С. Д. Варламов А. Р. Зильберман
жүктеу/скачать 1,21 Mb. Pdf көрінісі
|
experiment
| Погрешности
45 этой величине? Нет, ведь это ошибка для одного измерения, а мы в качестве ответа выбрали среднее значение нескольких измерений, ошибка этой величины явно меньше, ведь при усреднении отклонения суммировались, часть отклонений были положительными, часть — отрицательным, они должны были хоть как-то скомпенсироваться. Так и должно быть. Вопросы эти многократно исследовались математиками, их выводы таковы: если разброс результатов измерений связан с общим действием множества факторов примерно одина- ковой интенсивности, то ошибка среднего меньше ошибки одиночного измерения примерно в «корень из n » раз, то есть, проведя сотню измерений, мы могли бы изрядно снизить влияние факторов разброса — примерно в √ 100 = 10 раз. Правда, в этом случае можно получить и более точную оценку для «погрешности однократного измерения» — оказы- вается, при её нахождении делить сумму квадратов нужно не на число измерений N , а на величину N − 1, и при этом получается более точная (так называемая «несмещённая») оценка. В нашем случае погрешность одного измерения будет равна p (1 2 + 0 + ( − 1) 2 ) / 2 = 1 и погрешность среднего составит 1 / √ 3 ≈ 0,6. Мы могли бы теперь записать: средний рост H ср = (2 ± 0,6) м. Пример не слишком хорош — числа взяты «с потолка», но зато понятно, как нужно считать. Разумеется, для получения хорошего результата в условиях «случайных помех» нужно проводить побольше независимых измерений, но на прак- тике может просто не хватить отведённого на эксперимент времени. Нам придётся в самом начале измерений оценить приборную ошибку и провести два—три независимых изме- рения, чтобы грубо оценить разброс. Теперь нужно сравнить эти величины и принять решение — следует ли проводить длинную серию измерений, или разброс поглощается при- борной ошибкой. Например, для случая приборной ошибки 5% и разброса 2% серия измерений не понадобится, а при разбросе 20% нужно статистической обработкой эту величину уменьшать. Хорошо бы провести такую длинную серию, что- бы «пересчитанный» разброс оказался хотя бы вдвое меньше приборной погрешности; в нашем случае для этого будет нужна серия длины (20 / (0,5 · 5)) 2 = 64. Конечно, это очень 46 Часть 1 много — можно не успеть. Зато понятно, к чему следует стре- миться. И если мы успели провести только 10 измерений, то мы не добились поглощения ошибок разброса — «случайных ошибок», поэтому придётся в общей оценке погрешностей учесть как приборную, так и случайную ошибки. Обычно это делают по формуле D общ = q D 2 приб + D 2 разбр = q 0,05 2 + (0, 2 2 / 10) ≈ 0,08 = 8%. (Можно было считать и прямо «в процентах»: p 5 2 + (20 2 / 10) = = √ 25 + 40 ≈ 8%.) Хочется привести интересный пример: в работе «Измере- ние периода колебаний математического маятника» юноша измерил период колебаний при длине нити 40 см, затем — при длине 60 см и, наконец, при длине нити 80 см. Полу- ченные результаты (0,9 сек, 1,1 сек и 1,8 сек) отличались друг от друга (разумеется!), далее он нашёл среднее значе- ние периода 1,27 сек, а по приведённым выше формулам посчитал «разброс среднего значения». После этого он за- писал ответ: «Период колебаний математического маятника T = (1,27 ± 0,14) сек». Понятно, что это чушь! Ну а что тут неправильно? Вме- сто того чтобы (как и полагалось) исследовать зависимость периода колебаний маятника от длины нити, эксперимента- тор счёл эту зависимость результатом действия посторонних, мешающих факторов — и устранил влияние этих факторов статистической обработкой. В результате он нашёл значение периода для некоторой «средней» длины нити, при этом эта самая длина вовсе не равна среднему значению длин в эксперименте, она остаётся неизвестной. Мораль: прежде чем применять серьёзные математические методы, следует подумать — а что, собственно, мы собираемся считать? Скажем несколько слов о приборных ошибках обычных измерителей. Линейка даёт погрешность порядка половины деления шкалы — но только в случае измерения расстояния между чётко обозначенными точками. Если сама «точка» представляет собой кляксу размером 3 мм, ожидать объ- явленной точности не приходится. Погрешность обычного термометра тоже можно считать равной половине деления, но Погрешности 47 есть и дополнительные источники ошибок измерения темпе- ратуры — термометр показывает свою температуру, а она мо- жет отличаться от температуры исследуемого тела (не успел установиться режим равновесия — нужно анализировать вре- мя установления теплового равновесия в системе, при из- мерении температуры куска металла или дерева термометр вообще может показывать что угодно), есть и другие причи- ны грубых ошибок измерения температуры (вспомним про «температуру воздуха в тени»). Время измеряется секундо- мером довольно точно, но само нажатие кнопки всегда за- паздывает (попытки нажать кнопку пораньше, чтобы «ском- пенсировать время реакции», дают вообще непредсказуемые результаты). Но для периодических процессов всё сильно упрощает- ся — измерять нужно время не одного периода, а, скажем, 20 — время реакции можно при этом «разложить» на множе- ство периодов и в несколько раз уменьшить соответствующую погрешность. Использующие этот принцип электронные ча- стотомеры (измеряющие огромное — миллионы — число пе- риодов), позволяют получить ошибки измерения периода (или частоты) быстропротекающих периодических процессов всего порядка тысячных, а то и десятитысячных долей про- цента. Погрешность обычного, стрелочного вольтметра может доходить до 4% (для школьных измерительных приборов), причём эти проценты нужно считать не от измеряемой ве- личины, а от максимального значения шкалы. Это означает, что, измерив обычным вольтметром (максимальное значение на шкале 6 В) напряжение батарейки и получив результат 1,5 В, следует записать ответ: U = (1,5 ± 0,24) В, погрешность при этом достигает 16% ! Цифровые измерительные приборы обеспечивают куда лучшую точность, погрешность обычного «китайского мультиметра» при измерении напряжений со- ставляет примерно полпроцента плюс дополнительная ошиб- ка при отображении результата на дисплее прибора (обычно её оценивают как плюс-минус две—три единицы младшего отображаемого разряда, то есть при показаниях вольтметра 12,06 В указанная неточность может составить дополнитель- но ± 0,03 В. В этом случае погрешность 0,5% от измеряемой величины составит примерно ± 0,06 В и практически опре- 48 Часть 1 делит точность измерений. Но при измерении токов или сопротивлений такой мультиметр может давать куда большие погрешности и первого (до 2—3%) вида, и второго (в неко- торых случаях до 10—15 единиц младшего разряда) — для уточнения стоит прочитать подробное описание конкретного прибора. Разумеется, приведённые рецепты не слишком обосно- ванны и строги, в многочисленных пособиях даются самые разные советы по поводу оценки приборных ошибок, рас- чётов погрешностей косвенных измерений и статистической обработки результатов измерений. Не следует думать, что правильными могут быть только те варианты, в которых применяют непонятные математические методы (и чем непо- нятнее — тем правильнее), проблемы тут не столько в спо- собах счёта, сколько в анализе причин как приборного, так и «случайного» разброса. Выдержка из программы курса физики 7—8 «Способы измерений. Прямые и косвенные измерения. Точность измерений. Цена деления шкалы прибора. Класс точности прибора. Ошибки измерений систематические и слу- чайные. Способы уменьшения ошибок. Статистические спо- собы повышения точности в том случае, если случайная ошибка больше предельной точности прибора». Выдержка приведена для того, чтобы напомнить, что основные понятия, используемые для характеристики изме- рений, вводились ещё в 7—8 классе. Однако нелишним будет повторить эту тему и с учениками старших классов, которые большую часть того, что было изучено в 7—8 классах (если не всё), успели позабыть. жүктеу/скачать 1,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|