Пәні: Аналитикалық геометрия Тақырыбы

Айталық жазықтықта анықталған ретте екі нөлдік емес а және b векторлары берілсің (а -бірінші вектор, b -екінші). Осы векторлар төбесін тандауымызға қарай шексіз көп бұрыштар жиының анықтайды. Бірақ бұл бұрыштар өзара конгруентті, сондықтан олардың біреуінің шамасын аламыз. Кез келген бұрыштың шамасы деп а және b векторларының арасындағы бұрышты айтамыз, белгіленуі немесе . Төмендегі екінші суретте с және d векторларының арасындағы бұрыш көрсетілген. Біріншісінде бұрыштың шамасы 30⁰ немесе -300⁰, яғни осы бұрыш тең, мұнда k бүтін сан. Ал, екіншісінде немесе .

Геометрия курсын аксиометриялық құрастырылғанда, нүкте, түзу, және жазықтық негізгі анықталмаған объект түрінде қарастырылады. Түзудің негізгі қасиеттері аксиомалармен беріліп, қалғаны олардан логикалық жолмен шығарылады. Біздің курсымызда «түзу» терминің басқаша мағанада береміз. Айталық ℓ-аксиоматикалық анықтаумен берілген түзу болсын. Алдағы уақытта «ℓ- түзуі» терминің барлық нүктелер жиындарынан құралған геометриялық бейне түрінде, сонымен қатар ℓ-ге тиісті барлық векторлар жиыны түрінде түсінеміз. Нүктенің немесе вектордың ℓ-түзуіне тиістілігін белгілеу үшін, жиындар теориясының символдарын қолданамыз: . Бұл барлық нүктелер координатына және барлық түзу векторлар координаттарына аналитикалық сипаттама беріп, аналитикалық геометрия әдістерін түзулер теориясына қолдануға мүмкіндік аламыз. Геометриялық фигураларды нүктелер жиыны түрінде қарастырып, және ол тұратын нүктелер координаттарын беру қағидасымен анықтауға болады. Ол үшін берілген жиынға тиісті нүктелердің жалпы геометриялық қасиетін координаттар шартында жазады. Алынған аналитикалық шарт бойынша қандай да бір немесе басқа нүкте осы жиынға тиістілігін анықтаймыз. Кейбір жағдайларда бірнеше геометриялық сипаттамаларды қарастыру қажет етеді. Осы жағдайларда нүктелер жиыны теңдеумен берілген деп айтамыз. Нүктелер жиыны теңдеулері деп координаттары осы жиынға тиісті барлық нүктелер жиынын қанағаттандыратын және осы жиынға тиісті емес нүктелер жиынын қанағаттандырмайтын аналитикалық шартын айтамыз. Нүктелер жиыны берілгенде « теңдеу» термині қарапайым алгебралық мағынада қолданып тұрған жоқ, себебі нүктелер жиыны барлық кезде аналитикалық теңдеу түрінде бере бермейді. Олар теңсіздіктер түрінде де берілуі мүмкін. Сонымен қатар геометрияда , алгебра сияқты теңдеуді шешу міндеті қойылмайды, мұнда нүктелер жиыны теңдеуінің геометриялық қасиетін айқындау мақсатында, теңдеуді зерттеу қызықтырады.

1. Суреттегі кескінделген әрбір фигураның штрихталған бөлігіне тиісті нүктелердің координаттарын қанағаттандыратын қажетті және жеткілікті шартын жаз. Фигуралардың контурындағы нүктелер жиыны, сол фигураларға тиісті екенін ескеру керек.

в

Шешуі:
а) Суретте өлшемдері 5 және 3 болатын ОАВС тік төртбұрышы көрсетілген. ОА және СВ параллел түзулері арасында жатқан жолақтың барлық нүктелерінің координаталары қабырғаларымен бірге 0≤ х≤ 5 теңсіздігін қанағаттандырады. Сол сияқты, ОС және АВ параллел түзулері арасында жатқан жолақтың барлық нүктелерінің координаталары қабырғаларымен бірге 0≤ у≤ 3 теңсіздігін қанағаттандырады. Берілген тік төртбұрыш екі жолақтың қиылысуында орналасқан, сол себепте тік төртбұрыштың координаталары 0≤ х≤ 5, 0≤ у≤ 3 қатанастарды қанағаттандырады. Осы қатынастар берілген фигураның «теңдеуі» деп айтуға болады.

б) Тұйықталған жарты жазықтық кескінделген. Осы жарты жақықтықтың барлық нүктелерінің бірінші координаты еркін, ал екінші координатасы теріс сан емес. Сонымен осы фигураның «теңдеуі» мына түрде: у≥0.

в) Суретте екі облыстың қиылысы түрінде қарастыруға болатын, сегмент кескінделген: центрі О нүктесі және радиусы ОВ болатын дөңгелек және АВ түзуімен және М нүктесімен анықталатын λ жарты жазықтығы. ОВ=3 болғандықтан дөңгелек нүктелерінің координаттары шартын қанағаттандырады. Сонымен қатар λ жарты жазықтығының нүктелерінің координатасы у≥1 (х координатасы еркін) шартын қанағаттандырады. Бұдан қарастырылып отырған фигураның « теңдеуі» , у≥1 теңсіздіктер жүйесі түрінде жазылады.

г) Суретте , Ое₁е₂ координат жүйесімен анықталған бірінші координаттық бұрыш кескінделген. Бұл бұрышты екі тұйықталған жарты жазықтықтардың қиылысуы түрінде қарастыруға болады: Ох осі және В нүктесімен анықталған жарты жазықтық және Оу осі және А нүктесімен анықталған жарты жазықтық. Бұл жарты жазықтықтардың нүктелері сәйкес х ≥0 (бірінші жарты жазықтық) және у≥0 (екінші жарты жазықтық) шарттарымен сипатталады. Бұдан қарастырылып отырған фигураның « теңдеуі» х ≥0, у≥0 теңсіздіктер болады.