котангенсі деп­аталады.­ α бұрыштың котангенсі   ctgα

37
8
10
sin
0,8
BC
AB
A
=
=
=
;
  
4
3
8
4
1
6
3
3
tg
1
A
=
= =
; 
   
6
10
cos
0,6
AC
AB
A
=
=
=
;
  
3
4
6
3
8
4
ctg
0,75
A
=
= =
;
 
  
Жауабы:­­
 sin
A
 = 0,8; cos
A
 = 0,6;
=
1
3
tg
1
A
; ctg
A
 = 0,75. 
біліп қойған жақсы!
 
 “
Синус”  термині  латын  тілінен  алынған,  ол  “иілу”  деген 
мағынаны білдіреді.
  “Тангенс” термині  латын тілінен аударғанда “жанама” деген 
мағынаны білдіреді.
  “Косинус” және “котангенс” терминдері  “комплементи синус” 
және  “комплементи тангенс” –  “толықтырғыш синус” және 
“то  лық тырғыш  тангенс”  терминдерінің  қысқартылған  түрі  
болып табылады. 



?
N
M
3
K
M
L
N
 
4
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
 1. 
1)  Тік  бұрышты  үшбұрыштың  қабырғаларынан  қандай  қатынастар 
құруға болады және олар қалай оқылады?
 
2) Тік бұрышты үшбұрышта сүйір бұрыштың синусы, косинусы, тан­
генсі және котангенсі деп нелерді айтады және олар қалай белгіленеді?
 2. 
Әрбір  қалдықтың  анықтамасына  орай,  К  бұрыштың  қайсы  тригоно­
мет рия лық  функциясын  өрнектейді  (3­сурет):  a)
KN
KM
;  ә) 
MN
KN
;  б) 
MN
KM
;  
в)
KN
MN
?
 3. 
­ABC
 үшбұрышында
­
∠
C­
= 90°, 
AB
 = 6 cм, 
BC
  =  5 
cм,  
AC
 = 
 cм (1­суретке қара).  
А
  және  
В
 бұ­
рыш тарының  синусы,  косинусы,  тангенсі  және 
котангенсі мәндерін табыңдар.
 4. 
Тік  бұрышты  үшбұрышттың  сүйір  бұрышының 
си нусы:  a)  0,98;  ә)
2
;  б) 
5 2
−
  ­ге  тең  болуы 
мүм кін бе?
 
5. 
Тік  бұрышты
 
MNL
  үшбұрышында 
24
25
sin
=
N
­ға  
тең.  Бұл  теңдіктен  үшбұрыштың 
       қайсы қабырғаларын табуға болады (4­сурет)?
 6. 
MNL
  үшбұрышында 
∠
L­
= 90°, 
MN
 = 13  cм, 
ML
 = 12  cм, 
NL
 = 5  cм  (4­сурет). 
М
  бұрышының 
синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі мән дерін табыңдар.
.
 7. 
A
BC
 үшбұрышында 
∠
C­
= 90°, 
AB
 = 17 cм, 
BC
 = 8 cм, 
AC
 = 15 cм. 
А­
және 
В­
бұрыштарының синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі мәндерін 
та бың дар.
http:eduportal.uz

38
1.
 
Сүйір бұрыштың тригонометриялық функциялары.
Тік  бұрышты  үшбұрыштағы  сүйір  бұрыштың  синусы,  косинусы, 
тангенсі және котангенсінің мәндері тек сүйір бұрыштың шамасына ғана 
тәуелді  екенін  және  тік  бұрышты  үшбұрыштың  таңдалуына  байланысты 
еместігін дәлелдейміз.
Тік бұрышты 
ABC
 және 
A
1
B
1
C
1
 үшбұрышта­
рында (
∠
С
= 
∠
С
1
­
= 90°) 
∠
A­
= 
∠
A
1
­
болсын (1­сурет).
Пропорцияның негізгі қасиеттеріне орай:
1 1
1 1
=
B C
BC
AB
A B
;
1 1
1 1
=
A C
AC
AB
A B
;  
1 1
1 1
=
B C
BC
AC
A C
;  
1 1
1 1
=
A C
AC
BC
B C
Бұл теңдіктердің сол және оң бөліктері сәй­
кесінше 
A
  және 
A
1
  сүйір  бұрыштарының  синустарына,  косинустарына, 
тангенстеріне және котангенстеріне тең болады.  Демек,
 
1 1
1
1 1
sin
sin
=
=
=
B C
BC
AB
A B
A
A
, 
1 1
1
1 1
tg
tg
=
=
=
B C
BC
AC
A C
A
A
,
 
1 1
1
1 1
cos
cos
=
=
=
A C
AC
AB
A B
A
A
, 
1 1
1
1 1
ctg
ctg
=
=
=
A C
AC
BC
B C
A
A
.
Бұлардан  көрініп  тұрғанындай, 
А
  сүйір  бұрышының  синусы,  коси­
нусы,  тангенсі  және  котангенсі  үшбұрыштың  таңдалуына  тәуелді  емес. 
Егер  сүйір  бұрыштың  мәні  өзгерсе,  бұл  қатынастар  да  міндетті  түрде 
өзгереді.
Сонымен, 
сүйір бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котан-
генсі тек сүйір бұрыштың шамасына ғана тәуелді.
 
Синус,  косинус,  тангенс  және  котангенс 
сүйір  бұрыштың  тригоно­
мет  риялық функциялары
 деп аталады.
Жоғарыда  келтірілген  теңдіктерден  төмендегідей  маңызды  тұжы­
рым туындауы мүмкін:
 
егер
 
A және A
1
  сүйір бұрыштары үшін тригоно­
метриялық  функ циялардың  біреуі  тең  келетін  болса,  онда A  және A
1
  
сүйір бұрыш тары өзара тең  
(
∠
A = 
∠
A
1
)
 болады. 
Былайша айтқанда, тригонометриялық функцияның әрбір мәніне 
жалғыз сүйір бұрыш сәйкес келеді.
2.
 
Тангенс  пен  котангенстің  синустар  мен  косинустар  арқылы 
өрнектелуі. 
Синус  пен  косинустың  анықтамаларынан  төмендегідей  теңдіктер 
туын дайды (15­тақырыпқа қараңдар):
sin
•
cos
:
tg
a b
a c
a
c c
c b
b
α
α
=
= = α
=
,  б.а. 
sin
cos
tg
α
α
α =
;               (1)
cos
•
sin
:
ctg
b a
b c
b
c c
c a
a
α
α
=
= =
α
=
,  б.а.
cos
sin
ctg
α
α
α =
.              (2)
16. Сүйір бұрышТың СинуСы, коСинуСы, 
ТангенСі және коТангенСі  (жаЛҒаСы)
A­
(
A
1
)
C
B
C
1
B
1
α
1
http:eduportal.uz

39
Осылайша сүйір бұрыштың тангенсі мен котангенсі синус пен косинус 
арқылы төмендегідей сипатталады.
Сүйір­ бұрыш­ синусының­ косинусына­ қатынасы­ сол  бұрыштың 
тангенсі деп­аталады.
Сүйір­ бұрыш­ косинусының­ синусына­ қаьтынасы­ сол  бұрыштың 
котангенсі­деп­аталады.
(1) және (2)  теңдіктерді  жайымен көбейте отырып, төмендегі теңдікті 
түземіз:
 
sin
cos
cos
sin
tg
ctg
1
tg
ctg
1
α
α
α
α
α ⋅
α =
⋅
= ⇔ α ⋅
α =
. 
(3)
Демек, α  cүйір бұрышы тангенсі мен котангенсінің көбейтіндісі 1­ге 
тең. Бұдан  α  сүйір бұрышының тангенсі мен котангенсі өзара қарама­қар­
сы функциялар екені келіп шығады.
Сонымен біз α сүйір бұрышы үшін жаңа теңдікті (нақтылықты) туын­
дат тық.
3.
 
Тік  бұрышты  үшбұрыштың  қабырғалары  мен  бұрыштары 
арасындағы байланыстар. 
Тригонометриялық  функциялардың  анықтамаларынан  төмендегі 
ережелер туындайды.
1-ереже. 
α  бұрыштың қарсысындағы катет гипотенуза мен  α  бұ-
рыш синусының көбейтіндісіне тең:
a
 
=
 
c sin
α
.
2-ереже.
 
α    бұрыштың  қарсысындағы  катет  екінші  катет  пен    α  
бұрышы тангенсінің көбейтіндісіне тең:
a
 
=
 
b tg
α
. 
3-ереже.
 
α бұрышқа жанасқан катет гипотенуза мен α бұрыш коси-
нусының көбейтіндісіне тең:
b
 
=
 
c cos
α
.
4-ереже.
 
α    бұрышқа  жанасқан  катет  қарсысындағы  катеттің    α  
бұ рыш тангенсіне қатынасына тең: 
.                                         
5-ереже.
 гипотенуза  α  сүйір бұрышының қарсысындағы катеттің  
α  бұрышы синусына қатынасына тең:
.
6-ереже.
 гипотенуза  α  сүйір бұрышына жанасқан катеттің  α  бұ-
рыш косинусына қатынасына тең:
.                                       
http:eduportal.uz

40
есеп. 
ABC
 үшбұрышының 
С
 бұрышы 90º­қа тең. Егер: 
1) 
AB
 = 18 cм  және 
1
3
sin
A
=
  болса,  ВС  катетті;  2) 
AC
 = 15  cм  және 
5
6
cos
A
=
 болса,  
АВ
 гипотенузаны; 3) 
BC
 = 26 cм және
13
15
tg
A
=
 болса, 
АС­
катетті есептеп көр.
Шешуі.
  1) 1­ережені пайдалана отырып,
­ВС
 катетін табамыз:
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
=
=
⋅
=
6
1
1
3
sin
18
6
BC
AB
A
­
(cм).         
Жауабы:­
6 cм.
2) 6­ережені пайдалана отырып,  
АВ
 гипотенузасын табамыз:
­­­­­­­­­­­­­­
3
1
5
6
cos
6
5
15 :
15
3 6 18
=
=
=
⋅
= ⋅ =
AC
A
AB
­
(cм).   
Жауабы: 
18 cм.
3) 4­ережені пайдалана отырып, 
АС
 катетін табамыз.  
                 
=
=
=
⋅
= ⋅
=
2
1
13
15
tg
15
13
26 :
26
2 15 30
BC
A
AC
­
(cм).   
Жауабы: 
30 cм.
?
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
 1. 
1) Сүйір бұрыштың тригонометриялық функциялары деп нені айта мыз?
 
2)  Сүйір  бұрыштың    синусы,  косинусы,  тангенсі  және  котангенсінің 
шамалары неге байланысты?
 
2. 
Төменде  берілген  теңдіктердің  қайсысы  дұрыс  еке нін  анықтаңдар 
(2­сурет). Жауаптарыңды негіз дең дер.
 a)
sin
a
c
α
=
;  ә) 
b
 = 
c­
sinα;  б) 
c
 = 
a­
tgα;  в)
ctg
b
a
α
=
.
 
3. 
Тік  бұрышты  үшбұрыштың  сүйір  бұрышының  тан­
генсі
 
;  0,001­ге  және  100­ге  тең  болуы  мүмкін  бе?  
Жауаптарыңды негіздеңдер.
 4.
 
ABC
 үшбұрышындағы 
С­
бұрышы  90º­қа тең.  Егер:  
1) 
BC
 = 10 см және 
5
8
tg
A
=
 болса, 
АС
 катетін; 2) 
BC
 = 8 
cм және sin
A
 = 0,16 болса,  АВ гипотенузаны есептеңдер.
 5. 
Тік  бұрышты  үшбұрыштың  қабырғалары  мен  бұрыштары  ортасын­
дағы 6 қатынасты 
b
 бұрыш үшін келтіріп шығарыңдар (2­сурет).
 6.
   
ABC
  үшбұрышындағы 
С
  бұрышы  90º­қа  тең.  Егер   
BC
  =  4  см  және 
sin
A
 = 0,25 болса, 
АВ
 гипотенузасы қандай болатынын есептеңдер.
 7.
 
ABC
  үшбұрышындағы 
С
  бұрышы  90º­қа  тең.  Егер 
AC
  =  2  см  және 
cos
A
 = 0,4 гипотенузасы қандай болатынын есептеңдер.
 8.
 
ABC
 үшбұрышындағы 
С
 бұрышы 90º­қа тең.  Егер   
BC
 = 14 см және
7
25
cos
=
B
 болса, АВ гипотенузасы қандай болатынын есептеңдер.
)
α
­A
­B
2
­b
­c
­C
­a
)
 
b
)
http:eduportal.uz

41
Теорема.
1. Пифагор теоремасы – геометрияның маңызды теоремаларының бірі.
 
ұлы  грек  математигi  Пифагор  өмтрi  жайлы  мәлiметтер  өте  кем.
Пифагор  мектебi  пiшiндердi  (фигураларды)  бөлу  және  түзу  сызықты 
пiшiндердi  теңауданды  пiшiндерге  ауыстырудың  геомет риялық  әдiсiн 
теоремаларды дәлелдеу және есептер шешуде де пайдалан ғандығы грек 
математиктерiнiң  шығармаларынан  ғана    белгiлi.  Геометрияның  пән 
есебiнде қалыптасуына Пифагор және оның мектебi өте үлкен үлес қосқан. 
Төмендегі теорема Пифагордың есiмiмен аталады.
(Пифагор  теоремасы)
.  Тiк  бұрышты  үшбұрыш  гипотенузасының 
квадраты  оның  катеттерiнiң  квадраттарының  қосындысына  тең 
болады.
Бұл  теорема  тiкбұрышты  үшбұрыштарға  қатысты  болып,  үшбұрыш 
қа бырғаларына  тең  квадраттардың  аудандары  арасындағы  қатынасты 
көрсетедi. Пифагор бұл теореманың теориялық дәлелiн келтiрген. Пифагор 
тео ремасымен  анықталған  геометриялық  қатынастардың  дербес  жағ­
дайлары Пифагордан бұрын да түрлi елдерде белгiлi едi, бiрақ теореманың 
бұл жалпы тұжырымы Пифагор мектебiнде 
айқындалған. 
Катеттерi 
a
 және 
b
,  гипотенузасы 
c
 бо­
латын тiк бұрышты 
ABC
 үшбұ рыш бе рiлген 
делiк, онда Пифагор теоремасы
 
c
2
 = 
a
2
 + 
b
2
, 
            (1)
формуламен  өрнектеледi,  мұндағы 
a
2
, 
b
2
, 
c
2
  — қабырғалары 
a
, 
b
, 
c
  болған  квад рат­
тардың  аудандарына  тең.  Сондықтан  бұл 
теңдiк  қабырғасы  гипотенузаның  ұзын­
дығына  тең  квадраттың  ауданы 
қа­быр­
ғалары­ катеттерiне­ тең­ квад­рат­тар­
дың­ аудандарының­ қосындысына­ тең
 
болаты нын көрсетедi (1­ сурет).
2.  Пифагор  теоремасының  сү йір  бұ­
рыштың косинусы арқылы дәлел де нуі.
Дәлелдеу.    АВС  – 
берілген  тікбұрышты 
үшбұрыш, оның
  С 
бұрышы тікбұрыш бол­
сын. Тікбұрышты үшбұрыштың
 С 
төбесінен
 
CD 
биіктігін жүргіземіз (2­сурет)
.

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: