ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
дәріс Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Ляпуновтың бірінші теоремасы (орнықтылық туралы).
| 6 дәріс
Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары. Дифференциалдық жүйе 
қарастырайық 
облысында 
қанағаттандырады деп есептейік. Жүйенің нөлдік шешімінің орнықты, орнықсыздығын зерттеу барысында Ляпунов А.М. бірнеше фундаментальді теоремалар дәлелдеген. Оның орнықтылық үшін дәлелдеген теоремасы қазіргі уақытта екі теоремаға бөлініп айтылып жүр.
Егер (1) жүйе үшін анықталған таңбалы Дәлелдеуі. Анық болу үшін  функциясын анықталған оң таңбалы деп есептейік. Олай болмаса - функциясын қарастырар едік. Айталық  алдын-ала берілген сан, ал  бастапқы алынған мән болсын. Теореманың шарты бойынша  облысында анықталған оң таңбалы  функциясы табылып,
теңсіздігі орындалады. 
сферасын қарастырайық. Сфера тұйық жиын (компакт), ал 
болсын. Егер айнымалысы бекітілсе, онда  функциясы ақырсыз аз жоғарғы шекке ие болады. Сондықтан  үшін  саны табылып,
теңсіздігі орындалғанда 
теңсіздігі орындалады. Жүйенің мына бастапқы шартты 
қанағаттандыратын нөлдік емес 
Шыныда да, 
Бұл теңсіздік  шешімі үзіліссіз болғандықтан, -ның  -ге өте жақын мәндерінде орындалады. Айталық  теңсіздік барлық кезде орындалмайтын болсын және де  бұл теңсіздік бұзылатын бірінші нүкте болсын, яғни  -ның траекториясының  сферасымен кездесетін бірінші нүктесі болсын (12-сызба):
 
 
  
12-сызба
Жоғарыда алынған 
Теореманың шарты бойынша 
Сондықтан функциясы өспелі емес, яғни интегралдық қисықтың бойында ол өзінің бастапқы мәнінен үлкен емес Бұдан  болған себепті  теңсіздікке сүйеніп
теңсіздігін аламыз. Ал екінші жағынан  және теңсіздіктер негізінде теңсіздігі алынады. Бұл  теңсіздікпен қайшы. Олай болса, теңсіздік бұзылатын мәні бар деген жору дұрыс емес, яғни
Демек,  жүйенің нөлдік шешімі орнықты. Енді теореманың екінші бөлігін дәлелдедік. Қарастырылған функциясы әдеттегі қасиеттерге қоса ақырсыз аз жоғарғы шегі бар функция болсын. Онда бұл функциядағы -ны бекітудің қажеті жоқ, себебі алдын-ала берілген  саны үшін  саны табылып:
теңсіздіктері орындалады. Сондықтан бұл жағдайда жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
функциясы мына шарттарды:
нүктесінде өзінің ең кіші мәнін қабылдайды.
шешімінің бойында қарастырайық:
теңсіздіктер орындалады (жоғарыдағы дәлелдеу бойынша) тек ондағы