ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
Четаев теоремасы. Айталық  жүйе үшін үзіліссіз дифференциалданатын  функциясы бар болсын. Оның оң мәндер қабылдайтын облысы
-ның әрбір аралығында жататын мәнінде 
теңдігі орындалсын. Онда егер шенелген болса;  жүйеге сүйеніп алынған туындысы  оң болса;
 әрбір  ішкі облысында  теңсіздігі орындалатын болса жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз болады.
Дәлелдеуі. Айталық  кез келген, ал  қандай да бір алдын ала берілген сандар болсын. Онда  нүктесі  қимасы үшін шекаралық нүкте болғандықтан, теореманың шарты бойынша  гипержазықтығында  теңсіздігін қанағаттандыратын  нүкте табылады, әрі 29 Бастапқы  шартын қанағаттандыратын  шешімінің траекториясы  кезде  ашық шарынан шығып кететін (яғни  ) көрсетейік.
 
 
  
16-сызба
Кері жорып,  делік. Онда 2) шарттың негізінде  болған кезде
Бұдан  30
теңсіздігі алынады. Шешімі  облысынан оның ішкі шекарасы арқылы сыртқа шыға алмайды. Шынында шешімі бірінші рет  нүктесінде -ның ішікі шекарасына шыққан екен деп есептейік.  онда  болғанда шекке көшіп
теңсіздігін алар едік. Бұл мүмкін емес, ішкі шекарада  . Сонымен шешімі облысының ішкі не сыртқы шекарасына жақындай алмағандықтан толығынан оның ішінде орналасады, яғни бір оның ішкі бөлігі  де жатады. Онда 3) шартқа сүйеніп
аламыз. Мұны 
теңсіздігін аламыз. Бұл функциясының облысында шенелгендігіне қашы. Сондықтан жору дұрыс емес, кейбір  және кез келген үшін нүктесінің аймағында басталатын, кейіннен кезде  шарынан шығып кететін жүйенің шешімі бар. Олай болса жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз.
Четаевтың теоремасы Ляпуновтың орнықсыздық туралы теоремаларынан кең болғандықтан, олар Четаевтың теоремасынан салдар есебінде алынады. Яғни Ляпуновтың теоремаларының шарттары орындалғанда Четаев теоремасының шарттары орындалады. Мысалы Ляпуновтың үшінші теоремасындағы  функциясы өзі ақырсыз аз жоғарғы шегі бар, ал туындысы облысында анықталған таңбалы функция болғандықтан, Четаев теоремасының шарттарын қанағаттандырады. Ал Ляпуновтың қосымша теоремасындағы  болса,  облысында анықталған таңбалы болады. Егер де  болса, онда әрбір  не  облыстарының әрқайсысында анықталған таңбалы болады. Бұл жағдайларда да Четаев теоремасының шарттары орындалады.
№ жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
қимаға ие болсын, әрі 
-өсін қоса санағандағы шекараларында
-ден -ға дейін интегралдау арқылы