ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»


дәріс Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары



бет21/68
Дата08.06.2018
өлшемі0,55 Mb.
#42032
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   68
6 дәріс

Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары.
Дифференциалдық жүйе

қарастырайық



облысында функциясы мына шарттарды:



қанағаттандырады деп есептейік.

Жүйенің нөлдік шешімінің орнықты, орнықсыздығын зерттеу барысында Ляпунов А.М. бірнеше фундаментальді теоремалар дәлелдеген. Оның орнықтылық үшін дәлелдеген теоремасы қазіргі уақытта екі теоремаға бөлініп айтылып жүр.

Ляпуновтың бірінші теоремасы (орнықтылық туралы).

Егер (1) жүйе үшін анықталған таңбалы функциясы табылып, оның (1) жүйеге сүйеніп алынған толық туындысы не нөлге теңбе-тең, не таңбасы -ның таңбасына қарама-қарсы болатын тұрақты таңбалы функция болса, онда (1) жүйенің нөлдік шешімі орнықты болады. Егер де бұған қоса ақырсыз аз жоғарғы шегі бар функция болса, онда нөлдік шешімнің орнықтылығы бірқалыпты болады.



Дәлелдеуі. Анық болу үшін функциясын анықталған оң таңбалы деп есептейік. Олай болмаса - функциясын қарастырар едік. Айталық алдын-ала берілген сан, ал бастапқы алынған мән болсын. Теореманың шарты бойынша облысында анықталған оң таңбалы функциясы табылып,

теңсіздігі орындалады. облысында



сферасын қарастырайық. Сфера тұйық жиын (компакт), ал функциясы онда үзіліссіз болғандықтан Вейерштрасс теоремасы бойынша қандай да болмасын бір нүктесінде өзінің ең кіші мәнін қабылдайды.





болсын. Егер айнымалысы бекітілсе, онда функциясы ақырсыз аз жоғарғы шекке ие болады. Сондықтан үшін саны табылып,

теңсіздігі орындалғанда



теңсіздігі орындалады. Жүйенің мына бастапқы шартты



қанағаттандыратын нөлдік емес шешімін қарастырайық. Бұл шешімнің траекториясы сферасының ішінде түгелімен орналасатынын көрсетейік, яғни



Шыныда да, болғанда





Бұл теңсіздік шешімі үзіліссіз болғандықтан, -ның -ге өте жақын мәндерінде орындалады. Айталық теңсіздік барлық кезде орындалмайтын болсын және де бұл теңсіздік бұзылатын бірінші нүкте болсын, яғни -ның траекториясының сферасымен кездесетін бірінші нүктесі болсын (12-сызба):










12-сызба


Жоғарыда алынған функциясын осы шешімінің бойында қарастырайық:



Теореманың шарты бойынша



Сондықтан функциясы өспелі емес, яғни интегралдық қисықтың бойында ол өзінің бастапқы мәнінен үлкен емес



Бұдан болған себепті теңсіздікке сүйеніп



теңсіздігін аламыз. Ал екінші жағынан және теңсіздіктер негізінде теңсіздігі алынады. Бұл теңсіздікпен қайшы. Олай болса, теңсіздік бұзылатын мәні бар деген жору дұрыс емес, яғни



Демек, жүйенің нөлдік шешімі орнықты. Енді теореманың екінші бөлігін дәлелдедік. Қарастырылған функциясы әдеттегі қасиеттерге қоса ақырсыз аз жоғарғы шегі бар функция болсын. Онда бұл функциядағы -ны бекітудің қажеті жоқ, себебі алдын-ала берілген саны үшін саны табылып:

теңсіздіктері орындалады. Сондықтан бұл жағдайда теңсіздіктер орындалады (жоғарыдағы дәлелдеу бойынша) тек ондағы -дан тәуелсіз, тек қана -нан тәуелді болады. Бұл нөлдік шешімінің бірқалыпты орнықтылығын білдіреді.





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   68




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет