§2. Квадрат теңдеу «Аудандарды қолдану» әдісі квадрат теңдеулерге келтірілетін есептерді геометриялық жолмен шығаруға да таратылған. Осы әдістің эллиптикалық және гиперболалық деп аталатын түрлері де кездеседі [2]. Біз аталған теңдеулерді шешудің басқа бір әдісін ұсынамыз.
(1)
квадрат теңдеуді шешудің геометриялық әдісін қарастырайық. Бұл теңдеуді
(2)
мұндағы , түрінде жазамыз.
Енді (2) теңдеуді түрлендіріп мына үлгіде жазуға болады:
.
Немесе (3)
мұндағы
Талдау. Егер үшбұрыштың бір қабырғасын – , екінші қабырғасы , ал бұлардың арасындағы бұрыш 1200 деп есептесек, онда (3) формула косинустар теоремасы бойынша осы үшбұрыштың үшінші қабырғасы -ді анықтайды. Осы деректерді ескере отырып салу жұмысын жүргізелік (сурет 3).
Салу. 1. Шамасы 1200 тең бұрышын саламыз.
2. қабырғасына кесіндісін өлшеп саламыз.
3. бұрышының қабырғасын созамыз.
4. Центрі А, радиусы шеңбердің доғасымен қабырғасын және оның созындысын сәйкесінше және нүктелерінде қиямыз.
және ізелінді кесінділер.
Дәлелдеу. және кесінділері (геометриялық тұрғыдан) (2) теңдеудің шешімі болатынын дәлелдейік. Бұлай болған жағдайда негізгі ережеге сәйкес болуы керек.
үшбұрышын қарастырамыз. Мұнан косинустар теоремасы бойынша бұл немесе . (3) формуладағы белгілеуін ескеріп мұнан теңдігін аламыз. Ендеше (2) теңдеудің түбірі болғаны. Бұл жағдайда аталған теңдеудің түбірі бола алмайтыны өзінен-өзі түсінікті.
Енді үшбұрышын қарастырамыз. Мұнан дәл жоғарыдағыдай тәсілмен теңдігін аламыз. Олай болса, (2) теңдеудің екінші түбірі Ал ол теңдеудің түбірі бола алмайды. Оған тексеру арқылы оңай көз жеткізуге болады.
Осы дәлелдеу нәтижесіне негіздеп мынадай қорытынды жасаймыз.
Ескерту. Геометриялық жолмен квадрат теңдеудің түбірі болатын кесінділер анықталған соң, негізгі ережеге сәкес, теңдеудің белгісіз түбірлерінің модулдерін табылған кесінділер ұзындықтарына теңестіріп зерттеу арқылы ол түбірлердің сандық мәндері анықталады.
