СұЙЫҚ ЖƏне газ механикасынан есептер жинағЫ

керек
. 
Шығаберісте
жылдамдықтың
мəні
тұрақты
деп
санауға
болады
: 
, 
жəне
0
, 
, 
0
, 
беттерінде
шекаралық
шарт
ретінде
жылдамдықтың
тұрақты
мəнін
алуға
болады
. 
Бұл
жылдамдық
потенциалын
анықтауда
тəуелсіз
айнымалыларды
ажыратуға
көмегін
тигізеді
жəне
жылдамдық
потенциалын
екі
функцияның
қосындысы
ретінде
қарауға
алып
келеді
: 
. 
 
Шешуі
 
a) 
Ф
потенциалдық
функциясын
жəне
шығаберістегі
жылдамдықты
табу
. 
Лаплас
теңдеуі
мынадай
: 
∆Ф
Ф
Ф
0
 
жəне
жоғарыдағы
келтірілген
ажырату
бойынша
мына
түрге
ие
болады
Ф ,
,
 
 
∆Ф
0.
 
Потенциал
тек
айнымалысынан
жəне
тек
айнымалысынан
тəуелді
функциялардың
қосындысы
болғандықтан
, 
тек
мына
жағдай
орындалуы
мүмкін
: 
,
мұндағы
қандай
да
бір
тұрақты
. 
Жоғарыдағы
екі
жəй
дифференциалдық
теңдеулердің
жалпы
шешімі
мынадай
: 

2
,
2
,
Ф ,
2
 
, , 
– 
интегралдау
тұрақтылары
. ,
жəне
тұрақтылары
төмендегі
шекаралық
шарттан
анықталады
: 
Ф
0,
0
,
1
 
 
Ф
0,
0
П
,
 
осыдан
0,
сонымен
қатар
, 
,
П
,
демек
П
.
 
Шығаберістегі
жылдамдық
үшін
мынаны
аламыз
: 
П
.
Осылардан
потенциалдық
функция
Ф
П
,
жəне
нүкте
маңайындағы
тұрып
қалған
ағыс
төменнен
поршеннің
əсерінен
туындағанын
көруге
болады
. 
П
жəне
0
деп
жорамалдап
: 

Ф
2
,
,
.
b) 
, ,
болғандағы
қысымның
таралуын
табу
керек
, ,
. 
болғандықтан
есеп
орнықталмаған
болып
есептеледі
, 
осы
жағдайда
Бернулли
теңдеуі
: 
Ф
2
Ф
Ф
1
2
П
1
2
П
.
 
Мынаны
ескерсек
П
, 
онда
П
.
Осыдан
қысым
айнымалысынан
тəуелсіз
болып
шығады
. 
Бернулли
тұрақтысы
жылдамдықтың
шығаберістегі
белгілі
мəні
арқылы
былай
табылады
: 
П
,
 
осыны
ескере
отырып
, 
жоғарыдағы
теңдікті
былайша
жазуға
болады
,
П
.
c) 
Поршеньге
əсер
ететін
күш
: 

·
2
,
2
П
2
4
3
П
.
3.2-2 
есеп
. 
Тежелу
 
аймағындағы
 
таралған
 
ағын
 
Бұл
ағын
екі
қарапайым
ағынның
қосындысынан
: 
пластинаға
келіп
тірелетін
жазық
ағыннан
жəне
, 
пластиналарының
арасындағы
қарқындылығы
болатын
ұрадан
тұрады
. 
Сонда
: 
a)
ұрадан
шыққан
таралған
ағын
жылдамдығының
потенциалын
анықтаңыз
; 
b)
қосынды
ағын
жылдамдығының
потенциалын
анықтаңыз
; 

c)
жылдамдықтың
жəне
құраушыларын
анықтаңыз
(
Нұсқау
:
Есепті
шығару
үшін
мына
ауыстыруларды
, 
/
пайдаланып
, 
алдымен
дифференциалдап
, 
содан
соң
интералдаңыз
). 
d)
тұрып
қалған
аймақтың
-
координатасының
теңдеуінің
табыңыз
(
0
; 
e)
жылдамдықтың
, 0
құраушысының
жағдайындағы
түрін
табыңыз
. 
3.2-3 
есеп
. 
Дөңгелек
 
теоремасы
 
Потенциалы
сығылмайтын
сұйықтың
жазық
қозғалысына
координаталар
басына
радиусы
болатын
цилиндр
қойылған
. 
Нəтижесінде
“
дөңгелек
теоремасы
” 
деп
аталатын
теорема
бойынша
жаңа
қосынды
ағынның
потенциалын
аламыз
: 
,
 
мұндағы
түйіндес
комплексті
потенциал
. 
a)
дөңгелек
цилиндрдің
ағыстың
0
нүктесіндегі
комплексті
потенциалын
есептеңіз
; 
b)
осы
жерде
тəуелділігімен
берілген
функцияның
шеңбер
екендігін
көрсетіңіз
; 
c)
бірнеше
ағын
сызығын
салыңыз
; 
d)
жылдамдық
потенциалын
есептеңіз
. 
Тоқтап
қалған
(
қозғалысқа
түспейтін
аймақ
) 
аймақтың
қай
жерде
екендігін
анықтаңыз
? 
e)
блазиус
теоремасын
пайдаланып
цилиндрге
əсер
ететін
күшті
табыңыз
. 

3.2-4 
есеп
. 
Жарты
 
цилиндрлі
 
қабырғаға
 
ағынның
 
ағып
 
келуі
 
Радиусы
болатын
жартылай
дөңгелек
цилиндрлі
қабырғаға
тұтқырсыз
, 
сығылмайтын
сұйықтың
құйынсыз
ағыны
келіп
соғылады
. 
Сонда
: 
a)
жылдамдық
потенциалын
табуға
қажетті
шекаралық
шарттарды
қойыңыз
; 
b)
жоғарыда
қойылған
шекаралық
шарттарда
жылдамдық
потенциалы
үшін
Лаплас
теңдеуін
шешіңіз
; 
c)
ағын
сызығын
салыңыз
. 
 
3.2-5 
есеп
. 
Дөңгелек
 
цилиндрді
 
біртекті
 
ағынның
 
ағып
 
өту
 
есебіне
 
Жуковский
 
бейнелеуін
 
пайдалану
 
Радиусы
болатын
дөңгелек
цилиндр
тұтқырсыз
сұйықтың
потенциалды
ағысына
қойылған
. 
өсі
мен
біртекті
ағын
жылдамдығы
арасындағы
бұрыш
, 
яғни
атқылау
бұрышы
-
ға
тең
. 
Сонда
: 
a)
ағынның
жылдамдық
потенциалын
анықтаңыз
; 
b)
тежелу
нүктесінің
орнын
анықтаңыз
, 
ағын
сызығын
салыңыз
; 

c)
егер
дөңгелек
цилиндрді
/
ауыстыруы
арқылы
жазықтығына
түрлендірсе
(
Жуковский
бейнелеуі
), 
онда
қандай
фигура
алынады
? 
d)
жазықтығындағы
тежелу
нүктесінің
орнын
; 
e)
∞
жағдайында
ағын
қандай
сипатқа
ие
болады
? 
f)
жазықтығында
дене
бетінің
контуры
бойынша
алынған
қысымның
таралуын
салыңыз
. 
Берілгендері
:
, , 
, , 
. 
 
Жаттығулар
 
 
1.
 
Төмендегі
жылдамдық
потенциалымен
берілген
ауыр
сұйықтың
ілгерілемелі
тұрақталмаған
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеуін
құрыңыз
жəне
оны
интегралдаңыз
,
 
 - 
уақыт
, 
, , ,
- 
тұрақтылар
 

2. 
Төмендегі
жылдамдық
потенциалымен
берілген
ағынның
1,1,1
нүктесіндегі
қысымды
қозғалыс
басталғаннан
соң
20 
сек
өткеннен
кейінгі
мезетте
есептеңіз
2 /
/
. 
Бастапқы
уақыттағы
(
0
) 
қысымның
мəні
: 
.
3.
 
Сығылмайтын
сұйықтың
ағыны
үшін
ағын
функциясын
 
табыңыз
, 
егер
жылдамдық
потенциалы
төмендегідей
анықталса
: 
,
0.
 
 
4. 
0,0
жəне
1,1
нүктелерін
қосатын
түзу
сызық
арқылы
өтетін
сұйық
шығынын
анықтаңыз
, 
егер
жылдамдық
потенциалы
келесі
түрмен
берілген
болса
3
.
 
 
5. 
Ағыс
жылдамдығының
1,2,2
нүктесіндегі
жылдамдық
шамасын
табыңыз
, 
егер
жылдамдық
потенциалы
келесі
түрмен
берілсе
: 
4
 
6. 
Жылдамдық
потенциалдары
төмендегідей
заңмен
берілген
екі
ілгерілемелі
жазық
ағынды
қосыңыз
жəне
ағын
сызықтарын
салыңыз
. 
2
3 ,
4
.
7. 
1,2,1
нүктесіндегі
жылдамдық
құраушыларын
табыңыз
жəне
осы
нүкте
арқылы
өтетін
ағын
сызығын
салыңыз
. 
Жылдамдық
потенциалы
төмендегідей
берілген
: 

2
.
Сұйықтың
сығылатын
не
сығылмайтындығын
тексеріңіз
. 
8. 
Келесі
комплексті
функциямен
берілген
ағыстың
түрін
анықтаңыз
2.5 .
 
4,3
нүктесіндегі
жылдамдық
құраушыларын
табыңыз
жəне
осы
нүктеден
өтетін
ағын
сызығын
салыңыз
. 
9. 
Келесі
комплексті
потенциалмен
берілген
ағынның
түрін
анықтаңыз
√ ,
0.
Ағын
сызығын
жəне
тең
потенциалдар
сызығын
, 
яғни
болатын
сызықтарды
салыңыз
. 
0,0
жəне
1,1
нүктелерін
қосатын
түзу
сызық
арқылы
өтетін
сұйық
шығынын
анықтаңыз
. 
10. 
Жылдамдығы
болатын
өсі
бойымен
бағытталған
біртекті
жазық
ағын
мен
координаталар
басына
орналастырылған
, 
қуаты
болатын
бұлақтың
қосындысынан
пайда
болған
ағынды
зерттеңіз
(
Жылдамдық
потенциалын
табыңыз
. 
Жылдамдық
құраушыларын
анықтайтын
құраушыларды
табыңыз
, 
т
.
с
.
с
). 
11. 
Жылдамдығы

болатын
өсімен
бағытталған
біртекті
ағын
мен
қуаты
,
 
, 0
нүктесіне
орналастырылған
бұлақ
пен
қуаты
, 
, 0
нүктесіне
орналастырылған
ұраның
қосындысынан
тұратын
ағынды
зерттеңіз
. 
12. 
Жылдамдығы
10м/с
жазық
біртекті
ағын
мен
қуаты
5м /с
болатын
бұлақтың
(
источник
) 
қосындысынан
тұратын
жаңа
ағынның
теңдеуін
ағын
сызығын
ажырату
арқылы
табыңыз
. 
Тұрып
қалған
аймақты
осы
жаңа
ағынға
қойып
, 
осы

аймақты
қалай
қойғанда
берілген
бұлақтың
қуаты
азайып
не
көбейетіндігін
анықтаңыз
? 
13. 
Сұйықтың
жазық
қозалысы
үшін
ағын
функциясы
келесідей
қатынаспен
табылған
2
.
айнымалысы
мен
 
айнымалысының
мəндері
0 
мен
5 
аралығында
өзгергенде
, 
(1,1), (1,2), (2,2) 
нүктелері
арқылы
өтетін
ағын
сызықтарын
салыңыз
. 
Сонымен
қатар
(1,2) 
нүктесіндегі
жылдамдықтың
шамасын
жəне
бағытын
анықтаңыз
. 
14. 
Координаталар
басында
, 
қуаты
30м /с
, 
жəне
қуаты
20м /с
, 
1,0
нүктесінде
орналасқан
екі
бұлақ
берілген
. 
Жылдамдықтың
,
құраушыларының
 
1,0
жəне
1,1
нүктелеріндегі
мəндерін
есептеңіз
. 
Сонымен
қатар
шексіздіктегі
динамикалық
қысымның
нөлге
тең
екендігін
біле
отырып
, 
жоғарыда
аталған
нүктелердегі
динамикалық
қысымдарды
анықтаңыз
.

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: