состоящая из манипулятора (функциональная модель) и системы приводов (структурное представление).
Функциональная модель:
