7 дәріс
Ляпуновтың орнықсыздық туралы теоремалары.
дифференциалдық жүйесін алайық және
деп есептейік.
Ляпуновтың үшінші теоремасы (орнықсыздық туралы бірінші теорема). Егер  жүйе үшін ақырсыз аз жоғарғы шегі бар  функциясы табылып, оның жүйеге сүйеніп алынған туындысы  анықталған таңбалы функция болса және кез келген  мен сандық мәні мейлінше аз кез келген  үшін әрқашанда  нүктесі бар болып, ол нүктеде функциялары бірдей таңбалы мән қабылдайтын болса:
онда (1) жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз болады.
Дәлелдеу. Анық болу үшін -ны анықталған оң таңбалы деп есептейік. Онда анықталған оң таңбалы  функциясы табылып:
теңсіздігі орындалады. функциясының ақырсыз аз жоғарғы шегі бар болғандықтан, оны  облысында шенелген деп есептеуге болады:
Кері жорып, жүйенің нөлдік шешімі орнықты деп есептейік. Онда  жүйенің кез келген нөлдік емес  шешімі үшін
теңсіздіктері орындалады. Теореманың шарты бойынша әрі  болғандықтан кез келген  және сандық мәні барынша аз  теңсіздігін қанағаттандыратын үшін нүктесі табылып, ол нүктеде оң мән қабылдайды:
Жүйенің  нүктесінен өтетін нөлдік емес шешімін:
алайық та, оның бойында  функциясын қарастырайық:
Бұл функция  теңсіздік негізінде монотонды өспелі
Бұдан (Ляпуновтың екінші тероемасында дәлелденген тұжырым негізінде) функциясы ақырсыз аз жоғарғы шекке ие болғандықтан 
теңсіздігі алынады. Айталық,
болсын. Онда  теңсіздіктен
Мына тепе-теңдікті қарастырайық:
Бұдан мынадай қайшылықтаңы теңсіздік
алынады, себебі  болғанда бұл теңсіздік орындалмайды. Сондықтан нөлдік шешім орнықты деген жорамал дұрыс емес, ол орнықсыз, яғни  болғанда  шешімінің траекториясы  сферасынан шығып кетеді (14-сызба). Теорема дәлелденді.
  
 
14-сызба
Достарыңызбен бөлісу: | 
