попросить студентов держать руки так, как будто они собираются

45 
выполнить упражнение снова. После этого следует спросить, чему учит 
данное упражнение. 
Статистические испытания по методу Монте-Карло представляют собой 
простейшее имитационное моделирование при полном отсутствии каких-либо 
правил поведения. Получение выборок по методу Монте-Карло – основной 
принцип компьютерного моделирования систем, содержащих стохастические 
или вероятностные элементы. Зарождение метода связано с работой фон 
Неймана и Ульмана в конце 1940-х гг., когда они ввели его для него название 
«Монте-Карло» и применили его к решению некоторых задач по 
экранированию ядерных излучений. Этот математический метод был известен 
и ранее, но новую жизнь получил в закрытых работах по ядерной технике в 
Лос-Аламосе под кодовым названием «Монте-Карло». Применение метода 
было весьма эффективным, и он получил распространение и в других отраслях 
науки (Емельянов А.А., 2004). 
Применение метода Монте-Карло позволяет изучать очень сложные 
системы, состоящие из тысяч или миллионов элементов, или очень длинные 
промежутки модельного времени (при этом время моделирования может 
составлять несколько секунд). 
При моделировании сложных систем очень часто приходится иметь дело 
с переменными, значения которых определяются случайным образом. 
Например, момент поступления заказов или оплата банковских кредитов. 
Одной из базовых разновидностей метода Монте-Карло при численном 
решении задач, включающих случайные переменные, является метод 
статистических испытаний, который заключается в моделировании случайных 
событий. 
Метод Монте-Карло основан на статистических испытаниях и по своей 
сущности является экстремальным. Он может применяться и для решения 
полностью детерминированных задач, например решение дифференциальных 
уравнений в частных производных или численное интегрирование. В рамках 
метода Монте-Карло статистические результаты получаются путем 
повторяющихся испытаний. Вероятность того, что результаты отличаются от 
истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества 
испытаний (Емельянов А.А., 2004). 
В основе вычислений по методу Монте-Карло лежит случайный выбор 
числе из заданного вероятностного распределения. При практических 
вычислениях эти числа берут из таблиц или получают путем некоторых 
операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же 
свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Рассмотрим 
процедуру, описывающую суть метода Монте-Карло согласно (Максимей И.В., 
2009) 
То есть вместо того, чтобы описывать сложную систему, с помощью 
аналитической модели проводится 
N
«розыгрышей» случайного явления в 
модели объекта имитации (заранее заданным числом 
N
раз). При этом вектор 

46 
параметров модели 
X
не меняется (фиксирован) и на модели определяются 
значения компонент вектора откликов 
Y
. Так же, как в реальности, конкретная 
j
-ая реализация случайного процесса (из-за случайного характера алгоритма 
поведения реального явления) в модели всякий раз будет складываться по-
разному. Таким образом, проведя 
N
экспериментов с моделью сложной 
системы при одних и тех же значениях вектора параметров модели 
X
, из-за 
случайного характера алгоритма сложной системы получают выборку значений 
откликов 
 
l
Y
, 
N
l
,
1

. Усредняя выборку значений 
 
l
Y
, находят вектор 
математических 
ожиданий 
значений 
компонент 
этого 
вектора 


N
l
Y
Y
Y
Y
Y
,...,
,...,
,
2
1

и дисперсию 
2
y
S
компонент вектора откликов при 
фиксированных значениях вектора параметров 
}
{
X
. 
Число экспериментов 
N
определяется из необходимой точности оценки 
Y
. 
Задавшись точностью вычислений 

, по таблицам нормального распределения 
для доверительной вероятности 

=1-

находят требуемое число экспериментов 
N
, обеспечивающее оценку среднего 
Y
с вероятностью ошибки 

. При 
оценивании среднего значения компонент вектора 
Y
наиболее часто 
встречаются следующие случаи: 
1. 
i
Y
имеют нормальное распределение, но объем выборки мал (
N

30
). 
Тогда составляется 
t
-статистика: 


y
S
Y
N
t




1
; 
2
ij
y
S
S

, 
(3.1) 
где 
2
ij
S
и 

– оценка дисперсии и истинное математическое ожидание 
компонент вектора откликов 
Y
; 
Y
– среднее значение компонент вектора 
откликов.
t
-статистика 
имеет 
распределение 
Стьюдента, 
поэтому 
по 
соответствующим таблицам при (
N-1
) степенях свободы и заданном уровне 
значимости 

можно оценить доверительные интервалы для математических 
ожиданий вектора откликов: 
1




N
S
t
Y
d
Y
y
кр
, 
(3.2) 
где 
кр
t
– значение 
t
-статистики, вычисленное по функции распределения 
Стьюдента при заданном уровне значимости 

и числе степеней свободы 

=N-1
, откуда требуемый объем выборки для оценки отклика с точностью 
d
будет равен: 
1
2









d
S
t
N
y
кр
. 
(3.3) 
2. 
i
Y
имеют нормальное распределение; истинное математическое 
ожидание 

известно, объем выборки велик (
N

30
). В этом случае используется 
двусторонняя нормальная статистика 
Z
при заданном уровне значимости 

/2
из 

47 
стандартного нормального распределения. Поэтому доверительный интервал 
можно определить в виде соотношения 
N
S
Z
Y
d
Y
y
2
/




,
(3.4) 
где 
2
/

Z
вычисляется из функции нормального распределения. 
Требуемый объем выборки определяется по формуле: 
2
2
/








d
Z
S
N
y

, 
(3.5) 
где 
2
/

Z
– квантиль стандартного нормального распределения при 
доверительном уровне 





 
2
1

; 
d
– допустимая величина ошибки для оценки 
средних значений откликов. 
3. Нормальность распределения компонент вектора 
Y
предположить 
нельзя, но известны истинные значения математического ожидания 

и 
дисперсии 
2

при большом объеме выборки (
N

30
). В этом случае лучше 
всего использовать неравенство Чебышева: 
2
1
K
N
K
Y
P











. 
(3.6) 
Из этого неравенства доверительный интервал для оценки среднего 
значения можно записать в виде 











1
N
Y
N
K
Y
d
Y
,
(3.7) 
а требуемый объем выборки отклика 
)
1
(
2




d
N
. 
(3.8) 
Обычно задается 
4


d
, 

=0,05. Тогда N

320. 
При оценивании дисперсии 
2

задача отыскания ее оценки 
2
y
S
с 
достоверностью (
1-

) записывается в виде 











1
)
1
(
)
1
(
2
2
2
d
S
d
P
y
. 
(3.9) 
Эту задачу можно решать только при больших объемах выборки 
N
. В 
этих случая удобнее всего использовать 
2

статистику: 
2
2
2
)
1
(


S
N


с (
N-1
) степенями свободы. 
(3.10) 
Поскольку объем выборки 
N
большой, то эту статистику можно 
аппроксимировать нормальным распределением. Поэтому формула для расчета 
требуемого объема выборки отклика имеет вид: 

48 
2
2
/
2
1








d
Z
N

, 
(3.11) 
где 
2
/

Z
– квантиль стандартного нормального распределения при уровне 
значимости 

/2
; 
d
– доверительный интервал оценки (чаще всего 
4
э
d


; 
2
э

– эмпирическая оценка дисперсии отклика). 
Основной операцией, из совокупности которых складывается процесс 
моделирования сложных систем согласно процедуре Монте-Карло, является 
некая 
l
-ая реализация случайного процесса 
F(X,

)
. Она представляет собой как 
бы один экземпляр реализации алгоритмов развития сложных систем в дереве 
вариантов его функционирования. Как правило, она складывается из 
последовательности, состоящей из компонент двух типов. Первый тип 
составляющих представляет собой вычислительные процедуры 
F
, а второй – 
розыгрыш значений 
i

с помощью специально разработанного алгоритма 
(«бросание жребия»). Поэтому возникновение случайности в ходе 
моделируемого явления описывается не расчетами, а «жребием». 
Классическим примером применения процедуры Монте-Карло является 
задача вычисления площади области сложной формы 
A
. Процедура Монте-
Карло при решении данной задачи реализуется следующим образом. 
Сначала область 
A
погружается в область 
G
с известной площадью 



)
mes(
G
g
(рис. 12). Затем формируется случайная величина Бернулли 

, 
математическое ожидание которой равно 
C
: 







.
для
0
,
для
)
(
A
A
g
gF
A




(3.12) 
где 
)
(

A
F
– индикаторная функция области 
A
; 

– случайный двумерный 
вектор, равномерно распределенный для области 
G
. Обозначим 


A
P
p



– 
вероятность события 


A


. Тогда 
.
)
(
)
1
(
]
[
;
)
1
(
0
]
[
2











C
g
C
p
p
g
D
C
gp
p
gp
M


(3.13) 
Рис. 12. Пример применения метода Монте-Карло 
G 
A 

49 
Моделируется N независимых реализаций 


N



,...,
,
2
1
. Строится 
случайная выборка 
N



,...,
,
2
1
с помощью функции распределения (3.12) и 
вычисляется оценка величины C: 
 
N
h
g
F
n
g
N
C
N
l
l
A
N
l
l
'
1
1
~
1
1











, 
(3.14) 
где '
h
– число реализаций из 
 
l

, 
N
l
,
1

, попавших в область A, 
N
h
'
– 
относительная частота пропадания вовнутрь области, т.е. эффективная оценка 
вероятности 
p
. 
Для вычисления одной и той же величины возможны разные варианты 
построения случайной величины 

, удовлетворяющие условию 
C
M

]
[

, 


]
[

D
. При этом предпочтение отдается варианту, наиболее полно 
удовлетворяющему следующим условиям: 

дисперсия 
]
[

D
минимальна на множестве 
 

; 

моделирование 

осуществляется одним из известных способов 
реализации жребии первого типа (за более полной информацией см. 
(Максимей И.В., 2009)). 

жүктеу/скачать 4,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: