Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате- риалдар жинағы   «Атамұра», Алматы, 2019 3

49

Айтылуы

Сызбасы

1

2

p—проекциялау  бағыты;  α—проекциялау  жазық- 

тығы. 

1-теорема.  Параллель  проекциялау  кезінде  проек- 

циялау  бағытына  параллель  емес  түзудің  жазық- 

тықтағы проекциясы түзу болады. 

салдар. Түзудің барлық нүктелерін проекциялаушы 

сәулелер бір жазықтық бойында жатады. 

2-теорема.  Параллель  проекциялау  кезінде  проек- 

циялау  бағытына  параллель  емес,  параллель  түзу- 

лердің  проекциялары  да  параллель  болады  немесе 

бір түзу болады. 

салдар. Параллель проекциялау кезінде проекция- 

лау  бағытына  параллель  емес:  1)  кесінді  (сәуле) 

кесіндіге (сәулеге) бейнеленеді; 2) параллель кесін- 

ділер (сәулелер) параллель кесінділерге (сәулелерге)  

бейнеленеді, мұнда параллель кесінділер (сәулелер) 

проекцияларының  қатынасы  осы  кесінділердің  

(сәулелердің) сәйкес қатынасына тең болады.

3-теорема.  Көпбұрыштың  ортогональ  проекциясы- 

ның  ауданы  осы  көпбұрыш  ауданын  проекциялау  

жазықтығы мен көпбұрыш жазықтығы арасындағы 

бұрыштың косинусына көбейткенге тең:

S

S

ABC

ABC

1

=

⋅ cos .

ϕ

Оқушылардың  кеңістік  фигураларының  бейнелерін  сала  білу  дағдыларын  

қалыптастыру  үшін  оқулықта  көрсетілген  2.45–2.50-суреттерде  бейнеленген  

фигуралардың  дұрыс  бейнелері  мен  дұрыс  емес  бейнелерін  қатар  көрсетіп  

отырған  дұрыс.  Осыған  қосымша  көп  көлемде  практикалық  тапсырмаларды  

орындатып отыру қажет. 

Жаттығуларға  шолу.  А  тобында  қиындық  келтіретіндей  жаттығулар  жоқ.  

Мәселен,  2.90–2.95-есептердің  жауаптарын  ауызша  да  айтуға  болады.  Десек  

те, бұл есептердің өтілген тақырыпты пысықтауда, кеңістік фигураларын дұрыс  

сала  білуге  машықтандыруда  алар  орындары  ерекше.  Сондықтан  бұл  есеп- 

терді  шешуде  тек  ауызша  талдаулар  жасаумен  шектелген  дұрыс  емес.  Оқу- 

шылар  есептің  жауабын  сызбалар  арқылы  негіздей  білулері  қажет  және  

p

A

1

a

a

B

A

B

1

a

1

C

1

C

D

a

B

A

j

B

p

a

b

d

b

a

A

A

1

b

1

B

1

50

осындай негіздеулер есепті шешудің негізгі бөлігіне айналуы керек. Айталық,  

бұл  есептердің  негіздемелерін  төмендегі  сызбаларда  бейнеленгендей  етіп  көр- 

сетуге болады (35,36-суреттер). 

p

a

a

1

g

b

b

B

a

A

A

1

b

1

B

1

a

a

p

p

A

A

B

B

B

1

B

1

A

1

B

2

A

2

D

K

C

A

1

A

1

D

1

A

B

b

C

a

d

c

B

1

D

C

1

36-сурет

37-сурет

2.98. 

АВС тік бұрышты үшбұрышынан AC

2

=AB

2

+BC

2

= a

2

+b

2

. 

ACC

ACC

AC

AC

CC

a

b

c

1

1

1

2

2

1

2

2

2

2

90

:

∠

=

° ⇒

=

+

=

+

+

 (37-сурет).

2.100. Есепті екі түрлі тәсілмен шешуге болады. 

1-тәсіл.  Ортогональ  проекция  ауданын  қолданып 

шешу.  Тетраэдрдің  барлық  жақтары  өзара  тең  тең 

қабырғалы үшбұрыштар болғандықтан, 

CE=DE=  4 3 см, 

ал  OE =

4 3

3

 cм.  cos

,

∠

(

)

=

=

DEC

OE

DE

1

3

  S

ABD

= 16 3  cм.

Сондықтан

S

S

DEC

AOB

ABD

=

⋅

∠

(

)

=

cos

16 3

3

см

2 

(38-сурет). 

2-тәсіл.  АОВ  үшбұрышы  АВD  жағының  ортогональ 

проекциясы, ал 

АOB үшбұрышы ABC  үшбұрышының 

1

3

 

бөлігін құрайды. Сонда  S

S

AOB

ABС

=

=

1

3

16 3

3

 см

2

.

Бұл  есепте 

АОВ  үшбұрышының  ауданын  анықтау  

барысында оның 

АВС  үшбұрышының 

1

3

 бөлігін құрайты- 

нын  көрсету,  әдетте,  оқушылар  үшін  қиынға  соғады.  Өйткені  тетраэдрдің 

бейнесінде 

АОС  үшбұрышы  АВС-ның 

1

3

  бөлігі  болатыны 

айқын  көрінбейді.  Сондықтан  мұндай  оқушыларға  қиын 

соғатын  тұстарда  берілген  кеңістік  денелерінің  қажетті 

элементтерінің нақты бейнелерін жеке салып көрсете білу 

дағдыларын қалыптастырған дұрыс. 

2.104. 

Берілгені: (АВС)  (А

1

В

1

С

1

), 

А

1

В

1

С

1 

— 

АВС-ның 

проекциясы. 

Дәлелдеу керек: АВС = А

1

В

1

С

1

 (39-сурет).

В

D

E

A

C

O

E

В

A

O

C

38-сурет

С

A

1

B

1

A

B

a

С

1

b

39-сурет

35-сурет

51

Дәлелдеуі.  α    ,  А

1

В

1

С

1 

үшбұрышы  

АВС-ның  проекциясы.  1-теореманың 

салдары  бойынша 

АВ  және  А

1

В

1

  түзулері  бір  жазықтық  бойында  жатады.  Ал  

ABВ

1

А

1

  жазықтығы өзара параллель α және  жазықтықтарын өзара  параллель  

түзулер  бойымен  қиып  өтеді.  Сондықтан 

АВ

 

  А

1

В

1

.  Екінші  жағынан,  парал- 

лель проекциялау кезінде 

А нүктесі А

1

-ге, 

В нүктесі В

1

-ге көшетіндіктен, 

АА

1 

 ВВ

1

.  

Олай  болса, 

АВВ

1 

А

1

  төртбұрышы  параллелограмм,  демек  AB=А

1

В

1

.  Осы  

сияқты 

AC=А

1

С

1

, 

BC=В

1

С

1

  екенін  көрсетуге  болады.  Сондықтан  үшбұрыштар  

теңдігінің ІІІ белгісі бойынша 

АВС = А

1

В

1

С

1

.

2.105.  Параллелепипедтің  барлық  қырларының  қосындысы  4·(

AB+AD+ 

+

AА

1

)-ге  тең.  Сонда  4·(

AB+AD+AА

1

)=72   

AB+AD+AА

1

=18. 

AB:BC=AB:AD=2:3,  

BC:BВ

1

=

AD: AА

1

=3:4  

AB:AD:AА

1

=2:3:4  

AB=2k, AD=3k, AА

1

=4

k, мұнда k — 

пропорционалдық коэффициент. Осыдан 

AB+AD+AА

1

=2

k+3k+4k=18  k=2. Онда 

AB=4 см, AD=6 см, AА

1

=8 см.   

2.106. 

Берілгені: ABCDА

1

В

1

С

1

D

1

 — куб, 

АВ=a, AP=BP, 

В

1

E=EС

1

, 

BF=FC. 

Табу керек: ЕР (40-сурет).

Шешуі. 

ЕF = ВВ

1

 = 

а, 

EF

BB

a PF

a

=

=

=

1

2

2

,

.

    

Онда  EP

EF

PF

=

+

=

2

2

a

a

a

2

2

2

4

6

2

+

=

.

2.108.  Егер  ромбының  қабырғасын 

х-ке  тең  деп  алсақ,  онда  S

ромб

=

3

2

2

x ,  

ал  параллелограмның  ауданы 

S

п

=

a·b·sin45°=

2

2

⋅ ⋅ =

a b .  3-теорема  бойынша  

S

п

=

S

p

· cos60°  

2

2

⋅ ⋅ =

a b

=

⋅

⋅ ⇒

=

⋅ ⇒ =

3

2

1

2

8

3

8

3

2

2

x

x

a b

x

ab.

2.111. Параллелограмның  доғал бұрышының төбесін қарсы жатқан қабырға-

сының ортасымен қосу қажет. 

2.113. 

AB,  BC,  CC

1

, 

C

1

D

1

, 

D

1

A

1

, 

AA

1

  қырларының  орталарын  қосса, 

жеткілікті. 

2.115. 

Берілгені:  SABCD  —  дұрыс  пирамида,  SO=h,  AB=a,  AP=PS,BQ=QS, 

(

ABCD)  (PQRT). (41-сурет).

Табу керек: S

PQRT

.  

Шешуі. 

PQRT  —  трапеция,  оның  биіктігі 

h

2

ге  тең, 

 

PQ

AB

a

=

=

1

2

2

, RT

AB

a

=

= ⇒ S

PQ RT h

ah

PQRT

=

+

⋅ =

2

2

3

8

.

A

R

C

O

D

Q

S

P

T

B

41-сурет

С

A

1

B

1

A

B

С

1

E

F

P

D

D

1

40-сурет

52

3-бөлім. 

к

еңістіктегі векторлар

Ұсынылатын сағат саны

: 21

о

сыған 

дейін 

меңгерілген 

білім: 

жазықтықтағы 

вектор 

ұғымы, 

қасиеттері 

мен 

оларға 

қолданылатын 

амалдар, 

векторлардың 

скалярлық 

көбейтіндісі. 

Жазықтықтағы 

тік 

бұрышты 

координаталар 

жүйесі, 

нүкте мен вектор.

 к

оординаталар жүйесі, нүкте мен вектордың координаталары. Түзу мен шеңбер теңдеулері.

Мәнмәтін: 

Оқушылар 

бөлім 

материалдарын 

оқып-үй

рену 

барысында 

стереометрия 

есептерін 

векторлық 

тәсілмен 

шешуді 

меңгеред

і, 

түзу 

мен 

жазықтықтың

 векторлық 

және 

координаталық 

түрде 

берілулерін 

жазып түсіндіре алады.

Пәндік мақсат:

Тілдік мақсат:

Пәнге қатысты лексика 

мен терминология:

Диалогке (жазуға)

қажет сөзтіркестер:

10.4.1; 

10.4.2; 

10.4.3; 

10.4.5; 

10.4.6; 

10.4.11; 

10.4.13; 

10.4.14; 

10.4.7; 

10.4.15; 

10.4.12; 

10.4.8; 

10.4.9

Оқушылар:

– 

кең

істіктегі 

вектор-

ларға, 

бағыттас, 

қарама-

 

қарсы 

бағытталған 

(кол-

 

линеар) 

векторларды 

сыз-

 

бада 

көрсетіп, 

оны 

тү-

сіндіреді;

– 

компланар 

векторлар-

ға анықтама береді;

– 

векторды 

компланар 

емес 

үш 

векторға 

жіктеу 

жолын түсіндіреді;

– 

түзу 

мен 

жазықтықта 

нүкте 

мен 

вектор 

арқы-

лы 

бірмәнді 

анықтау 

жо

-

лын түсіндіреді;

– 

бағыттас 

(қарама-қар-

сы 

бағытталған, 

колли

-

неар, 

компланар) 

век

-

торлар;

– 

векторларды 

қосудың 

параллелограмм 

(үш-

бұрыш) ережесі;

– 

нүктенің 

радиус-век-

 

торы;

– 

кеңістіктегі 

тік 

бұ-

рышты 

координаталар 

жүйесі;

– 

вектордың

 модулі 

(ұзын-

 

дығы);

– 

векторлардың 

скаляр 

көбейтіндісі;

– 

кесіндіні 

 берілген 

қаты-

 

наста бөлу формуласы; 

– 

параллель 

түзулер 

бо-

йында 

жататын 

вектор

-

лар ... деп аталады;

– бағыттас векторлар 

деп ... ;

– 

бір 

жазықтыққа 

па

-

раллель 

векторлар 

... 

деп 

аталады;

– 

координаталық 

өстер...;

– 

кеңістіктегі 

тік 

бұрыш-

 

ты 

координаталар 

жүйе-

 

сі...;

–векторды 

санға 

көбейт-

кенде ... ;

– векторды қосқанда...

– 

... 

өрнегі 

 a

 және 

 b

век-

 

торларының   скаляр кө-

бейтіндісі деп аталады;

53

– 

түзу 

мен 

жазықтық 

теңдеулерін 

жазып, 

коэф-

 

фициенттердің 

мағына-

 

сын түсіндіреді.

– ортогональ векторлар;

– 

жазықтықтың 

нормаль 

векторы;

– түзудің бағыттаушы

 векторы.

– 

нормаль 

вектормен 

берілген жазықтық;

– 

бағыттаушы 

вектормен 

берілген түзу.

Қысқаша шолу: Оқушылар геометриялық есептерді векторлар көмегімен және координаталық тәсілді 

қолданып шешуді меңгереді.

54

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

10.4.1; 10.4.2; 10.4.3

1.  Ә. Н.  Шыныбеков,  Д. Ә. Шыныбеков,  Р.  Н.  Жұма- 

баев.  Геометрия-10,   жалпы  редакциясын  басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік  нұсқаулар.  Жалпы,  вектор  ұғымы  оқушыларға  9-сыныптан 

таныс.  Сондықтан  бұл  тақырыпқа  кіріспе  сабақ  ретінде  жазықтықтағы  век- 

торлар  ұғымына  қатысты  оқушыларға  белгілі  мәліметтерді  еске  түсіріп,  қыс- 

қаша  қайталап  алған  тиімді.  Ол  үшін  Геометрия  –  9  оқулығындағы  І  бөлім- 

нің  1.1;  1.2;  1.3-баптарының  соңында  келтірілген  мынадай  сұрақтарға 

жауап  алу  қажет:  векторлық  шама  мен  скалярлық  шаманың  қандай  айыр- 

машылығы бар?

Вектор деген не?  Оны қалай белгілейді?

Қандай векторларды коллинеар векторлар деп атайды?

Қандай  векторларды  бағыттас  және  қарама-қарсы  бағытталған  векторлар  

деп  атайды?  Бұл  сұрақтарға  жауап  беру  барысында  көрнекіліктер  кеңі- 

нен  қолданылуы  қажет.  Мысалы,  сым  темірден  жасалған  куб  немесе 

параллелепипед моделінен тең векторларды, коллинеар векторларды, бағыттас 

және қарама-қарсы бағытталған векторларды және т.с.с. көрсетіп отыруды талап 

ету қажет.

ескерту:

кеңістіктегі векторлар және оларға амалдар қолдану.

коллинеар және компланар векторлар

55

Оқушылардың векторларды жазып көрсетуінде нұсқама (стрелка) символын 

дұрыс қолдануын мұқият қадағалаңыз.

Бұл  жұмысты  сыныпты  екі  топқа  бөліп  жүзеге  асыруға  болады.  Бір  топ- 

қа,  мысалы,  бір  жазықтыққа  параллель  болатын  барлық  векторлар  жиынын,  

ал  екінші  топқа,  бір  жазықтыққа  параллель  болмайтын  барлық  үштік  век- 

торлар  жиынын  жазып  шығуды  тапсырыңыз.  Ол  үшін  төбелері  әріптермен  

белгіленген  текше  (куб)  суреттерін  қолданыңыз.  Әрбір  топ  өз  жұмыстарын  

сынып  алдында  таныстыруы  қажет.  Сабақтың  кіріспе  бөлімі  тиісті  дәрежеде  

өткеннен соң оқушыларға жаңа тақырыпты түсіндіру қиынға соқпайды. Жаңа  

сабақты оқушыларға вектор кеңістікте де жазықтықтағы вектор сияқты анықта 

латынын  және  оның  барлық  қасиеттері  сол  қалпында  сақталатынын  ескерте  

отырып,  оларды  қысқаша  қайталап  өтуден  бастау  қажет.  Сонымен  қатар 

кеңістік  векторлары  үшін  қосымша  компланар  векторлар,  компланар  емес 

векторлар ұғымдары анықталатынын ерекше атап өту қажет. Жалпы, сабақты  

өткізу барысында мынадай көрнекіліктерді қолданған тиімді.

Бейнесі

Жазылуы

Бейнесі

Жазылуы

Кесінді

А

B

Векторлар

А

А

B

B

Компланар  және  ком-

планар емес векторлар

p



q



a



b



c



a b c d

   

, , ,







АВ = ВА

  AB BA

 



 



≠

,

a

b

 

≠ ,a

b





= , a b c d

   

, , ,

↑↓

a b c d

   

, , ,

a b c d

   

, , ,

 – компланар  

векторлар, себебі α  .

p



  және  q



  векторлары 

бұл  векторлармен 

компланар емес, себебі  

  α,    . 

Коллинеар  век-

торлар

a b c d

   

, , ,

a b c d

   

, , ,

a b c d

   

, , ,

Ортогональ  век-

торлар

a



b



m

n

a

b





↑↓ ,

b

c





↑↓ ,

а

c





↑↑ .

m

n

a

b

⊥ ⇒ ⊥





m

n

a

b

⊥ ⇒ ⊥





Жалпы, вектор ұғымы, бір жағынан көрнекі әрі оқушыларға түсінікті ұғым  

болып көрінгенімен, оқушылардың басым көпшілігі өз бетінше есептерді шығару  

барысында  векторлық  аппарат  элементтерін  қолдана  алмайды.  Оның  басты  

себебі  оқушының  қарапайым  геометриялық  тілде  берілген  есептерге  вектор- 

лық  мағына  бере  алмағанында.  Сонымен  мұнда  кездесетін  бірінші  қиын- 

дық  —  есеп  шартына  векторлық  мағына  беру,  екіншісі  —  есептің  векторлық  

шешімін  анықтау,  үшіншісі  —  анықталған  векторлық  шешімге  геометрия- 

лық  мағына  беру.  Сондықтан  алғашқы  сабақтан  бастап  векторларды  жеке  

өз алдына оқшау абстрактілі ұғым ретінде қарастырмай, мүмкіндігінше оларға  

геометриялық  мағына  бере  отырып  қарастыру  қажет.  Ол  үшін  көрсетілген  

үлгіде  оқушылардың  қысқаша  конспект  жазып  отыруын  және  теориялық  

56

сұрақтарға жауап бере білуін қадағалап отыру қажет.

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: